近世代数课程课件.ppt

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1、 4.1-4.3,目的与要求:掌握整除,单位,相伴元,平凡因子,真因子,素元,唯一分解的概念及性质.掌握唯一分解环的概念及等价定义,了解公因子最大公因子的概念与最大公因子的存在性.掌握主理想环的概念和性质，以及主理想环与唯一分解环的关系.,近世代数精品课程,第四章 整环里的因子分解,4.1 素元 唯一分解,定义4.1.1 整环I中的可逆元称I的一个单位.,定义4.1.2 称整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如 在I里找得出元c，使得a=bc.假如a能被 b整除，我们 说b是a的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用 b a 来表示.,单位和单位元是两个不同的概念，单位元一定是一个单位，而单

2、位未必是单位元.,注:,近世代数精品课程,定义4.1.4 单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子.,定义4.1.5 整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不 是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.,定义4.1.3 元b叫做元a相伴元，假如b=a,其中是I的一个单位.,近世代数精品课程,定 理4.1.1 两个单位 和 的乘积 是一个单位，单位 的逆 也是一个单位.,定 理4.1.2,近世代数精品课程,定 理4.1.3 整环中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是：a=bc，b和c都不是单位元.,推论 假定a0，并且a有真因子b，a=bc，那么c也是a 的真因子

3、.,近世代数精品课程,唯一分解,定义4.1.6 我们说，一个整环I的一个元a在I里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）(是I的素元);（ii）若同时(是I的素元);那么,且可把 的次序掉换（是I的单位）.,近世代数精品课程,例 是整环，是4在此环中两种不同的分解.,证明(i),(ii),(iii),近世代数精品课程,4.2 唯一分解环,唯一分解环,定义4.2.1 一个整环I叫做一个唯一分解环(UFD)，如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解,例 是一个UFD,不是一个UFD,近世代数精品课程,定理4.2.1假定I是一个UFD，是I中的素元，则对任意 有：,推论在一个UFD中,

4、若素元，则 必整除某一个,近世代数精品课程,定理4.2.2若整环I满足：(1)(2)若 那么I一定是唯一分解环.,定义4.2.2,定义4.2.3,近世代数精品课程,定义4.3.1如果整环I中的每一个理想都是主理想，则称I是一个主理想环，记为PID.,4.3 主理想环,例 1,近世代数精品课程,例 2,近世代数精品课程,注：定理的逆不成立.例如,近世代数精品课程,4.4-4.6,目的与要求:掌握欧氏环的定义以及欧氏环和主理想环的关系 掌握本原多项式的定义与性质,以及多项式的可约性判断.掌握多项式的根,重根,导数；重根的判别定理.,近世代数精品课程,4.4 欧氏环,近世代数精品课程,近世代数精品课程,例2 数域F上的多项式环,近世代数精品课程,近世代数精品课程,附注 几种常见的整环之间的关系图：,例可取,例可取有理数域、实数域、复数域等,例可取,例可取,例可取 或数域F上的一元多项式环；,近世代数精品课程,4.5 多项式环的因子分解,近世代数精品课程,定理4.5.2 若,近世代数精品课程,4.6 因子分解与多项式的根,定义4.6.1 设,定理4.6.2,推论,近世代数精品课程,定理4.6.3,定义4.6.2,推论,近世代数精品课程,