高斯消去法课件.ppt
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1、计算机数学基础(下)第5编 数值分析,第10章 线性方程组的数值解法,本章主要内容:,高斯消去法列主元消去法雅可比迭代法高斯赛德尔迭代法迭代法的收敛性重点:高斯消去法、雅可比迭代法难点:迭代法收敛的判定,n元线性方程组的有关概念 由n个未知量,n道所有的未知量都是一次的方程组成的方程组称为n元线性方程组。习惯上我们用xj表示这些未知量,用aij表示它们的系数,用bj表示方程等号右边的常数。因此,n元线性方程组的一般形式为:,n元线性方程组可以写成矩阵的形式 AXB其中:A称为系数矩阵,是nn矩阵,X称为未知量矩阵,b称为常数矩阵,它们都是n1的列矩阵或称为n维列向量。当|A|0时,方程组的解唯
2、一存在。,线性方程组的增广矩阵 由系数矩阵和常数矩阵并列构成的矩阵称为线性方程组的增广矩阵,记作A|b A|b,10.1 高斯消去法,10.1.1 高斯顺序消去法的基本思想 高斯消去法的基本思想是对线性方程组的增广矩阵进行行初等变换,使增广矩阵中的系数矩阵变为上三角矩阵,从而解出最后一个未知数 xn的值,然后在依次回代,求出其余的未知数的值。如果消元是按方程组的自然顺序进行的就称为高斯顺序消去法。,例1.解线性方程组解:将方程组写成矩阵的形式 AXb其中:A|b,它相当于方程组:解得x35,回代到第2式可解得x2 4,再已将求出的x3,x2的值回代到第1式可解得x1-1方程组的解为(-1,4,
3、5)T,10.1.2 高斯顺序消去法公式记初始方程组 AXb为 A(0)Xb(0)第一次消元后的方程组记为A(1)Xb(1)消元公式是:消元后的增广矩阵是:,第二次消元的公式是怎样的呢?,第二次消元后的方程组记为A(2)Xb(2)第二次消元公式是:由此可得,,第k次消元后的方程组记为A(k)Xb(k),公式是:消元进行到第n1次时结束,,可求出xn,然后回代。得到公式:,小结:高斯顺序消去法解线性方程组的步骤:消元对k1到n1,若 进行消元 第k次消元公式前面已经给出。若 回代,方程组的解为,定理1 线性方程组AXb能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。例2.用高斯消去法
4、求解线性方程组解:写出增广矩阵A|b A(0)|b(0),第1次消元:各元素分别加到第2、3行上,得到 A()|b()第2次消元:A(2)|b(2),此时,系数矩阵部分已化为上三角矩阵,因为于是可以回代,得到:所以,原方程组的解为,2001年7月试卷计算题11用高斯消去法求解线性方程组解:A|b,10.1.3 列主元消去法在高斯消去法中 我们把 分别称为第1步、第2步、第k步的主元,如果这些主元中的某一个主元0,当它做除数时就会使舍入误差增大,导致解的严重失真。,为了提高算法的稳定性,应选取绝对值尽可能大的元素作为主元,这种消去法称为列主元消去法。例3.用列主元消去法解线性方程组解:A|b,在
5、第1列中选取绝对值最大的元素-18作为主元,把第1行与第2行互换后再作第1次消元 A(0)|b(0)消元后再选取第2列主元A(1)|b(1),再选取第2列主元,把第2行与第3行互换 A(1)|b(1)再消元得 A(2)|b(2)回代得,2002年1月试卷填空题8 用列主元消去法解线性方程组在作第1次消元之前,应选择主元。,4,2002年1月试卷填空题8用列主元消去法解线性方程组作第1次消元之后的第个方程是。解:A|b,如果矩阵满足即主对角线上每一元素的绝对值均大于同行(列)其它元素绝对值之和,这样的矩阵称为严格对角占优矩阵。如果矩阵满足,各阶顺序主子式的值均为正数,这样的矩阵称为正定矩阵。正定
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