圆中常见的辅助线.doc
《圆中常见的辅助线.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《圆中常见的辅助线.doc(12页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、圆中常见辅助线的做法一遇到弦时(解决有关弦的问题时)1.常常添加弦心距,或作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。作用:利用垂径定理; 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系; 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。例:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证:AC = BD证明:过O作OEAB于EO为圆心,OEABAE = BE CE = DEAC = BD练习:如图,AB为O的弦,P是AB上的一点,AB = 10cm,PA = 4cm.求O的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例:如图,已
2、知AB是O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,CMAB,DNAB,求证: 证明:(一)连结OC、ODM、N分别是AO、BO的中点OM = AO、ON = BOOA = OB OM = ONCMOA、DNOB、OC = ODRtCOMRtDONCOA = DOB(二)连结AC、OC、OD、BDM、N分别是AO、BO的中点AC = OC BD = ODOC = OD AC = BD 3. 有弦中点时常连弦心距例:如图,已知M、N分别是O 的弦AB、CD的中点,AB = CD,求证:AMN = CNM证明:连结OM、ONO为圆心,M、N分别是弦AB、CD的中点OMAB ONCDAB = CD OM
3、 = ONOMN = ONMAMN = 90oOMN CNM = 90oONMAMN =CNM4. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例:如图,已知O1与O2为等圆,P为O1、O2的中点,过P的直线分别交O1、O2于A、C、D、B.求证:AC = BD证明:过O1作O1MAB于M,过O2作O2NAB于N,则O1MO2NO1P = O2P O1M = O2N AC = BD二.有弧中点(或证明是弧中点)时,常有以下几种引辅助线的方法:连结过弧中点的半径连结等弧所对的弦连结等弧所对的圆心角例:如图,已知D、E分别为半径OA、OB的中点,C为弧AB的中点,求证:CD = CE证明:连结OCC为弧A
4、B的中点 AOC =BOCD、E分别为OA、OB的中点,且AO = BOOD = OE = AO = BO又OC = OC ODCOEC CD = CE三. 有直径时常作直径所对的圆周角,再利用直径所对的圆周角为直角证题.例:如图,AB为O的直径,AC为弦,P为AC延长线上一点,且AC = PC,PB的延长线交O于D,求证:AC = DC证明:连结ADAB为O的直径 ADP = 90o AC = PC AC = CD =AP例(2005年自贡市)如图2,P是O的弦CB延长线上一点,点A在O上,且。求证:PA是O的切线。 证明:作O的直径AD,连BD,则 即 即PA为O的切线。四遇到90度的圆周
5、角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用:利用圆周角的性质,可得到直径。练习:如图,在RtABC中,BCA = 90o ,以BC为直径的O交AB于E,D为AC中点,连结BD交O于F.求证:五.有等弧时常作辅助线有以下几种:作等弧所对的弦作等弧所对的圆心角作等弧所对的圆周角练习:1.如图,O的直径AB垂直于弦CD,交点为E,F为DC延长线上一点,连结AF交O于M.求证:AMD =FMC(提示:连结BM)2.如图,ABC内接于O,D、E在BC边上,且BD = CE,1 =2,求证:AB = AC(提示如图)六.有弦中点时,常构造三角形中位线.例:已知,如图,在O中,ABCD,OEBC于E,求
6、证:OE =AD证明:作直径CF,连结DF、BFCF为O的直径CDFD又CDABABDF AD = BFOEBC O为圆心 CO = FOCE = BE OE =BFOE =AD七.圆上有四点时,常构造圆内接四边形.例:如图,ABC内接于O,直线AD平分FAC,交O于E,交BC的延长线于D,求证:ABAC = ADAE证明:连结BE1 =3 2 =13 =2四边形ACBE为圆内接四边形ACD =EABEADCABAC = ADAE八.两圆相交时,常连结两圆的公共弦例:如图,O1与O2相交于A、B,过A的直线分别交O1、O2于C、D,过B的直线分别交O1、O2于E、F.求证:CEDF证明:连结A
7、B四边形为圆内接四边形ABF =C 同理可证:ABE =DABF ABE = 180oCD = 180oCEDF九.在证明直线和圆相切时,常有以下两种引辅助线方法:当已知直线经过圆上的一点,那么连结这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可.如果不知直线与圆是否有交点时,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例1:如图,P为O外一点,以OP为直径作圆交O于A、B两点,连结PA、PB.求证:PA、PB为O的切线证明:连结OA PO为直径PAO = 90o OAPAOA为O的半径PA为O的切线同理:PB也为O的切线例2:如图,同心圆O,大圆的弦AB = CD
8、,且AB是小圆的切线,切点为E,求证:CD是小圆的切线证明:连结OE,过O作OFCD于FOE为半径,AB为小圆的切线OEABOFCD, AB = CDOF = OECD为小圆的切线练习:如图,等腰ABC,以腰AB为直径作O交底边BC于P,PEAC于E,求证:PE是O的切线十.当已知条件中有切线时,常作过切点的半径,利用切线的性质定理证题.例:如图,在RtABC中,C = 90o,AC = 12,BC = 9,D是AB上一点,以BD为直径的O切AC于E,求AD长.解:连结OE,则OEACBCAC OEBC在RtABC中,AB = OE = OB = BD = 2OB = AD = ABDB =
9、15= 答:AD的长为.练习:如图,O的半径OAOB,点P在OB的延长线上,连结AP交O于D,过D作O的切线CE交OP于C,求证:PC = CD十一 遇到两相交切线时(切线长)常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用:据切线长及其它性质,可得到: 角、线段的等量关系;垂直关系;全等、相似三角形。十二遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。 作用:利用内心的性质,可得: 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线; 内心到三角形三条边的距离相等。在处理内心的问题时,常需连结顶点与内心,以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。十三
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 常见 辅助线
链接地址:https://www.31ppt.com/p-3838134.html