数学必修一全部知识点+经典题+解析.doc
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1、 数学必修一看题复习注:以下内容总结了数学必修一常考题型,请认真看完每一种类型的题目,题目给出了相应的解析。若解析仍然看不懂,带着问题看每道例题前面的基础知识复习。注:看题时注意动笔写一写,本次要求是熟练每种题目的做题方法,以看和记忆为主。 集合部分考点一:集合的定义及其关系基础知识复习(1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象与集合的关系是,或者,两者必居其一.(4)集合的表示法 自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在
2、大括号内表示集合.描述法:|具有的性质,其中为集合的代表元素.图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().(6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集(或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且,则(4)若且,则或真子集AB(或BA),且B中至少有一元素不属于A(1)(A为非空子集)(2)若且,则集合相等A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA(7)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子集.题型1:集合元素的基本
3、特征例1(2008年江西理)定义集合运算:设,则集合的所有元素之和为( )A0;B2;C3;D6解题思路根据的定义,让在中逐一取值,让在中逐一取值,在值就是的元素解析:正确解答本题,必需清楚集合中的元素,显然,根据题中定义的集合运算知=,故应选择D 题型2:集合间的基本关系例2.1数集与之的关系是( )A;B; C;D解题思路可有两种思路:一是将和的元素列举出来,然后进行判断;也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看,数集与之间必然有关系,如果A成立,则D就成立,这不可能;同样,B也不能成立;而如果D成立,则A、B中必有一个成立,这也不可能,所以只能是CB A B C D【例2.2】设集
4、合,则下列图形能表示A与B关系的是( ).解:简单列举两个集合的一些元素,易知BA,故答案选A例2.3若集合,且,求实数的值.解:由,因此,.(i)若时,得,此时,;(ii)若时,得. 若,满足,解得.故所求实数的值为或或考点二:集合的基本运算基础知识复习1交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB(读作”A交B”),即AB=x|xA,且xB2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:AB(读作”A并B”),即AB=x|xA,或xB3、交集与并集的性质:AA = A,A= , AB = BA,AA =
5、 A,A= A , AB = BA.4、全集与补集(1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。SCsAA(2)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即AS),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。记作: CSA ,即 CSA =x | xS且 xA(3)性质:CU(C UA)=A (C UA)A= (C UA)A=U(4)(C UA)(C UB)=C U(AB) (5)(C UA)(C UB)=C U(AB) 例3.1 设集合,(1) 若,求实数的值;(注:这里的I指的是交,Y指的是并)(2)若,求实数
6、的取值范围解题思路对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的集合,然后根据已知条件求参数。解析因为,(1)由知,从而得,即,解得或当时,满足条件;当时,满足条件所以或(2)对于集合,由因为,所以当,即时,满足条件;当,即时,满足条件;当,即时,才能满足条件,由根与系数的关系得,矛盾故实数的取值范围是例3.2已知集合,且,求实数m的取值范围.(注:这里的I指的是交,Y指的是并)-2 4 m xB A 4 m x解:由,可得.在数轴上表示集合A与集合B,如右图所示:由图形可知,.例3.3设集合,若,求实数的值.(注:这里的I指的是交,Y指的是并)解:由于,且,则有:当解得,此时,不合题意,故舍去;
7、当时,解得.不合题意,故舍去;,合题意.所以,函数部分考点一:判断两函数是否为同一个函数基础知识复习:1.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法:定义域一致;表达式相同 (两点必须同时具备)例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1),;(2),(3),(nN*);(4),;(5),解题思路要判断两个函数是否表
8、示同一个函数,就要考查函数的三要素。解析 (1)由于,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数.(2)由于函数的定义域为,而的定义域为R,所以它们不是同一函数.(3)由于当nN*时,2n1为奇数,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数.(4)由于函数的定义域为,而的定义域为,它们的定义域不同,所以它们不是同一函数.(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.答案(1)、(2)、(4)不是;(3)、(5)是同一函数考点二:求函数的定义域、值域知识点复习:1.求函数的定义域时,一般遵循以下原则:是整式时,定义域是全体实数是分式函数时,定义域是使分母不为
9、零的一切实数是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1中,零(负)指数幂的底数不能为零没有0的0次方,也没有0的负数次方。若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,主要记住两个个问题,1,定义域指的是一个x的取值范围。2,括号范围对括号范围。例如:f(x+1)定义域是(1,2),求f(2x)定义域,先求第一个括号的范围x+1属于(2,3),所以2x属于(2,3),所以x属于(1,3/2)。对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问
10、题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义2求值域的几种方法:(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数就是利用函数和的值域来求。(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域由得,若,则得,所以是函数值域中的一个值;若,则由得,故所求值域是(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。已知cos x属于(-1,1)如求函数的值域,因为,因为cos x属于(-1,1),所以,所以,故(5)利用对号函数求值域:如求函数的
11、值域1.当时,;2.当时,若,则x+4/x的最小值是4,可得0y3/4若,则,x+4/x的最大值是-4。可得-3/4y0综上所述:此时从而得所求值域是(6)换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,在一个表达式中频繁出现的部分换成t。注意换元后新元的取值范围:另*=t,则t属于(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分段函数的值域常用此法)。题型1:求有解析式的函数的定义域例2.(08年湖北)函数的定义域为( )(注:这里的I指的是交,Y指的是并)A.;B.;C. ;D. 解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范
12、围。解析欲使函数有意义,必须并且只需,故应选择题型2:求抽象函数的定义域例3(2006湖北)设,则的定义域为( )(注:这里的I指的是交,Y指的是并)A. ;B. ;C. ;D. 解题思路要求复合函数的定义域,应先求的定义域。解析由得,的定义域为,故解得。故的定义域为.选B.题型3;求函数的值域例4 求下列函数的定义域与值域:(1); (2).解:(1)要使函数有意义,则,解得. 所以原函数的定义域是.,所以值域为.(2). 所以原函数的定义域是R,值域是.考点三:映射的概念基础知识复习映射的概念 设、是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中任何一个元素,在集合中都有唯一的元素和它对应,那
13、么这样的对应(包括集合,以及到的对应法则)叫做集合到的映射,记作给定一个集合到集合的映射,且如果元素和元素对应,那么我们把元素叫做元素的象,元素叫做元素的原象例5 (06陕西)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文例如,明文对应密文当接收方收到密文时,则解密得到的明文为( )A;B;C;D解题思路 密文与明文之间是有对应规则的,只要按照对应规则进行对应即可。解析 当接收方收到密文14,9,23,28时,有,解得,解密得到的明文为C考点四:函数的表达式题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式例6 (04湖北改编)已知=
14、,则的解析式可取为 解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式,应该首选换元法解析 令,则, .故应填题型2:求二次函数的解析式 例7 (普宁市城东中学09届高三第二次月考)二次函数满足,且。求的解析式;在区间上,的图象恒在的图象上方,试确定实数的范围。解题思路(1)由于已知是二次函数,故可应用待定系数法求解;(2)用数表示形,可得求对于恒成立,从而通过分离参数,求函数的最值即可。解析设,则与已知条件比较得:解之得,又,由题意得:即对恒成立,易得考点五:分段函数基础知识复习:在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式
15、不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集题型1:根据分段函数的图象写解析式例8 (07年湖北)为了预防流感,某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中,室内每立方米空气中含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:()从药物释放开妈,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 ;()
16、据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室。思路点拨根据题意,药物释放过程的含药量y(毫克)与时间t是一次函数,药物释放完毕后,y与t的函数关系是已知的,由特殊点的坐标确定其中的参数,然后再由所得的表达式解决()解析 ()观察图象,当时是直线,故;当时,图象过所以,即,所以(),所以至少需要经过小时题型2:由分段函数的解析式画出它的图象例9 (2006上海)设函数,在区间上画出函数的图像。思路点拨需将来绝对值符号打开,即先解,然后依分界点将函数分段表示,再画出图象。解析 ,如右上图.考点六 函数的单调性基
17、础知识复习:定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增)(4)利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减)(4)利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函
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