唯一性定理与静电屏蔽课件.ppt
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1、唯一性定理与静电屏蔽,静电屏蔽问题:要把它的原理真正说透,需要用到唯一性定理.,(a)壳外面有若干正、负带电体,腔内无带电体。壳外电场对壳内电场没影响.(b)将带电体放入腔内,而壳外无带电体,外部空间壳内电场对壳外电场没影响.导体壳接地.(c)将(a)、(b)合并在一起。问题:(c)这时壳内、外电场的平衡分布是否各与 图(a)、(b)一样?答案是肯定的,这是可能的。,(1)、当壳外部电荷和电场分布的环境如(a)时,它在腔内不产生电场,从而 腔内的带电体所处的环境如(b)一样。(2)、当内部电荷和电场分布如(b)时,它在 壳 外不产生电场,从而壳外带电体处的 环境如(a)一样。当壳内、外带电体同
2、时存在时,若壳内、外的电荷和电场分部分别与(a)、(b)相同的分布,是可以达到静电屏蔽的。,问题:空腔内、外带电体在相互影响下,是 否达到另一种与此不同的平衡分布?,唯一性定理将告诉我们,这是不可能的。由高斯定理:,泊松方程,如果知道电荷分布,可以解Poisson 方程,求电势 电场强度E。但还不够,因为Poisson eq.没有包括边界条件。边界条件:各导体的大小、位置、形状、电势、电荷、空间边界面上的电势。,实际中的静电学问题是:大多不是已知电荷分布求电场分布.而是通过一定的电极来控制(各带电导体的形状,大小,导体之间的相对位置各导体的电势或各导体上的电量)实现某种所要求的空间电场分布.前
3、提是:给定各带电导体的几何形状,相互位置外.每个导体的电势ui每个导体上的总电量 Qi,如果知道电荷分布,可以解Poisson eq.求UE,但不能确定具体的电场分布,必须附加一些条件(如开始电场状态初值问题、或在边界上受到外界的约束边界问题)后,就能完全确定具体电场分布。边界条件是很重要的方法:分析实际问题,引入试探性解到Poisson eq.+边界条件。如果都满足,则:试探解就是方程的解。但是否唯一?,物理上:要确定给定区域各点的电场强,除知道电荷分布,还必须知道区域的边界面的各点电势值。电势可以反映区域外部的电荷分布对区域各点电场的贡献.,二、唯一性定理的表述,假设所研究空间V,界面S,
4、V内有若干导体,如A,B,导体 A 的表面为 S1,导体 B 的表面为 S2,如果 V 是整个空间,边界S在无穷远,把除了导体 A,B之外的空间为V,V 的边界包括 S,S1,S2。为了唯一的确定空间的电场分布,除了知道电荷分布外,还需要知道其它条件:,(1)边界面上的电势和各导体上的电势。(2)边界面上的电势和各导体上的带电量给定。由条件,将分为两类问题来考虑:(1)对于第一类问题,唯一性定理表述如下:设 V内 有给定的电荷分布,并在边 界 S,Si 都有给定的电势,和 或者给定,V 电场被唯一的确定。,对于第二类问题,唯一性定理表述如下:设 V 空间内的电荷分布给定,并给定 边界S上的电势
5、 或,以及每个导 体上所带电荷量Qi,则 V 内的电场被唯 一地确定了。,三、数学准备,格林第一定理,格林第二定理,四、证明 唯一性定理,用反证法 假设满足同样条件地有两个解、令 如果:则,要证明:即证明有两种解是不可能的。,第一类问题的证明 设:都是方程的解(1)它们满足Poisson eq.那么:,再看边界条件:(2)它们都必须满足边界条件:在S 上:在Si上:,或在S面上:所以,u满足:方程 边界条件,或要证明:利用格林定理,令:,所以 u 是常数。进一步利用边界条件:即在S,Si 处 u=0 所以 u 处处等于零,即:在满足边界条件下,只有一个解!,第二类问题的证明:,证明:假设有两个
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