福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十三次研讨会课件.ppt
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1、,福建省高等代数与线性代数课程建设第十三次研讨会,矩阵多项式与可逆矩阵的确定,莆田学院数学系,xxxxxxx,1,感谢你的观看,2019年8月23,矩阵多项式与可逆阵的确定,问题解决的一种可行的解决方法,问题的已有解法,问题的提出,2,感谢你的观看,2019年8月23,1.问题的提出,是关于 的 次多项式,为 阶方阵,称,为A的m 次多项式。,设,(见1,P45,2,P7等)。,3,感谢你的观看,2019年8月23,由于学时的限制,与数学专业的教学相关,矩阵多项式的,定义在矩阵运算之后就作为正式的教学内容,这是有意义的,,是值得借鉴的处理方式。关于矩阵多项式本身的训练和例题习题,在“线性代数”
2、教材并不多见。因此多数情况下,这样很有价值,的教学内容在某种意义上讲只是走了过场,或者有些教师就不讲,这个内容。这固然是学时限制所致,但缺乏有启发性的相关题目,也是一个重要的原因。,4,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.3(见9,P52)设A满足,5,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.4(见9,P52)设A 满足,问题1.1.5(见11,P98)设A 为n阶矩阵,满足,6,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.6(见12,P42),问题1.1.7(见13,P57)设 为n阶矩阵,7,感谢你的观看,2019年8月23,证明 和 不同时可逆。,证明 和 不同时可逆,
3、并求出它们的逆矩阵。,问题1.1.10(见6,P88)设 阶方阵 满足,问题1.1.9(见6,P88)设 阶方阵 满足,(C)A 必不可逆(D)A+E必不可逆,问题1.1.11(见9,P51)设A为n阶方阵,且,则,8,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.12曾作为2001年全国硕士生入学考试数学一的试题.,问题1.1.12 设A 满足,问题1.1.13 设阶矩阵A满足矩阵方程,问题1.1.13曾作为1988年全国硕士生入学统一考试数学四的试题.,9,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.15(见3,例7,P42)若方阵A满足方程,10,感谢你的观看,2019年8月23,问题
4、1.1.17(见2,P56)设,证明,11,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.2.1(见7,例2.23)设n阶矩阵A0 满足A3=0,证明E-A,A+E都可逆,并求逆。,问题1.2.2(见2,习题一(B),34)设方阵A满足A3-2A2+9A-E=0,问A,A-2E是否都是可逆矩阵?如果是,求其逆。,问题1.2.3(见21,P43,13(2),22,P49,18(2))设A3=3A(A-E),证明E-A都可逆,并求逆。,12,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.3.1曾是1990硕士生入学统一考试1990年数学三的试题(见15,P333),几乎所有的线性代数和高等代数教材都将问题
5、1.3.1化为基本问题。,阶矩阵,若,(k为整数),证明,可逆,并写出,的表达式。,问题1.3.1(见4,习题1.4.9,5,P94,14,习题3,3-4,,21,P34,6,22,P39,6),13,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.4.1(见11,习题3.2.8,21,P50,3(2)),设Jn为所有元素全为1的n(1)阶方阵,,14,感谢你的观看,2019年8月23,2问题的已有解法,下面抄录的11对问题1.1.5的解答:,(1)由题设条件移项得,,等式左边提出公因子A得,,则A为可逆矩阵,且,15,感谢你的观看,2019年8月23,(2).将 作恒等变形,16,感谢你的观看,2
6、019年8月23,这样的解法,对问题1.1.1-1.1.13中矩阵等式的系数为常数,且有很好性质的情况下是可行的。当然像问题1.1.15-1.1.17,这样系数为字母的解决就得不那样容易了。,17,感谢你的观看,2019年8月23,7给出了问题1.2.1的解法如下:,因为,且,18,感谢你的观看,2019年8月23,后,问题就显得复杂了。,19,感谢你的观看,2019年8月23,问题1.1.1-1.1.13都是由一个矩阵等式,来确定2或3个矩阵,性来说是相当有意义的。,的可逆性求相应矩阵。对给定的矩阵等式来说,能确定多少个,形如问题1.1.16和1.1.17描述的A-kE的可逆阵,这类问题就一
7、般,20,感谢你的观看,2019年8月23,已有文献都是将给定的矩阵等式,看成是矩阵的线性运算与,乘法运算的恒等变形,应用可逆矩阵的重要性质,来解答,基本上没有将教材上已经介绍的矩阵多项式与问题解决相,联系。,实际上第一节给出的问题中矩阵等式都是以矩阵多项式的形式,3.问题解决的一种可行方法,出现的。这样可以把问题看成是由给定矩阵A的化零多项式,来确定形如A-kE的可逆性及逆阵。,21,感谢你的观看,2019年8月23,定理3.1,(3.1),22,感谢你的观看,2019年8月23,证明:由多项式的导数的性质及泰勒中值定理知,(3.2),23,感谢你的观看,2019年8月23,例3.2,24,
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