最新中考数学二次函数专题复习超强整理.doc
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1、初三二次函数归类复习一、二次函数与面积面积的求法:公式法:S=1/2*底*高 分割法/拼凑法1、说出如何表示各图中阴影部分的面积? xyOAB图三xyOABD图二ExyOABC图一PxyOMENA图五OxyDC图四xyODCEB图六2、抛物线与轴交与A、B(点A在B右侧),与轴交与点C, D为抛物线的顶点,连接BD,CD,(1)求四边形BOCD的面积.(2)求BCD的面积.(提示:本题中的三角形没有横向或纵向的边,可以通过添加辅助线进行转化,把你想到的思路在图中画出来,并选择其中的一种写出详细的解答过程)3、已知抛物线与轴交与A、C两点,与轴交与点B,(1)求抛物线的顶点M的坐标和对称轴;(2
2、)求四边形ABMC的面积.4、已二次函数与轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为P.(1)结合图形,提出几个面积问题,并思考解法;(2)求A、B、C、P的坐标,并求出一个刚刚提出的图形面积;CPOABy(3)在抛物线上(除点C外),是否存在点N,使得,若存在,请写出点N的坐标;若不存在,请说明理由。AyBOC变式一图变式一:在抛物线的对称轴上是否存点N,使得,若存在直接写出N的坐标;若不存在,请说明理由.AxyOBC变式二图变式二:在双曲线上是否存在点N,使得,若存在直接写出N的坐标;若不存在,请说明理由.5、抛物线与轴交与A、B(点A在B右侧),与轴交与点C,若点E为第二象
3、限抛物线上一动点, 点E运动到什么位置时,EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和EBC的最大面积【模拟题训练】1(2015三亚三模)如图,直线y=x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B、C和点A(1,0)(1)求B、C两点坐标;(2)求该二次函数的关系式;(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;(4)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及
4、此时E点的坐标二、二次函数与相似【相似知识梳理】二次函数为背景即在平面直角坐标系中,通常是用待定系数法求二次函数的解析式,在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质,如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解难点以后不难发现,若是直角三角形相似无非是如图1-1的几种基本型。若是非直角三角形有如图1-2的几种基本型。 利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。【例题点拨】【例1】如图1-3,二次函数的图像与轴相交于点A、B,与轴相交于点C,经过点A的直线与轴相交于点D,与直线BC垂直于点E,已知AB=3,求这个二次函数的解析式。【例2】如图1-4,直角坐标平
5、面内,二次函数图象的顶点坐标为C,且在轴上截得的线段AB的长为6.(1) 求二次函数解析式;(2) 在轴上方的抛物线上,是否存在点D,使得以A、B、D三点为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由。【例3】如图1-6,在平面直角坐标系中,二次函数-的图像经过点A(4,0),C(0,2)。(1) 试求这个二次函数的解析式,并判断点B(-2,0)是否在该函数的图像上;(2) 设所求函数图像的对称轴与轴交于点D,点E在对称轴上,若以点C、D、E为顶点的三角形与ABC相似,试求点E的坐标。【模拟题训练】2(2015崇明县一模)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过直线y=
6、+1与坐标轴的两个交点A、B,点C为抛物线上的一点,且ABC=90(1)求抛物线的解析式;(2)求点C坐标;(3)直线y=x+1上是否存在点P,使得BCP与OAB相似?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由三、二次函数与垂直【方法总结】应用勾股定理证明或利用垂直 三垂直模型【例1】:如图,直线l过等腰直角三角形ABC顶点B,A、C两点到直线l的距离分别是2和3,则AB的长是()【例2】:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CHx轴于点H.(1)直接填写:a= ,b= ,顶点C的坐标为 ;(2)在y轴上是否存在点
7、D,使得ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由; 【例3】、(2011山东烟台)如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C.(1)求抛物线的解析式;(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【模拟题训练】3(2015普陀区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(m,0)和点B(0,2m)(m0),点C在x轴上(不与点A
8、重合)(1)当BOC与AOB相似时,请直接写出点C的坐标(用m表示)(2)当BOC与AOB全等时,二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B、C三点,求m的值,并求点C的坐标(3)P是(2)的二次函数图象上的一点,APC=90,求点P的坐标及ACP的度数4如图,已知抛物线y=x21的顶点坐标为M,与x轴交于A、B两点(1)判断MAB的形状,并说明理由;(2)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点,连接MC、MD,试判断MC、MD是否垂直,并说明理由四、二次函数与线段题目类型:求解线段长度(定值,最值):充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角(30,45,60,90,120等)、特殊
9、三角形(等腰、等腰直角、等边)、特殊线(中位线、中垂线、角平分线、弦等)、对称、函数(一次函数、反比例函数、二次函数等)等知识。判断线段长度关系:a=b, a=2b, a+b=c, a+b=2c, a2+b2=c2 , a*b=c2【模拟题训练】5(2015山西模拟)如图1,P(m,n)是抛物线y=x21上任意一点,l是过点(0,2)且与x轴平行的直线,过点P作直线PHl,垂足为H【特例探究】(1)填空,当m=0时,OP=_,PH=_;当m=4时,OP=_,PH=_【猜想验证】(2)对任意m,n,猜想OP与PH大小关系,并证明你的猜想【拓展应用】(3)如图2,如果图1中的抛物线y=x21变成y
10、=x24x+3,直线l变成y=m(m1)已知抛物线y=x24x+3的顶点为M,交x轴于A、B两点,且B点坐标为(3,0),N是对称轴上的一点,直线y=m(m1)与对称轴于点C,若对于抛物线上每一点都有:该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离用含m的代数式表示MC、MN及GN的长,并写出相应的解答过程;求m的值及点N的坐标五、二次函数与角度结题方法总结角度相等的利用和证明:直接计算 平行线 等腰三角形 全等、相似三角形 角平分线性质 倒角(1=3,2=31=2)【构造三垂直模型法】例1:如图,在平面直角坐标系xOy中,点P为抛物线上一动点,点A的坐标为(4,2),若AOP=45,则点P的坐标
11、为( )【直接计算】例2.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点,点P是抛物线上一点,且DCP=30,则符合题意的点P的坐标为( )【与几何图形结合】例4、二次函数的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,在二次函数的图象上是否存在点P,使得PAC为锐角?若存在,请你求出P点的横坐标取值范围;若不存在,请你说明理由。【利用相似】例3、已知抛物线的图象与轴交于、两点(点在点的左边),与轴交于点C(0,3),过点作轴的平行线与抛物线交于点,抛物线的顶点为,直线经过、两点.(1)求此抛物线的解析式;(2)连接、,试比较和的大小,并说明
12、你的理由.【模拟题训练】6(2015松江区一模)已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx的图象经过点(1,3)和点(1,5);(1)求这个二次函数的解析式;(2)将这个二次函数的图象向上平移,交y轴于点C,其纵坐标为m,请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标;(3)在第(2)小题的条件下,如果点P的坐标为(2,3),CM平分PCO,求m的值六、二次函数与平行四边形解题方法总结:平行线的性质(同位角,内错角,同旁内角) 比较一次函数k值 平行四边形的性质 注意多解性【模拟题训练】7如图,抛物线y=x2+bx3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),直线l与抛物线交于A、C亮点
13、,其中C的横坐标为2(1)求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式;(2)P是线段AC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求ACE面积的最大值;(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由七、二次函数与图形转换常见图像变换:平移(上加下减,左加右减)轴对称(折叠)【模拟题训练】8(2014西城区一模)抛物线y=x2kx3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中点B的坐标为(1+k,0)(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)将(1)中的抛物线沿对称轴向上平移,使其顶
14、点M落在线段BC上,记该抛物线为G,求抛物线G所对应的函数表达式;(3)将线段BC平移得到线段BC(B的对应点为B,C的对应点为C),使其经过(2)中所得抛物线G的顶点M,且与抛物线G另有一个交点N,求点B到直线OC的距离h的取值范围模拟训练题参考答案1考点:二次函数综合题菁优网版权所有分析:(1)分别令解析式y=x+2中x=0和y=0,求出点B、点C的坐标;(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将点A、B、C的坐标代入解析式,求出a、b、c的值,进而求得解析式;(3)由(2)的解析式求出顶点坐标,再由勾股定理求出CD的值,再以点C为圆心,CD为半径作弧交对称轴于P1,以点D为圆心C
15、D为半径作圆交对称轴于点P2,P3,作CE垂直于对称轴与点E,由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论;(4)设出E点的坐标为(a,a+2),就可以表示出F的坐标,由四边形CDBF的面积=SBCD+SCEF+SBEF求出S与a的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论解答:解:(1)令x=0,可得y=2,令y=0,可得x=4,即点B(4,0),C(0,2);(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将点A、B、C的坐标代入解析式得,解得:,即该二次函数的关系式为y=x2+x+2;(3)y=x2+x+2,y=(x)2+,抛物线的对称轴是x=OD=C(0,2),OC=2在RtOCD中,由勾股
16、定理,得CD=CDP是以CD为腰的等腰三角形,CP1=DP2=DP3=CD如图1所示,作CHx对称轴于H,HP1=HD=2,DP1=4P1(,4),P2(,),P3(,);(4)当y=0时,0=x2+x+2x1=1,x2=4,B(4,0)直线BC的解析式为:y=x+2如图2,过点C作CMEF于M,设E(a,a+2),F(a,a2+a+2),EF=a2+a+2(a+2)=a2+2a(0x4)S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN,=+a(a2+2a)+(4a)(a2+2a),=a2+4a+(0x4)=(a2)2+a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,E(2
17、,1)点评:本题考查了二次函数的综合运用,涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用,勾股定理的运用,等腰三角形的性质的运用,四边形的面积的运用,解答时求出函数的解析式是关键2考点:二次函数综合题菁优网版权所有分析:(1)根据直线的解析式求得A、B的坐标,然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式;(2)作CDx轴于D,根据题意求得OAB=CBD,然后求得AOBBDC,根据相似三角形对应边成比例求得CD=2BD,从而设BD=m,则C(2+m,2m),代入抛物线的解析式即可求得;(3)分两种情况分别讨论即可求得解答:解:(1)把x=0代入y=x+1得,y=1,A(0,1),把y=0代入y=x+1得,
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