三次样条插值课件.ppt

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1、引例,2.7.1 三次样条插值函数的概念,一 背景,二、样条函数的定义,例2.13,定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一）,2.7.2 三弯矩法,边界条件1（固支边界）,边界条件2（简支边界）,边界条件3（周期边界）,例2.14,2.15,2.7.3 m关系式,2.7.4 三次样条插值函数的性质,2.7 三次样条插值,引例:y=sin x 在区间0，上的插值逼近,1.二次插值,2.两点埃尔米特插值,3.分段埃尔米特插值,高次插值出现龙格现象,但分段线性插值在节点处不一定光滑,但导数值不容易提取（找到）,为得到光滑度更高、应用方便的插值函数,我们引入样条插值函数。“样条”名词来源于工程中船体、

2、汽车、飞机等的外形设计：给出外形曲线上的一组离散点(样点)，如(xi,yi)，i=0,1,2,n,将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定，使其在其它地方自由弯曲，这样样条所表示的曲线，称为样条曲线(函数)。,一 背景,2.7.1 三次样条插值函数的概念,x=-5:5;y=1./(1+x.2);plot(x,y,x,y,o),x=-5:5;y=1./(1+x.2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,b,x,y,ro),被插值函数:,-5 x 5,3/18,x=0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0;y

3、=0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0;,n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,o),相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较Cubic Spline Interpolation Lagrange Interpolation,下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函数 在数学上，三次样条曲线表现为近似于一条分段的三次多项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。,二、样条函数的定义,定义 2.8（三次样条函数）

4、,多项式。,，即具有连续的一阶，二阶导数。,满足下述条件：,的一个3次样条函数。,定义2.8*给定区间a,b上的一个分划:a=x0 x1 xn=b已知 f(xj)=yj(j=0,1,n),如果,满足:(1)S(x)在 xj，xj+1上为三次多项式;(2)S”(x)在区间a，b上连续;(3)S(xj)=yj(j=0,1,n).则称 S(x)为三次样条插值函数.,注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,f(x),H(x),S(x),插值条件:S(xj)=yj(j

5、=0,1,n)n+1个连续性条件:S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)3(n-1)个,共可建立方程(4n-2)个！,方程数少于未知数个数？,共有,个条件,要唯一确定,还必须附加2个条件,这两个条件常在插值区间a,b的边界点a,b处给出，称为边界条件。边界条件的类型很多，常见的有：,附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:(a)固支边界(b)简支边界 特别地,(自然边界,三次自然样条);,(1),(2),第3种边界条件（周期边界条件）：,注意：上述给出的 个条件是问题本身隐含的，和共 个

6、独立条件须提供，故 节点三次样插值问题只有 个自由度.(请与分段三次Hermite插值比较!),且,定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一）,(2)给定边界条件,，则,于,存在,例 2.13 已知 f(1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求1，1 上的三次自然样条(满足自然边界条件).,解 设,则有:S(-1)=a1+b1c1+d1=f(-1)=1,S(0)=d1=f(0)=0,S(1)=a2+b2+c2+d2=f(1)=1,S(0-0)=d1=S(0+0)=d2,S-(0)=c1=S+(0)=c2,S-(0)=b1=S+(0)=b2,由自然边界条件:S(0)=6a1+2b1=0,S(1)=

7、6a2+2b2=0,解方程组,得 a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0,问题的解,x=-1,0,1;y=1,0,1;f1=inline(0.5*x.3+1.5*x.2);f2=inline(-0.5*x.3+1.5*x.2);t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,o,t1,t2,p1,p2,r)Hold on,plot(t1,t2,t1,t2.2),y=x2,三次样条插值函数 可以有多种表达式，有时用二阶导数值表示时，使用更方便。在力学上解释为细梁在 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用

8、 表示 的算法为三弯矩算法。,2.7.2 构造三次样条插值函数的三弯矩法-三次样条插值函数的二阶导数表示,由两点拉格朗日插值可表示为,参数,对上式积分,得,再积分,得,由条件,，确定积分常数,将上式代入(2.48)得到三次样条插值函数的表达式,由上讨论可知,只要确定Mj(j=0,1,n)这n+1个值,就可定出三次样条插值函数S(x)。为了确定Mj(j=0,1,n),对S(x)求导得,（2.55）,上式两边同乘以,即得方程,若记,（2.56）,所得方程可简写成,（2.58）,即,（2.57）,三弯矩方程,这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组.要完全确定Mi(i=0,1,n)的值还

9、需要补充两个条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间a,b的两个端点处的边界条件来补充。,由(2.53),得,由(2.54),得,则令j=0，,令j=n，,边界条件1（固支边界）-,对角占优的三对角带状矩阵,(2)若,已知，,代入方程(2.58)，只需解n-1个方程,边界条件2（简支边界）-,对角占优的三对角带状矩阵,(3)对第三类边界条件：,两边同除以,(j=n),(j=n),(j=0),边界条件3（周期边界）-,令,得,又由,三弯矩方程可写为,小结：在三个边界条件下的三弯矩方程,说明：,（1）方程组(2.59)(2.61)系数矩阵都是严格对角占优矩 阵，因此方程组(2.59)(

10、2.61)有唯一解,（2）Mj 在力学上为细梁在xj处截面处的弯矩,且弯矩与相邻的两个弯矩有关,故方程组(2.59)(2.61)称为三弯矩方程。Mj 在数学上称为曲率。,实际上,方程组(2.59)(2.61)的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。,.,在本例中，将代入整理后可得：,故所求三次样条插值函数为：,例2.15 已知的函数值如下：x 1 2 4 5 f(x)1 3 4 2,在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件,解:这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定 的方程组形如（2.60）所示，由已知边界条件,有 则得求解

11、的方程组为,根据给定数据和边界条件算出 与,则得方程组,解得,又,即得S(x)在各子区间上的表达式,由式（2.51）知,S(x)在 上的表达式为,代入式(2.50),将 代入上式化简后得,同理S(x)在 上的表达式为,S(x)在 上的表达式为,故所求的三次样条插值函数S(x)在区间 上的表达式为,练习 设在节点 上，函数 的值为，。试求三次样条插值函数，满足条件,解（1）是固支边界，先求，再求解，可知,对第一类边界条件,代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有,（）是简支条件，不过要注意 的不同。由于 和 已知，故可以化简得,代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有,由此解

12、得。,将 代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有,练习 已知离散点:(1.1,0.4000),(1.2,0.8000),(1.4,1.6500),(1.5,1.8000),取自然边界条件 M0=Mn=0,构造三次样条插值函数，并计算 f(1.25).,解 n=3.h0=x1-x0=0.1,h1=0.2,h2=0.1,因此，分段的三次样条插值函数为,由（2.50）,由(2.56)计算得,上述三次样条插值的基本思想和特点是：先利用一阶导数 在内节点 上的连续性以及边界条件,列出确定二阶导数 的线性方程组（力学上称为三弯矩方组），由此解出，再用 来表达S(x)。,实际上，还可以通过别的途

13、径来求取三次样条插值函数。,如：可以先利用二阶导数在内节点上的连续性及边界条件，列出确定一阶导数 的线性方程组（力学上称为三转角方程组），由此解出，再用 表达 S(x),在某些情况下，这种方法比前者更简单适用。,2.7.3 m关系式 用一阶导数表示的样条插值函数,给定插值点(xi,yi),设S(xi)=mi,i=0,1,2,n,则 xi,xi+1上的三次Hermite插值为,令 hi=xi+1-xi,S(x)C2a,b,对(2.62)求二阶导数,令 xi+=xi+0,在 xi,xi+1上得到 xi 点的右导数，同理，在 xi-1,xi 上构造三次样条插值 S(x),在 xi-1,xi上得点 x

14、i 的左导数，,三种边界条件：,由此可解得m1,m2,mn-1，从而得 S(x)的表达式.,（2.66）,对于边界条件(1),两个方程则m1,m2,mn-1满足方程组,对于边界条件(2),可导出两个方程:,(2.67),若令,则（2.65）和（2.67）可合并成矩阵形式,（2.68）,可解出,从而得 S(x)的表达式.,由(2.65)和(2.6)可解出，方程组的矩阵形式为,其中,（2.70）,（2.69）,其中,由于误差估计与收敛性定理的证明比较复杂，下面只给出误差估计的结论。,误差估计式（2.69）除可以用于误差估计外,它进一步表明，当 时，在插值区间 上，对于满足边界条件（2.44）或（2.45）的插值函数，不仅 一致收敛于，而且 一致收敛于，一致收敛于。,用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数，不会发生龙格现象。因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛的应用。,本章内容：,改进方法：列维尔算法、埃特金算法、牛顿法,注：分段插值中乍看上去没有构造插值基函数，但实际上线性插,值用了线性L-插值基函数，三次样条插值的基函数可为：,