最新中考数学中的折叠问题.doc
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1、中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力,近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题,实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质,搞清折叠前后哪些量变了,哪些量没变,折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等,对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题,把握住了关键点,并不难解决。例1 (成都市中考题)把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠, EM、FM为折痕,折叠后的C点落在或的延长线上,那么EMF的度数是( )A、85 B、90 C、95 D、100分析与解答:本题考查了有关折叠
2、的知识。由题意可知:BME=,CMF=,又与重合, 则EMF=+= 90,故选B。例2 (武汉市实验区中考题)将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠,折痕为AF, 点E、D分别落在、。已知AFC=76,则等于( )A、31 B、28 C、24 D、22分析与解答:本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得:180-76=104,则=104-76=28,故选B。GEF例3(河南省实验区中考题)如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在轴、y轴上,连结OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在点的位置,若OB=,则点的坐标为 。分析与解答:本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的
3、能力。 例4(浙江省实验区中考题)现有一张长和宽的比为21的长方形纸片,将它折两次(第一次折后也可打开铺平再折第二次),使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分(称为一个操作),如图甲(虚线表示折痕),除图甲外,请再给出一个不同的操作,分别将折痕画在矩形中(规定:一个操作得到的四个图形,和另一个操作得到的四个图形,如果能够“配对”得到四组全等的图形,那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作)。例5(南京市中考题)已知矩形纸片,AB=2,AD=1。将纸片折叠后,使顶点A与边CD上的点E重合。(1) 如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G(如图1),AF=,求DE的长;(2) 如果折痕
4、FG分别与CD、AB交于点F、G(如图2),AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长。MNO分析与解答:(1)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,AF=,D=90,根据轴对称的性质,得EF=AF=。 DF=AD-AF= ,在RtDEF中,由勾股定理得 。(2)设AE与FG的交点为O,根据轴对称的性质,得AO=EO, 取AD的中点M,连接MO,则MO=DE,MODC。设,则 ,在矩形ABCD中,C=D=90 AE为AED的外接圆的直径, O为圆心。延长MO交BC 于点N,则ONCD,CNM=180-C=90ONBC,四边形MNCD是矩形。MN=CD=AB=2,ON=MN-MO= AED的外
5、接圆与BC相切, ON是AED的外接圆的半径。 OE=ON=,AE=2ON=4-。在RtAED中, 解这个方程,得。,。 根据轴对称的性质,得AEFG, FOE=D=90。 又 FEO=AED,FEOAED, 可得 又ABCD, EFO=AGO,FEO=GAO FEOGAO FO=GO , 折痕FG的长是。 中考实战一:一、选择题1.(德州市)如图,四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF若CD6,则AF等于()A4 B3C4 D82.(江西省)如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于E,若DBC22.5,则在不添加任
6、何辅助线的情况下,图中45的角(虚线也视为角的边)有( )A6个 B5个 C4个 D3个3.(乐山市)如图,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若FPH90,PF8,PH6,则矩形ABCD的边BC长为()20 22 24 304.(绵阳市)当身边没有量角器时,怎样得到一些特定度数的角呢?动手操作有时可以解“燃眉之急”如图,已知矩形ABCD,我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角:(1)以点A所在直线为折痕,折叠纸片,使点B落在AD上,折痕与BC交于E;(2)将纸片展平后,再一次折叠纸片,以E所在直线为折痕,使点A落在BC上,折痕EF交AD于F则AFE =(
7、)A60 B67.5 C72 D755. (绍兴市)学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图(1)(4) ).从图中可知,小敏画平行线的依据有()两直线平行,同位角相等; 两直线平行,内错角相等;同位角相等,两直线平行; 内错角相等,两直线平行A B C D 6.(贵阳市)如图6-1所示,将长为20cm,宽为2cm的长方形白纸条,折成图6-2所示的图形并在其一面着色,则着色部分的面积为( )A34cm2 B36 cm2 C38 cm2 D40 cm2二、填空题7.(成都市)如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落
8、在C,D的位置上,EC交AD于点G已知EFG58,那么BEG 8. (苏州市)如图,将纸片ABC沿DE折叠,点A落在点A处,已知1+2=100,则A的大小等于_度三、解答题9.(荆门市)如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折,得到PDB;再在OC边上选取适当的点E,将POE沿PE翻折,得到PFE,并使直线PD、PF重合设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;在(2)的情况下,
9、在该抛物线上是否存在点Q,使PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标10. (济宁市)如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.求证:PBEQAB;你认为PBE和BAE相似吗?如果相似给出证明,如不相似请说明理由;如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上?为什么?11.(威海市)如图,四边形ABCD为一梯形纸片,ABCD,ADBC翻折纸片ABCD,使点A与点C重合,折痕为EF已知CEAB(1)求证:EFBD;(2)若AB7,CD3,求线段EF的长12. (烟台市)
10、生活中,有人喜欢把传送的便条折成形状,折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面):如果由信纸折成的长方形纸条(图)长为2 6 cm,宽为xcm,分别回答下列问题:为了保证能折成图的形状(即纸条两端均超出点P),试求x的取值范围(2)如果不但要折成图的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是轴对称图形,试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D处,折痕为EF(1)求证:ABEADF;(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论14.(孝感市)在我们学习过的数学教科书中,有一个
11、数学活动,其具体操作过程是:第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).请解答以下问题:(1)如图2,若延长MN交BC于P,BMP是什么三角形?请证明你的结论(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP ?(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM为y=kx,当MBC=60时,求k的值.此时,将ABM沿BM折叠,点A是否落在EF上(E、
12、F分别为AB、CD中点)?为什么?15.(邵阳市)如图,ABC中,ACB=90,将ABC沿着一条直线折叠后,使点A与点C重合(图)(1)在图中画出折痕所在的直线l设直线l与AB,AC分别相交于点D,E,连结CD(画图工具不限,不要求写画法)(2)请你找出完成问题(1)后所得到的图形中的等腰三角形(不要求证明)16.(济宁市)如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.()求证:PBEQAB;()你认为PBE和BAE相似吗?如果相似给出证明,如补相似请说明理由;()如果直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上?
13、为什么?17.(临安市)如图,OAB是边长为的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴正方向上,将OAB 折叠,使点A落在边OB上,记为A,折痕为EF.(1)当AE/x轴时,求点A和E的坐标;(2)当AE/x轴,且抛物线经过点A和E时,求抛物线与x轴的交点的坐标;(3)当点A在OB上运动,但不与点O、B重合时,能否使AEF成为直角三角形?若能,请求出此时点A的坐标;若不能,请你说明理由.18.(南宁市)如图,在锐角ABC中,BC=9,AHBC于点H,且AH=6,点D为AB边上的任意一点,过点D作DEBC,交AC于点E设ADE的高AF为x(0x6),以DE为折线将ADE翻折,所得的ADE与梯形
14、DBCE重叠部分的面积记为y(点A关于DE的对称点A落在AH所在的直线上)(1)分别求出当0x3与3x6时,y与x的函数关系式;(2)当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?19.(宁夏回族自治区)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,连结AE证明:(1)BF=DF;(2)AEBD中考实战二:一、选择题1.(山东日照4分)在平面直角坐标系中,已知直线与轴、轴分别交于A、B两点,点C(0,n)是轴上一点把坐标平面沿直线AC折叠,使点B刚好落在轴上,则点C的坐标是A、(0,)B、(0,) C、(0,3)D、(0,4)2.(天津3分)如图将正方形纸片ABCD折叠
15、,使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则EBF的大小为( ) (A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 603.(重庆分)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE将ADE沿AE对折至AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF下列结论:ABGAFG;BG=GC;AGCF;SFGC=3其中正确结论的个数是( )A、1B、2 C、3D、44.(浙江温州4分)如图,O是正方形ABCD的对角线BD上一点,O与边AB,BC都相切,点E,F分别在AD,DC上,现将DEF沿着EF对折,折痕EF与O相切,此时点D恰好落在圆心O处若DE=2,则正方形ABCD的边
16、长是A、3B、4 C、D、5.(浙江省3分)如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,按如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则SBCE:SBDE等于( ) A. 2:5 B.14:25 C.16:25 D. 4:216.(吉林省3分)如图所示,将一个正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后 折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“”的图形,将纸片展开,得到的图形是7.(江苏海南3分)如图,将平行四边形ABCD折叠,使顶点D恰落在AB边上的点M处,折痕为AN,那么对于结论 MNBC,MN=AM,下列说法正确的是 () A、都对B、都错 C、对错D、错对8.(山东菏泽3分)如图所示,已知
17、在三角形纸片ABC中,BC=3,AB=6,BCA=90在AC上取一点E,以BE为折痕,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则DE的长度为()A、6B、3 C、2D、9(山东济宁3分)如图:ABC的周长为30cm,把ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC边与点E,连接AD,若AE=4cm,则ABD的周长是()A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm 10.(山东泰安3分)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC3,则折痕CE的长为()A、B、 C、D、611.(广东广州3分)如图所示,
18、将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折,接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是() A、 B、 C、D、12(河北省3分)如图,在ABC 中,C=90,BC=6,D,E 分别在 AB、AC上,将ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,若A为CE的中点,则折痕DE的长为 ()A、B、2 C、3D、413.(四川宜宾3分)如图,矩形纸片ABCD中,已知AD =8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为 ()A.3 B.4 C.5 D.614.(四川泸州2分)如图,在RtABC中,ABC=90,C=60
19、,AC=10,将BC向BA方向翻折过去,使点C落在BA上的点C,折痕为BE,则EC的长度是()A、B、 C、D、15.(四川内江3分)如图在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折,B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E那么点D的坐标为 () A、 B、 C、 D、16.(甘肃天水4分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则CF的长为() A、6B、4 C、2D、117.(云南昭通3分)如图所示,将矩形纸片ABCD折叠,使
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