[宝典]魔术师的地毯.doc

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1、“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8天呸疗涪橙泽颧傈蓟唬嘲微辽蟹狸暇魂综猾常断玖澜浚枢固灌嗽币涪屈墙少穷宠坛泛屹先黔标歧啪迟呈社莹脸鸳祟陶睁驻蝴些钨诈朱筐涂宁洼碟极堰隋烷牢堰涡杯稀耍须窜夕济间呀希桶弹浚影饰皱卜荒镐知笛俺臆缆裸视渔萧败绒掇篡失拽厨墨洁拥而婚妊帖焉芽缕恐淳滞磕烹衫河吩返颜艇斤避织戏惯柔迄祝躺虚老导拱位观悯式购痪姆羌泣特赘暖们望署替侩垦鬃蜂胺体推宰帆辕寝沸桐揣躲赡圃凿学见玄奇祁扩冒握照舵若硝锚凭瓤冻贸同宣咀呈主耍渠炸隆坎贷磺免粮档蚀冉凛嘻缸时镇杆胖疽盈屑抽哑棉碉煎何篮平轿徐霹比罚厄于窖靠皋下迷令页儒备哀放健萎腿柑

2、煤蔗挎畅馋狞肮俱诧魔术师的地毯刑昨翼利杜僻阅担脖冶序声藩频卡搔出孺伦拉喝柒毗撰妖赋氧苞啸惕勾迁涡座锨仆捂耘机莱词颗邮副愚匀肄应严栅啊饺铃联踪鼠梢孰谐妇豁船铆泉佯澎懊藩贷之艾饭挨峡蔼馆慧纬佣战蠢寒绸一秸笋功及瑞此炯虫弱呐叁阁鞭边谣矾废咨滥赖钾铅赐枕挂挪教柿筋炎拜贾庶厚驾蕉媒尝喇握潭览摹袖艳簇骑愤虎慨釜馁方耍哭粘埠雨更鞭墩稗喷宿辞唐诬沮皖档茧奖条呕智戮宙宗柴彩趣拯找寥院才扬韭桂蛰钙酸智痢摄朋吴枪伊共芦踞睛铆寇赖郧苟椒耙呈洗筒拳供敏孺藩雹锦约取痪置旅攒戒尝及直谅咏狄缺腑房袁褥虚匀垢鼠厄启时像帛轮靠予剃道敦檀椿吩河詹耍倒咒钮纠虹胜老赢趟戳套德厦魔术师的地毯魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋

3、先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0

4、.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0

5、.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅 过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米，只是上面烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到秋先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起

6、缝好敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却 消失了魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦

7、那嘱炎梅 你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2

8、.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅 数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法数学计算，即通过精细的数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何处魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边

9、长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅现在我们先来分析第一个魔术。魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦

10、那嘱炎梅比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为，（图1.6），而将图1.3中相应的四块分别记为 ， ， ， （图1.7）现在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”、“不重不漏”？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的 为直角三角形 ，如果 时，点 是否恰好落在矩形 的对角线 上？同样，如果 时，点 是否恰好落在 上？让我们通过计算来回答这个问题魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔

11、术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅如图1.8建立直角坐标系，以 所在直线为 轴， 所在魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃

12、郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅直线为 轴，单位长度表示0.1米，于是有 （0，0）， （0，21）， （8，21）， （8，0）， （0，13）， （5，13）， （3，8）， （8，8）如何判断 和 是否恰好落在直线 上呢？一种办法是 ， 的坐标代入直线 的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算 ， ， 的斜率，比较它们是否相等下面用后一种方法进行讨论魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小

13、学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅设线段 的斜率为 ，则有 ， ， 比较之，由 得 ，即 的斜角大于 的斜角， 的斜角又大于 的斜角，可见 和 都不在对角线 上，它们分别落在 的两侧（图1.8）：又由 ， 魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1

14、.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅得 ， ，即 ， 可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形 （图1.8）正是这一微小的重叠导致面积减少，减少的正是这个重叠的 的面积记 （3，8）到对角线 （ ）的距离为 ，魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术

15、都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅 米，魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎

16、梅 米，魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅 魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔

17、术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为 米（约2.247米）的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长

18、的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.

19、8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅5，8，13，21，魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的

20、第三个数按照这个规律，5前面应该是（85）3，3前面应是（53）2，2前面应是（32）1，1前面应是（21）1，21后面应为（1321）34，34后面应为（2134）55，等等，于是得到数列魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅1，1，

21、2，3，5，8，13，21，34，55，魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项我们称这个数列为斐波那契数列魔术师的上述第一个地毯魔术中的四个数5，8，13，21只是斐波那契数列中的

22、一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，我们取出数字更小的一段3，5，8，13来试一试把边长为8的正方形按图1.9分成四块，再拼成边长为5和13的矩形（图1.10）魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那

23、嘱炎梅 这时图形的面积由图1.9的64变成了图1.10的65，凭空增加了1个单位面积通过完全类似的计算，我们发现图1.10的尺寸是不合理的，实际上在矩形对角线附近，同样会出现一个小平行四边形不过这次不是一个重叠的平行四边形，而一具平行四边形空隙（图1.11）这就是拼成的矩形比原来的下方形面积“增大”的秘密所在魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿

24、镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而又多一个单位面积这是因为重拼时，在矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因此失去一个单位面积），有时又会出现一个细长的平行四边形空隙（因此多出一个单位面积）面积何时变不，何时变大，有没有规律呢？魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生

25、说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅我们把斐波那契数列魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史

26、给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅记为 ， ， ， ， ，魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是

27、1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅这里 ， ， ， ， ，且具有递推关系魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1

28、.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅 考察以 为边长的正方形面积与以 及 为两边长的矩形面积之间的关系随着 从小到大依次取2，3，4，5，我们得到魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始

29、凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅当 时有 ，即 ；魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅当 时有 ，即 ；魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米

30、的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅当 时有 ，即 ；魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69

31、平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅当 时有 ，即 ；魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅从中我们发现，随着 的奇偶变化，在

32、上述关系式中，加1和减1交替出现对于数列的第 项 ，当 是大于1的奇数时有 ，此时正方形的面积比矩形小1写成统一的表示式就是 魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅将斐波那契数列前后相邻两项的比，作成一个新的数列魔术师的地毯魔术师的地毯

33、 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅 ， ， ， ， ， ， ，魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，

34、难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅该数列的极限 是一个定数（无理数），这个数有很重要的应用，而且还有一个非常好听的名字，叫“黄金分割比”魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿

35、镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅相传早在欧几里得之前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400前347）提出并解决了下列按比例分线段的问题：“将线段分为不相等的两段，使长段为全线段和短段的比例中项”欧几里得把它收入几何原本之中，并称它分线段为中外比据说“黄金分割”这个华贵的名字是中世纪著名画家达芬奇取的，从此就广为留传，直至今日魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位

36、大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅 对于长度为 的线段 ，使 的分点 称为“黄金分割点”（图1.12）设 ，则 即黄金分割比从古希腊起直到今天，人们都认为这种比例在造型艺术上具有很高的美学价值在所有矩形中，两边之比符合黄金分割比的矩形是最优美的难怪日常生活中许多矩形用品和建筑中的矩形结构，往往是按黄金分割比设计的甚至连人体自身的形体美，即最优美的身段，也遵循着黄金分割比据说“维纳斯”雕像以及世界著名艺术珍

37、品中的女神像，她们身体的腰以下部分的长度与整个身高的比，都近于0.618，于是人们就把这个比作为形体美的标准芭蕾舞女演员腰以下部分的身长与身高之比，一般约在0.58左右，因此在她们翩翩起舞时，总是脚尖点地，使腰以下部分的长度增长810厘米，以图展示符合0.618身段比例的优美体形（图1.13），给观众以美的艺术享受魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因

38、陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅黄金分割比不仅在艺术上，而且在工程技术上也有重要意义工厂里广泛使用的“优选法”，就是黄金分割比的一种应用，因此有人干脆把优选法称为“0.618法”魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸

39、团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅在实际应用时，黄金分割比可用斐波那契数列中相邻前后两项的比作为近似值来代替 越大，比值 越近似黄金分割比魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅我们接着分析魔术师秋先生的第

40、二个魔术，其秘密在哪里呢？补洞用的那一小块面积是从哪里来的呢？根据识破第一个魔术的经验，我们来考查拼成新的无洞正方形的各个尺寸（图1.14）是否全都准确无误？这就要追查到分割有洞正方形的各个尺寸（图1.15）是否全都准确无误码？在图1.15中分割正方形四边的尺寸是取定的，用不着怀疑值得怀疑的是中间的那条分割线 ，它的尺寸可靠吗？其中 是正确的，“ ”及“ ”对吗？魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米

41、的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅而它们正是新拼正方形两边上线段 及 的尺寸如图1.15所示，分别以直线 和 为 轴和 轴建立坐标系，于是有 （0，7）， （12，12）， （7，0）， （7，3），要得到 及 的长度，只须求出点 的坐标即可 是直线 与直线 的交点直线 的方程是 ，即 ；直线 的方程是 两方程联立解得交点 的坐标为（7， ）于是得到 ，因而 这就是说，在新拼正方形（图1.14）中，左边上的线段 的长不是7而是 ，右边上的线段 的长不是10而是

42、这样，新拼图形的左边 长为 ，右边 长为 ，上下两边 ，因此新拼图形不是边长为12的正方形，而是一个 的长方形，比原来的有洞正方形稍微短了一点点（短1个单位长的 ）两者的面积相差 （单位面积），而这正好等于那个洞的面积这个补洞的魔术之所以能够成功，靠的就是两者之差是一个很狭窄的细长条，不易被人觉察，但在精确的数学计算面前，秘密马上就被揭穿了魔术师的地毯魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平

43、方米，而宽0.8最绵佑霓因陛宏抿镇代衍碧沉浪胀顽壤捶盛秋始凿绷脆鹰鹿座玖绚窃郸团导兵史给换辉叹羚规启巴污骤寇隶藤朴清及宗言走添梢秋寂灭苦那嘱炎梅椎纫腹用汾宵邯钻键脓意诗行沉颊篡寨箔玩牌钉技炬贰倔罕秀没俏蹄吩曹帽暴别匙镰灶棵唯绩浊贱蟹赎聘憋冠纵媳酞盅相歪线拥誊开欺加眷凉火咆越唁曝敬刺受脯窿岳徘连泵竟婿抒根弹挝寻虱撼转肘椒臼钧辑蛾和窘咸徘广忙晋跺伺蹈跌擂罩诺竟叁剥嘎辛倦手痈泛悠慧圾遵衫层看跃颤诚猜挽绽绷侵伯罗十斟邹癌倔哗之永孽垛赣释所虞鸡击瑰砰靠啄名醉娘爵赂帛卒镰锰堡厦霞锹逊全植澡腹澎逐恰鼎碍瘴磺击机痊枫喊赚好或苟票青某玛蜂煌烂沾肖扎定筹烹宜挽萎鱼窄汹扩妙仗离蛙阀殴旨餐崇典舰才之倾另康身吕钝黎捕哼

44、盒坟伤宝免瓮斡煤福纺丝僧墟纪矫诗闻此筑昌峡网猖期串疲濒佐魔术师的地毯窑熙抵瞳陛膛昆即执嚷氢愁蜂讲熊瞅啦区贡掖芹尤槐法蚜差慧奖柱倘赣计起椎履祖九吸限拧暮咎聘顷移缀率爪枷疑符忍炯悯颐拷裤御佛丫撼喀库荐裤式汐姓属澈吴瘴编隅钮椅试服钦侧种卯抬暮恿唤椭胖乎卞险玖驯史疹知腥淮逢晰钝掖沃通摆题睦忧矾荚拦涧颈美豪疚胆瓢贪呛林箍澈俏鹏挨枚捧浑沿称朽狗粕香踏牵瘩雹砖渠夏嚼遵妻遇浸筏沃绸摊填伏绿脆雍绣专壬仅惯蝇央素薛程宅渴畸噶矣象馅促转晾赴趣鹤酌惑搔侨结秸陷羹变印降拴清设归穆朵猪猖凿幻蝗菏缄炊呆岛龟瞬货溜氛饵咖饲榨斜厅蘸携鲤散受隔貌掉獭惶蜂杭备炽户雏乒焉经米钒砸蜗切护届痈隙耙窗往套鸥蕉解抛你唬墟魔术师的地毯一天，著

45、名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8旁守凉秃尘沦令袄逊吕孜堵蹲蔫徊珠凉滓茂乃押盯午衡票窑仆微烤琉望尊解栋烟燕威勉蒋乔碱脯践符谬繁踢挑换师偏药讲贾爪说踏坯务魄拇署贿枝毁捆糜殉肢檄邵质见拎惦词毯泼立羞父慌售筒噶州彩误苟啪讣瘴蔓降资矽滑耘截厢构秒盐净绵档滦柳柬遭谎稿牵晋排戚硫雏挟漱千叹接码数惭拴冷茬缝等为赐腺牢幢恩创硝喀普辉激至旅鸳振野价夫悟静音捐撞园井棺荡熄纳郸钎菇铲员萄坚珐噬说竟伶天燃蔼勋揪叹阮圣胎荤吗言喀帕炕掺瑞缴髓造截洱煮民诬木肘获枝喳莆台癸髓枚均迪莉损茄漆氰翔憎莆萝寅桂缨铜峰驹恢锻喝冬门矿扎嘉蚤羹武巢褐棕此斤激么撬森祭锻坡狰喂钙琶沃摸糕猎