最新正方形的性质与判定讲义.doc

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1、正方形的性质及判定一、 知识点归纳（一） 正方形的概念： 一组邻边相等的矩形叫做正方形。（二） 正方形的性质：1、 因为ABCD是正方形 正方形是轴对称图形，对称轴有4条，也是中心对称二、 例题讲解 考点 正方形与等腰三角形（等边三角形）结合1. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BEBC，则ACE 2. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则DBE .3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分DAC,则下列结论：（1）E=22.5； (2) AFC=112.5； (3) ACE=135；（4）AC=CE；(5) ADCE=1. 其中正确的有

2、 （ ）A5个 B.4个 C.3个 D.2个4. 如图，等边EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则AEB ；ACE .5. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边CDE，则AED的度数是 .考点正方形与旋转结合1. 如图1，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若AFB经过逆时针旋转角后与AED重合，则的取值可能为 （ ）A.90 B.60 C.45 D.302. 已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_.3. 如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，

3、且满足EAF=45，连接EF，求证：DE+BF=EF考点正方形对角线的对称性1. 如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF= .可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于 .思考：如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出你的结论，并加以说明.2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出下列五个结论：AP =EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD= EC其中正确结论的序号是 思考：当点P在DB的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思

4、考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.考点正方形的折叠1.如图1，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是 .2. 如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，则AM的长是 . 3如图3，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正确结论的个数是 .课后练习1、已知：如图，正方形ABCD

5、中，CM=CD，MNAC，连结CN，则DCN=_=_B，MND=_=_B.2. 在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则ABO的周长是（ ） A.12+12 B.12+6 C.12+ D.24+63.正方形的面积是，则其对角线长是_.4. 如图，在正方形ABCD中，PBC、QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.求证：PM = QM.5. 如图4，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形ABCD的顶点A与点O重合，AB交BC于点E，AD交CD于点F，若正方形ABCD绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面

6、积怎样变化？为什么？6如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.试判断PE与PB的关系. 7. 如图，正方形ABCD的面积为12，ADE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PBPE的和最小，则这个最小值为 .8.如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP (1)如图，若M为AD边的中点， AEM的周长=_cm； 求证：EP=AE+DP； (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与

7、A、D重合)，PDM的周长是否发生变化?请说明理由（三）正方形的判定： 四边形ABCD是正方形1、判断:（1）四条边都相等的四边形是正方形。（）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（）（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（）（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（）2不能判定四边形是正方形的是（）A对角线互相垂直且相等的四边形 B对角线互相垂直的矩形C对角线相等的菱形 D对角线互相垂直平分且相等的四边形3、四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（）AAB=BC=CD=DA BAO=CO，BO=DO，ACBDCAC=BD，ACBD且AC、BD互相平

8、分 DAB=BC，CD=DA4、如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件： （用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形精讲精练例1、已知中，CD平分,交AB于D，DF/BC,DE/AC，求证：四边形DECF为正方形。例2、已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明ABCDMNE例3如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形ECDBAO

9、例4、如图，ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于E，交BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.(3) 当点O运动到何处时，四边形AECF是有可能是正方形？并证明你的结论.l 拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）1、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC。试判断的形状，并说明理由。2、如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求。（2）若,求证：PQ=BP+DQ. 3、如图，菱形ABC

10、D的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：.(2)判断的形状。4以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090）， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由 例1、在正方形ABCD的边B

11、C的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求的度数。变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF. (1)求证：BECDFC；(2)若BEC=60，求EFD的度数.例2：如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AEEG.例3、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度数.例4如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；AB2www。cer。

12、net/artide/2003082213089728。shtml。CPDE图1-3 大学生偏爱的手工艺品种类分布1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则= 。为此，装潢美观，亮丽，富有个性化的店面环境，能引起消费者的注意，从而刺激顾客的消费欲望。这些问题在今后经营中我们将慎重考虑的。8-2购物环境与消费行为 2004年3月20日2、若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为 。4.E为正方形ABCD内一点，且EBC是等边三角形，求EAD的度数.十

13、几年的学校教育让我们大学生掌握了足够的科学文化知识，深韵的文化底子为我们创业奠定了一定的基础。特别是在大学期间，我们学到的不单单是书本知识，假期的打工经验也帮了大忙。5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值6、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： 五、创业机会和对策分

14、析（1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；世界上的每一个国家和民族都有自己的饰品文化，将这些饰品汇集到一起再进行新的组合，便可以无穷繁衍下去，满足每一个人不同的个性需求。将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断在上海， 随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要的商业圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。在人民广场地下“的美”购物中心，有一家DIY自制饰品店-“碧芝自制饰品店”。“碧芝”隶属于加拿大的公司。这家公司原

15、先从事首饰加工业，自助首饰的风行也自西方，随着人工饰品的欣欣向荣，自制饰品越来越受到了人们的认同。年碧芝自制饰品店在迪美购物中心开张，这里地理位置十分优越，交通四八达，由于是市中心，汇集了来自各地的游客和时尚人群，不用担心客流量问题。迪美有多家商铺，不包括柜台，现在这个商铺的位置还是比较合适的，位于中心地带，左边出口的自动扶梯直接通向地面，从正对着的旋转式楼拾阶而上就是人民广场中央，周边、条地下通道都交汇于此，从自家店铺门口经过的的顾客会因为好奇而进看一下。7、（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC），B、C、G在同一直线上，M为线段AE的中点。探究：线段MD、MF的关系。（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转，使得正方形CGEF对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。 （1） 专业知识限制