放缩法在不等式的应用.doc

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1、放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目

2、的，这是常规思路。例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证。证明：由题设得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2. 已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，。所以二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则为

3、真分数，则，同理，故.综合得。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4. 已知nN*，求。证明：因为，则，证毕。例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。例6 设数列满足 （）证明对一切正整数成立；（）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；法2 则.四. 利用重要不等式放缩1.均值不等式利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例7 设求证解析 此数列的通项为，

4、即 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例8已知为正数，且，试证：对每一个，.（88年全国联赛题）简析 由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，.2利用有用结论例9 求证简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质可得 即 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得 注：例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理

5、科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例) 例10 已知函数求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号) （），得证！例11 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例12 已知不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：求证（05年湖北卷第（22）题）

6、简析 当时，即 于是当时有 注：本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩； 引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。例13 设，求证：数列单调递增且 解析 引入一个结论：若则（证略）整理上式得（）以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1

7、）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！例14 设数列满足，当时证明对所有 有；（02年全国高考题） 解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。五 利用单调性放缩1 构造数列如对上述例7

8、，令则，递减，有，故 再如例9，令则，即递增，有，得证！ 注：由此可得例9的加强命题并可改造成为探索性问题：求对任意使恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！ 2构造函数例15 已知函数的最大值不大于，又当时（）求的值；（）设，证明（04年辽宁卷第21题）解析 （）=1 ；（）由得且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例16 数列由下列条件确定：，（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题） 解析 构造函数易知在是增函数。 当时在递增故 对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。注：本题有着深厚的科学背景：是计算

9、机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景数列单调递减有下界因而有极限： 是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。六 换元放缩 例17 求证 简析 令，这里则有，从而有 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。例18 设，求证.简析 令，则，应用二项式定理进行部分放缩有，注意到，则（证明从略），因此七 递推放缩递推放缩的典型例子，可参考上述例14中利用部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明，同理例11中所得和、例12中、 例13（）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。八 分项讨论 例19 已知数列的前项和满足 （）写出数列的前3项；（）求数列的通项公式；（）证明：对任意的整数，有（04年全国卷） 简析 （）略，（） ；（）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 （减项放缩），于是 当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。