自由粒子的薛定谔方程课件.ppt

《自由粒子的薛定谔方程课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自由粒子的薛定谔方程课件.ppt（83页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释 由上节的讨论，微观粒子的波粒二象性是对微粒运动的一种统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子波）用一个物理量（）来描述，称为波函数。,1.波函数用来描述具有统计性的物质波（粒子波）的一个函数，它是位置 和时间（t）的复值函数（复数）表示为 或。引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一,2.量子力学基本假设,波函数假设：,微观体系的状态总可以用一个波函数,与,描写同一量子状态。,来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有性质，且,3.波函数的性质和特点微粒的波动性反映了其运动的一种统计性规律。电子的双缝衍射实验

2、中：明暗条纹是波动性的体现屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）亮纹处（亮点密）电子投射的数目多电子投射几率大取的面积大里的电子数目多几率大因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点,德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释，即：波函数的一个重要性质。,玻恩-波函数的几率波解释：空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的小体积元 即 表示在 点附近 小体积元内找到粒子的几率。波函数是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物理量。,波恩是著名的理论物理学家，量子力学的奠基人之一。从1923年开始，他致力于发展量子理论，年轻的海森伯当时是他的助教和合作者，1925年海森伯天才地

3、提出其“关于运动学和力学关系的量子理论”，波恩当即看到海森伯理论的表达形式与矩阵代数相一致，随后他和海森伯、约旦合作发表了长篇论文，以严整的数学形式全面系统的阐明了海森伯的理论。,为什么用 描述波函数而不用？,因为是复数，有物理意义的是，而不是。经典物理：一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。量子力学：所以在量子力学中，用 来描述波函数的物理意义。量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值的平方，所以也叫几率振幅，或几率幅。,练习1:,解：,范围内的几率 则,可为任意范围，为,内的几率,设

4、粒子波函数为，求在范围内发现粒子的几率？,练习2:,设在球坐标中，粒子波函数为,求：在球壳（,）中找到粒子的几率,)方向的立体角d中找到粒子的几率,在（,解：,波函数的归一化,量子力学第一基本假设告诉我们，与 描写同一微观状态说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布如空间R与R点的相对概率：,这与经典波完全不一样，经典波的振幅增加一倍,则其波动能量增加为原来的4倍，完全不同的态。,实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现，在整个空间出现的几率为1,数学上表示为：,波函数的归一化条件,满足上式的波函数,归一化的波函数,为方便引入符号,归一化条件：,量子力学基本假设告诉我们,与 描写同一量

5、子状态，即描写同一量子状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归一化的波函数,（，C为常数）通常需要把波函数归一化（利用波函数的归一化条件）。,归一化常数C的解不确定，可以是正负实数，也可是复数 为常数，可取任意常实数值为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。不讨论相因子（=0），即归一化的波函数不会有相因子的不确定性。,量子力学基本假设告诉我们,例一,已知一维粒子波函数为,（正数），,为已知常数，A为任意常数。,求：归一化的波函数 粒子坐标的几率密度分布 粒子在何处出现的几率最大？,解：,即归一化的波函数为,由,时,有极值,点为极大值,即 粒子在,处出现的几率最大,4.自由粒子运动的波函数平面波

6、,自由粒子不受外场的作用保持原态能量E和动量P不随时间变化 即：自由粒子E，P为常量,由德布罗意公式,数学上为平面波数学上沿力轴正向传播的平面波可表示为：,为常数,量子力学中的波函数一般取复数形式，不能用实数形式 所以描写一维自由粒子的平面波波函数取为：,沿X轴正向传播,具有确定动量,的一维平面波：,单色平面波具有确定的动量、能量。,具有确定动量,某一时刻，如,，具有确定动量,的平面波函数为：,2.2 态的迭加原理,我们知道实物粒子波具有波粒二象性 可以用波函数的统计解释表现出来 还可以用态的迭加原理表现出来,1.态的迭加原理,若体系具有一系列不同的可能状态,则这些不同的可能状态的线形叠加态,

7、即,为复常数),(,也是该体系的一个可能的状态.,2.量子力学对态迭加原理的解释,在 状态下无论何时测量某物理量G(如能量),都有一个确定值,在 状态下无论何时测量某物理量G(如能量),都有一个确定值,根据态叠加原理:,体系可能态,在态下测量力学量G,能得到什么样的结果呢?,在态下测量力学量G的结果,每次测得的结果是不确定的,即可能是,也可能是,但不会是另外的值,而测得,及,的相对概率是确定的.,3.任意波函数的平面波展开,以一个确定的动量,运动的粒子的波函数为一个平面波:,按照波函数的平面波展开规则有:,=,取归一化常数,上式在数学上即是,的傅立叶展开,即:任意波函数,可以看成是将任意动量值

8、,平面波叠加在一起,实际上就是数学上的,的傅立叶展开(变换).,4.动量表象中的波函数,傅立叶逆变换:,我们从两个傅立叶变换式子中可看到,两式互为傅氏变换,已知,就完全确定了,反之亦然.,描写同一个量子状态,同一状态的两种不同描写方式,一般在量子力学中讨论坐标几率密度分布与动量几率密度分布,我们只讨论一维情况,取某时刻,如取t=0,例 题,一维运动的粒子处在状态,求:粒子在动量表象中的波函数 粒子坐标几率密度分布 粒子动量几率密度分布,解:,不随时间变化,所以是一维,=,=,=,2.3 薛定谔方程,量子力学基本假设I(波函数假设)完全描述体系状态,通过态的叠加原理可以以坐标表象,也可以以动量表

9、象,来完全描述,量子力学基本假设II(薛定谔方程假设),体系状态波函数,满足薛定谔方程:,其中,为体系的哈密顿算符,也可以以动量表象,也可以以动量表象,也可以以动量表象,自由粒子的薛定谔方程,一个自由粒子(,)波函数的一个平面波:,是自由粒子薛定谔方程的解,对时间求其一阶偏导及对坐标求其一阶和二阶偏导,可得:,对于自由粒子,能量与动量的关系:,(为粒子的质量),两边同乘,自由粒子的薛定谔方程,2.势场中的粒子的薛定谔方程,势场中运动的粒子，总能E=动能T+势能,两边同乘,势场中运动粒子的薛定谔方程,经典分析力学中，通常用哈密顿量H 表示粒子总能量等于动能与势能的和，H=T+U,即，,哈密顿算符

10、,自由粒子,，所以,薛定谔方程或含时薛定谔方程,3.多粒子体系的薛定谔方程,N粒子体系，其坐标分别为,，体系总波函数,为,的函数，即,体系总能量为：,体系势能（N个粒子在外场中的势能,+粒子间的相互作用能,两边同乘,且,练习：写出氦原子（核+2e电荷）中的两电子体系的哈密顿算符及相应的薛定谔方程。,4.算 符 小 结,能量算符：,动量算符：,动能算符：,势能算符：,哈密顿算符：,2.4 定态与定态薛定谔方程,含时薛定谔方程 波函数如何随时间演化 这个波函数是普遍的，可以描写任意量子态 这些量子态中包括能量本征态（每次测得都是确定的能量值，平面波（自由粒子态），动量本征态（动量测得确定值的态），

11、能量叠加状态（能量测不出确定值）,1.定 态,能量具有确定值的状态。（,不含时，保守场）,定态时，波函数及薛定谔方程是什么样的数学形式？,不显含时间时，薛定谔方程的解,含时薛定谔方程：,U不含时分离变量法：设,代入 得：,整理后可得到两个方程:,求 得：,求 得：,定态薛定谔方程（不含时）,定态波函数,练习1,自由粒子的单色平面波是否处于定态？,答：是。无外场定态。,练习2,几个不同单色平面波的叠加态是否为定态？,答：不是，因为能量不确定。,练习3,两个沿相反方向传播的具有相同能量（同色）的平面波叠加态是否为定态？,答：是，驻波。（详见教材37页）,讨论定态问题：,求体系定态波函数,及与此定态

12、相对应的能量E（,）。,解薛定谔方程：,不含时时，含时薛定谔方程的通解：,不是定态，,是常数,定态波函数的初试状态（设t=0）,任意时刻波函数的坐标部分,t=0时：,定态下，坐标几率密度分布不随时间变化。,不含时，知道初试时刻的波函数，乘时间因子就能知道t时刻的波函数。,练习1,一维自由粒子，设,，求,解：,不显含t,定态,练习2,设一非定态t=0时，,，求,解：,练习3,当体系势能改变一常数，即，粒子的能量本征函数是否改变？能量本征值是否改变？,2.5 几率流密度与 几率守恒定律,体系波函数随时间的变化规律满足薛定谔方程，而无经典物理意义，有物理意义的是,几率密度，那么一个在势场,它的几率密

13、度随时间的变化满足什么样的方程呢？,中运动的粒子，,几率守恒定律,体系状态波函数：,坐标几率密度：,随时间的变化率：,-,-,假定,不含时，并且为实数，即,则上式的复共轭方程为：,-,将，代入中，得：,令,则,即：,经典物理的连续性方程，量子称为几率守恒定律（微分式）也叫粒子数守恒定律。,2.几率流密度与几率守恒的物理解释,几率流密度,物理意义：,位置（坐标）几率密度，表示t时刻，,点附近单位体积内发现粒子的几率。,按照连续性方程，,应具有流密度,的含义，所以叫几率流密度。,为了进一步说明，对连续性方程两边，对空间任意体积V求积分得：,几率守恒定律（积分形式）,几率流密度,几率为什么会流动呢？

14、,在外场,的作用下，粒子在,处出现的几率密度,可能会随时间变化，有的地方密度增加了,有点地方密度减少了,(而非相对流粒子不产生，不湮灭，总数目不变），这表明几率在流动。,？,大小：单位时间内流过垂直于流动方向单位面积的几率。,方向：该点几率流动的方向。（算出,矢量的方向）。,练习：,若波函数,与坐标有关的部分是实数，,证明几率流密度等于零。,证明：,为实数波函数，即,，即实数波函数的,几率流密度为零。,几率守恒（全空 间）,对几率守恒定律的积分式，对全空间积分,，,则无S界面（V）之外的几率（粒子），所以通量为0,即，对一个粒子来说，在全空间发现该粒子的几率 与时间无关，为常数；但是在有效体积

15、V内找到 粒子的几率与时间有关。,3.波函数的标准条件：单值性、连续性、有限性,单值性,波函数的物理特点：完全描述状态。,数学要求满足哪些条件呢？,坐标几率密度，物理上要求它是单值的,这样,不一定是单值的，但只要,是,t的单值函数，,就是单值的，这就是波函数,单值性的含义。,连 续 性,及,连续,薛定谔方程：,，对坐标的二阶导数,要求,及其对坐标的一阶导数,连续：,r=a势场跳跃处,一个粒子不可能进入U=的空间，这就是意味着=0。,有限性（平方可积性）,即粒子在有限的空间范围内出现的几率有限。,在势能间断点处边界条件的实质是，要求概率密度连续和概率流密度连续。在多数情况下，这种要求可以简化为波

16、函数连续和其一阶导数连续。在特殊情况下（如U=），其波函数一阶导数不连续，但其几率流密度却是连续的。,2.6 定态问题 一维无限深势阱,对称势场：,一个质量为,的粒子在,中做一维运动。,-a,a,1,02,3,x,一维无限深势阱最简单的势形式，少数几个有解析解的。,金属中自由电子的运动就可以简化为近似的这种势，,电子跑不出去。,列方程，解出,与,不含时，定态薛定谔方程,阱外，,定态薛定谔方程（能量本征方程）,波函数连续,有限,粒子进不到势场为的区域：,阱内，,其解为：,经过整理计算,我们可以得到:,讨论：,束缚态与分立能级,粒子被束缚在,的区域内，不可能进入,处。,束缚态：粒子的运动被限制在一

17、定（有限）的空间范围内，即,，称为束缚态。,束缚态能级是分立的分立能级（方程的解不只一个，具有周期性,),基态：体系能量最低的状态,基态,量子特征：微粒波动性的体现，没有能量为零的波，量子力学 中没有静止（E=0）的粒子。,经典物理：有E=0的静止的粒子。,激发态（n1）能级,-a,a,x,基态,第一激发态,第二激发态,第三激发态,阱内驻波,完全束缚在阱内，粒子处于束缚态一点也传不出去驻波,驻波条件：-a与a处为节点处.,将实物粒子波,代入上式，并平方得：,：体系可能的能量，,对称势阱中波函数的宇称,宇称：波函数在空间反演,下的奇偶性。,偶宇称态,奇宇称态,n为奇数：,偶宇称态,基态波函数,n

18、为偶数:,奇宇称态,第一激发态,阱内粒子的第n定态波函数,练习1：,P52 2.6 只有对称势场（对原点对称）即,相应的能量本征函数才有确定的宇称。,练习2：,势变为：,或,问:是否变?是否变?试求之。,2.7 定态问题 一维线性谐振子,4.讨论,能量量子化，分立能级,束缚态 分立能级,无限深势阱,基态能量：n=0,零点能，与经典不同，量子力学中没有“能量为0、静止”的波,均 匀 能 级,能级差：,均匀能级,0,x,基态,第一激发态,的宇称（对称势有确定的宇称）,n为奇数 奇宇称 n为偶数 偶宇称,基态波函数n=0,正态分布，高斯分布,0,x,经典,X=0处，几率密度最大，找到谐振子的概率最大

19、。,而经典：,X=0处，动能最大，最小,时间最短，所以找到,粒子的几率最小；两边找到粒子的几率大,量子谐振子波函数及位置纪律密度分布图,粒子在原点出现的几率要么最大（n为偶数），要么为0（n为奇数）,粒子有一定的几率出现在经典禁区内,量子不成立）,(即粒子的,总能量小于势能,的区域），即势能曲线以外的区域,，量子效应。,量子数n增大，几率密度分布与经典的几率密度分布接近，大量子数极限，量子论趋近于经典理论。,二维各向同性谐振子,分离变量法，设,得到两个方程：,两方程与一维线性谐振子方程形式一致，所以其解的形式也与一维形式一样。,练习1：,利用厄密多项式的求导关系，证明,练习2：,利用厄密多项式

20、的递推关系，证明,2.8 定态问题 一维势垒贯穿,一维无限深势阱与一维线性谐振子 定态问题中的束缚态问题:,求,及,这节讨论定态问题中的非束缚态问题:,有限(如等于0),非束缚态:能量取值连续,已知粒子能量E始终保持不变.,可以讨论粒子被势垒散射的问题:,如势垒:,方形势垒,具有一定能量E的粒子有左向右运动.,经典物理:,只要,粒子可以越过,势垒运动到 xa处,被反射,不能透射.,量子力学:,有透射,也有反射;,有反射,也有透射.,一维谐振子:,粒子有几率进入到经典禁区.,x,x,a,0,E,J,J:入射波的几率流密度,：反射波的几率流密度,：透射波的几率流密度,：反射系数,:透射系数,这种粒子能量小于势垒高度时仍能穿过势垒的现象称为隧道效应.,隧道效应：,粒子总能量E小于势垒高度时，仍能穿过势垒的现象。,在非相对论量子力学中，除无穷势垒外，粒子总可以贯穿势垒。势垒高度越高，宽度越大，透射系数越小。,（小崂山道士）,实际生产生活中的隧道效应:,粒子衰变:,