X5LTI系统的频域分析课件.ppt

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1、 3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（1）基本关系 具有频谱 的信号 通过冲激响应为 的LTI系统时，输出响应为 其中，系统传递函数（又称频率响应或频率特性）是冲激响应 的FT,应用举例：,已知一水温测量系统的单位阶跃响应为：要求设计一补偿系统，使得当测量系统的输出作为其输入时，补偿系统的输出等于水温的瞬时温度。,应用举例：,设计一补偿系统，使得当测量系统的输出作为其输入时，补偿系统的输出等于水温的瞬时温度。,应用举例：,设计一补偿系统，使得当测量系统的输出作为其输入时，补偿系统的输出等于水温的瞬时温度。,应用举例：,逆系统的响应应该满足,应用举例：,这种逆系统难以真正实现，但可在

2、一定的近似条件下设计一个相近的系统。利用逆系统的补偿作用可以加快系统测量的反应时间，但这是要付出代价的，其代价就是逆系统的加入会增加测量误差。如果由于测量系统内某些无规则的变化产生了误差的话，那么，这个误差通过逆系统后可能会变得更大，甚至使得整个系统无法正常工作。,3-5 LTI系统的频域分析,频率为 的复指数信号是线性时不变系统的特征信号，也称为本征信号。,3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（2）正弦信号通过LTI系统当输入输出频谱为 输出信号为,3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（2）正弦信号通过LTI系统 这表明，角频率为 的正弦信号通过LTI系统后，输出信号仍为

3、同一角频率的正弦信号，变化仅在于：幅度乘以幅度传递函数（又称幅频特性）在 处的值 相位增加相位传递函数（又称相频特性）在 处的值 这意味着，正弦信号能形状不变地通过LTI系统，因此它是LTI系统的本征信号。,3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（3）周期信号通过LTI系统周期信号有FS展开式通过LTI系统的输出为 恰当选择系统传递函数的滤波特性，就能在抑制输入信号中的某些不想要的频率分量（即杂波和干扰）的同时，增强输入信号中的那些需要输出的信号分量。这就是得到广泛应用的滤波器的原理。,3-5 LTI系统的频域分析,图像去噪：,3-5 LTI系统的频域分析,ECG信号去噪的实例：,3-

4、5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（3）周期信号通过LTI系统例题3-24：已知一低通滤波器的幅度传递函数如图（a）所示，它具有零相移的相频特性，如果输入信号 为图（b）所示并且 的锯齿波，求输出信号。,（a）低通滤波特性（b）输入锯齿波,3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（3）周期信号通过LTI系统例题3-24：因为，由它和图3-27知，输出信号仅剩有直流分量和基波分量，所示锯齿波的直流分量=E/2，而其基波分量为，所以知,3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（3）周期信号通过LTI系统此类问题求解步骤：1）首先判断该连续周期信号中有何分量（依据各类对称性）2）

5、滤波后的分量系数求解该题中基波分量求解，也可直接通过公式：,同理，判断如下信号通过系统后的信号？,3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（4）因果正弦信号通过LTI系统定理：当因果复正弦信号 激励 的 LTI系统时，系统稳态响应为证明：显然，当 时，结论成立。因此，可设。此时，从复调制定理知，其中，是阶跃信号的FT；并由时域卷积定理知，输出频谱为,3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（4）因果正弦信号通过LTI系统使得输出稳态响应为 输出暂态响应的频谱为 暂态响应是系统系统特征分量的加权和,3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（4）因果正弦信号通过LTI系统推论1：

6、当因果正弦信号 激励 的LTI系统时，系统稳态响应为,3-5 LTI系统的频域分析,1.系统传递函数（5）因果周期信号通过LTI系统推论2：当因果周期信号 激励 的LTI系统时，系统稳态响应为用傅氏级数展开周期信号，它经因果化后得到的因果周期信号 由定理知推论2成立。,3-5 LTI系统的频域分析,2.系统功能分析 频域分析不仅可用来分析周期信号通过LTI系统的响应，而且可用来分析系统的功能，并理解信号在通过一个大系统的各个功能部件或子系统后，信号频谱发生的变化。,3-5 LTI系统的频域分析,2.系统功能分析例题3-25：倒频器为使通信保密，可使用倒频器（scrambler）对信号进行倒频后

7、发送，再在接收端进行逆倒频。图3-28（b）示出了一个倒频系统，如果输入带限信号 的频谱 如图3-28（a）所示，其最高频率为；已知调制频率；图中的HPF为截止角频率等于 的理想高通滤波器；LPF为截止角频率等于 的理想低通滤波器。要求画出 和 的频谱图。,3-5 LTI系统的频域分析,2.系统功能分析例题3-25：倒频器,3-5 LTI系统的频域分析,2.系统功能分析例题3-25：倒频器 带限于 带限于 带限于,3-5 LTI系统的频域分析,2.系统功能分析例题3-26：单边带调制器图（a）示出了一个单边带调制器，如果输入带限信号 的频谱 如图（b）所示，其最高频率为；已知调制频率；图中的希

8、尔伯特滤波器 为90度相移器。要求分析其工作原理，并画出的频谱图。,3-5 LTI系统的频域分析,2.系统功能分析例题3-26：单边带调制器希尔伯特滤波器的输出 的频谱为,3-5 LTI系统的频域分析,2.系统功能分析例题3-26：单边带调制器由于，并且 带限于，所以，有如图（e）所示的输出信号 的频谱图。它带限于 是输入信号频谱 的单（上）边带调制谱。,3-5 LTI系统的频域分析,2.系统功能分析实际上，复信号 有如图（c）所示的单边谱：使得复调制信号 有如图（d）所示的单边谱：输出信号 有如图（e）所示的单（上）边带调制谱,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析

9、（1）LTI系统频域特性分析 从系统微分方程求解系统传递函数和冲激响应使用FT可方便地从系统微分方程求解系统传递函数和冲激响应其计算步骤是：首先在输入激励为单位冲激的假设下，利用FT的微分定理对微分方程进行FT，并整理后得到系统传递函数；最后取传递函数的逆FT后，就得到系统冲激响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）LTI系统频域特性分析 例题3-27：描述系统的微分方程为 求其传递函数和冲激响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）LTI系统频域特性分析 从系统微分方程求解系统零状态响应例题3-28：描述系统的微分方程

10、为求系统在输入为 下的零状态响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）傅里叶变换的因果时域微分性质对表示因果时域微分性质的时域表示式（2-472-49）取傅氏变换，就得到傅里叶变换的因果时域微分性质：,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）傅里叶变换的因果时域微分性质该性质不同于傅里叶变换的非因果时域微分性质之处是，考虑了因果化时初始条件的影响，因此，它可有效地用于从带有非零初始条件的微分方程求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）傅里叶变换的因果时域微

11、分性质从带有初始条件的微分方程求解系统零状态响应、零输入响应和全响应例题3-29：描述系统的微分方程为已知初始条件 输入为 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）傅里叶变换的因果时域微分性质,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）傅里叶变换的因果时域微分性质从带非因果激励的微分方程求解系统零状态响应、零输入响应和全响应例题3-30：描述系统的微分方程为求由激励 产生的系统零输入响应、零状态响应和全响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）傅里叶变换的因果

12、时域微分性质例题3-30：把输入信号 分解为因果分量 和反因果分量 之和，则，在-时刻必然处于的零初始条件下，由因果分量产生的系统响应就是系统的零状态响应，由反因果分量产生的系统响应的因果分量就是系统的零输入响应，而由输入信号 产生的系统响应就是系统的全响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）傅里叶变换的因果时域微分性质例题3-30：（1）系统的零状态响应,FT,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（1）傅里叶变换的因果时域微分性质例题3-30：（2）系统的零输入响应,FT,因果化,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和

13、系统的频域特性分析（1）傅里叶变换的因果时域微分性质例题3-30：（2）系统的全响应,FT,因果化,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析 使用FT可以直接在频域分析线性电路的特性，而无需建立其微分方程，这很便于实际电路的分析计算，而且物理意义清晰。（2.1）典型元件的阻抗元件的阻抗 定义为其端电压 的FT 与流过的电流 的FT 的比值，即,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析阻抗就是以流过元件的电流为激励、以元件端电压为响应的系统的传递函数,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频

14、域特性分析（2）电路频域特性分析（2.2）线性电路的传递函数、幅频特性和相频特性首先，使用电路中各元器件的频域表示，建立频域电路图；然后，使用频域KCL、KVL等电路定律建立联立的代数方程组；最后，从中得出所需的系统传递函数，并进而分析其幅频特性、相频特性等。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析例题3-31：计算图3-31（a）所示的微分电路、图3-32（a）所示的积分电路、图3-33（a）所示的串并联选频电路和图3-34（a）所示的纯相移网络的传递函数、幅频特性和相频特性。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（

15、2）电路频域特性分析微分电路：,(a)微分电路(b)幅频特性(c)相频特性,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析微分电路：传递函数特征频率：幅频特性：相频特性：从其幅频特性可见，微分电路是个高通滤波器，并且 为它的截止频率；从其相频特性图可见，相移量始终不小于零，因此它是个相位超前网络，其相位超前量不大于90。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析积分电路：,(a)积分电路(b)幅频特性(c)相频特性,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析积分电路

16、：传递函数特征频率：幅频特性：相频特性：从其幅频特性可见，微分电路是个低通滤波器，并且 为它的截止频率；从其相频特性图可见，相移量始终不大于零，因此它是个相位滞后网络，其相位超前量不大于90。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析串并联选频电路：,(a)串并联选频网络(b)幅频特性(c)相频特性,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析串并联选频电路：传递函数特征频率：幅频特性：相频特性：从其幅频特性可见，微分电路是个选频滤波器，并且 为它的中心谐振频率；从其相频特性图可见，在中心谐振频率处相移为零

17、，并且是个递减函数。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析纯相移网络：,(a)纯相移电路(b)幅频特性(c)相频特性,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析纯相移网络：阻抗匹配约束：从负载往网络看的等效电源的开路电压源为 内阻为：频率特性：幅频特性：相频特性：,具有纯相移特性的全通滤波器,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析（2.3）线性电路的响应用频域分析计算不但可确定系统的频域特性，也可建立描述系统的微分方程，并进而计算系统的零输入响应、零状态

18、响应和全响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析例题3-32：计算图2-1所示电路的以输入电压为激励、以输入电流为相应的系统传递函数，写出相应的系统微分方程，并计算由激励产生的零状态响应、零输入响应和全响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析该电路的频域零状态等效电路：,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析依据此微分方程，用FT计算系统零输入响应、零状

19、态响应和全响应，详细过程见例3-29,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析众所周知，频域分析对系统稳态响应的分析最有效，这是因为在 时刻加入的 造成的系统响应在观察时刻之后早已稳定实际上频域分析也可用来分析系统的暂态响应,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析（2.4）线性电路对因果正弦信号的零状态响应因果复正弦信号 激励 的线性电路时，系统稳态响应和暂态响应分别由式（3-82）和（3-83）给出。因为因果正弦信号和因果周期信号可分解为复正弦信号的加权和，所以，可据此计算电路对因果正弦信号和因果周

20、期信号的响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析例题3-33：求图3-36(a)所示LR串联电路以因果正弦电压 为输入信号、以回路电流为输出信号的零状态响应。,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析系统传递函数品质因数,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析电路的稳态响应电路对 的暂态响应为,3-5 LTI系统的频域分析,3.LTI电路和系统的频域特性分析（2）电路频域特性分析取虚部后，有电路的暂态响应,3-5 LTI系统的频域分析,4.用于计算

21、卷积的FT法使用FT可以方便地计算卷积，这就是卷积计算的FT法，如图所示。即，首先计算两个被卷积信号的频谱，然后相乘并取逆傅里叶变换，就得到所需结果。,3-5 LTI系统的频域分析,4.用于计算卷积的FT法例题3-34：用FT计算卷积,3-5 LTI系统的频域分析,4.用于计算卷积的FT法例题3-35：计算图3-38（a）的矩形窗函数与图3-38（b）的奇对称矩形窗信号的卷积。,3-5 LTI系统的频域分析,4.用于计算卷积的FT法例题3-35：,3-5 LTI系统的频域分析,5.无失真传输和理想低通滤波器(5.1)无失真传输所谓无失真传输，指的是：任何信号 通过传输系统后，得到的输出 只有幅

22、度上的增衰和时间上的延迟，即，其中，增益 和延迟时间 为常数。这意味着，无失真传输系统的冲激响应和频率响应为,3-5 LTI系统的频域分析,5.无失真传输和理想低通滤波器(5.1)无失真传输无失真传输系统是具有平坦幅频特性和斜率等于延迟时间之负的线性相频特性的系统,信号的不失真传输条件：,幅度失真：由于 改变所引起的失真。相位失真：由于 改变所引起的失真。,在不同的应用场合，对幅度失真和相位失真有不同的要求，表现出不同的敏感程度。,在声音传输中，主要关注幅度失真；在图象、图形传输中主要关注相位失真。,仅保留图像的相位谱,3-5 LTI系统的频域分析,5.无失真传输和理想低通滤波器(5.2)理想

23、低通滤波器具有无限带宽的有平坦幅频特性的理想延迟器是物理上难以实现的，实际上也不必如此苛刻要求。考虑到通过系统的物理信号总是带限于 的，因此，为便于实现，可放松要求为,3-5 LTI系统的频域分析,5.无失真传输和理想低通滤波器(5.2)理想低通滤波器虽然理想低通滤波器的系统频率响应与式相同，但此时，滤波器的带宽 小于输入信号的带宽，使得输出信号的带宽变窄了，变成所要的信号带宽。,3-5 LTI系统的频域分析,5.无失真传输和理想低通滤波器(5.2)理想低通滤波器对其传递函数进行逆FT，知其冲激响应为积分后，可得理想低通滤波器的阶跃响应其中，利用了事实：，并定义了正弦积分函数,3-5 LTI系

24、统的频域分析,5.无失真传输和理想低通滤波器(5.2)理想低通滤波器下图示出了理想低通滤波器的冲激响应和阶跃响应。明显可见跳变信号通过理想低通滤波器时产生的吉布斯(Gibbs)现象：幅度约为跳变幅度的9%的上冲和平坦区的衰减振荡。,1898年Michelson在用谐波分析仪研究周期信号时，发现了意想不到的情况：对方波信号，用各个谐波叠加时，在信号的间断点处始终存在振荡和超量，并不随所取谐波分量的增加而有所减小。,1899 年Gibbs 解释了这一现象。,傅氏级数在信号的连续点处收敛于信号本身，在间断点处收敛于间断点左右极限的平均值。用有限项傅氏级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会

25、出现振荡和超量。超量的幅度不会随项数的增加而减少。只是随着项数的增多，振荡频率变高，向间断点处压缩，从而使它所占有的能量逐步减少。,这正是由于傅里叶级数是在均方误差最小的准则下对信号的最佳近似所导致的必然结果。,Gibbs现象表明：,3-5 LTI系统的频域分析,5.无失真传输和理想低通滤波器(5.2)理想低通滤波器根据LTI性，矩形窗函数 通过理想低通滤波器的输出为可以观察到矩形脉冲通过理想低通滤波器后产生的较严重失真，也观察到前后沿的吉布斯现象。,3-5 LTI系统的频域分析,5.无失真传输和理想低通滤波器(5.2)理想低通滤波器由于具有无限带宽的矩形脉冲在通过理想低通时，只有低频分量被保

26、留了，而其丰富的高频分量被抑制了。数字通信中，传输系统的有限带宽造成了所传输的数字脉冲的失真，因此，需在数字中继站对它进行整形和再生。,Gibbs现象,低通滤波例子,3-5 LTI系统的频域分析,5.无失真传输和理想低通滤波器(5.2)理想低通滤波器应用举例：在用A/D变换器对模拟信号进行采样之前，使用具有低通特性的抗混叠滤波器，把输入模拟信号的带宽限制在采样频率的一半之内，避免信号频谱混叠；为从采样信号无失真复原原始的模拟信号，必须使用带宽为原模拟信号的带宽的理想低通滤波器；通信系统中的信号调制-解调。,DFT example,example 11.8(p455)：The figure sh

27、ows a portion of Touch-Tone signal for the number“4”.The 1024 samples are collected at 8kHz.,The peaks in the magnitude of the DFT spectrum reveals that the signal has two components,700Hz and 1209Hz,respectively.So the key number 4 is identified.,4.8 幅度调制:(Amplitude Modulation),一般的通信系统总是由以下环节组成:,调制

28、是指用一个信号去控制另一个信号的某一个参量的过程。被控制的信号称为载波(Carrier Wave)，控制信号称为调制信号(Modulation Signal)。,幅度调制是最简单、也是应用最广泛的调制方式。,在通信系统中调制与解调是基本的技术。,在幅度调制中，视载波的不同，有正弦幅度调制和脉冲幅度调制。,一.DSB(Double-Side Band)调制与同步解调:,幅度调制的数学模型是乘法器。为调制信号(基带信号)，为载波，为已调信号。当 时称为正弦幅度调制。,从已调信号恢复调制信号的过程称为解调。,若,则,这种调制在 中保留了 的上、下两个边带，因此称为双边带正弦幅度调制。,同步解调:(S

29、ynchronous demodulation),将 再次与同频载波相乘有：,在频域有：,显然，只要滤掉第二项即可实现对 的恢复。,载波相位的影响:,可见，必须要求调制和解调时所使用的 载波不仅要严格同频，而且要相位同步(以保证相位差 与时间无关)。这种解调方法称为同步解调。,技术实现的关键:,采用频率合成技术以保证载波的频率准确度和频率稳定度；采用锁相技术以保证相位同步。,这种解调方式只适用于点对点的通信。,二.AM调制与包络解调：(Envelope Demodulation),要想从已调信号的包络解调出原基带信号，必须要求已调信号的包络完全保留基带信号的形状，即要求调制信号始终非负。,为此

30、，要在DSB调制方案中加入足够大的载波分量。,这种调制方式被称为标准的AM调制。,包络解调付出的代价是发送功率的浪费。因为加入的载波并不携带任何有用信息，这部分功率的发射对有用信息的传输是无用的。,如果，定义 为调制指数，显然。在不对称调制的情况下，,称为上调幅指数；,称为下调幅指数；,在对称调制时，,此时，已调信号的平均功率是载波功率的1.5 倍，而这些功率中真正用于传输有用信息的边带功率只是载波功率的1/2，只占整个已调信号功率的1/3。,已调信号的最大峰值等于载波峰值的 2倍，这要求,发射机的峰值功率容限是载波功率的 4 倍，发射机的效率是很低的。,从功率利用的角度,越大越好；从包络检波

31、的效果来看，越小越好。因此，在包络解调中，通常折衷地取。,三.频分复用FDM:(Frequency Division Multiplexing),信道具有相应的频率特性，不同信道对不同频段的信号具有最佳传输特性。,信道具有比信号带宽大得多的频带。,频分复用可以大大提高信道资源的利用率。,对频分多路复用信号解调时，首先要解复用。,从复用信号的频谱中利用带通滤波器滤出所需的一路信号，然后对该路信号进行解调。,四.PAM调制与时分复用：,当载波是脉冲串时，称为脉冲幅度调制，(Pulse Amplitude Modulation)。,时分多路复用TDM:(Time Division Multiplexing),在脉冲串载波的每个周期里，依次为各路信号分配一个相应的时隙，在该时隙内传送这一路信号。只要各路信号的时隙彼此不重叠，就可以实现多路信号的同时传送。在接收端通过循回检测实现解复用。,随着 的减小，为保证一定的抗噪声性能，需要增大载波脉冲的幅度。,理想带通滤波器的冲激响应,思考：如何求解该滤波器的单位冲激响应？,理想带通滤波器的冲激响应,