二次函数教材分析课件-人教版.ppt

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1、人教版九年级第二十六章,二次函数教材分析,本章基本点：二次函数的顶点,本章基本方法：待定系数法和配方法,本章基本思想：数形结合思想和转化思想,课程标准中的要求：1 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认 识二次函数的性质；3会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。,一、本章教学目标的确定,2009年北京中考考试说明对本章教学内容的要求,07-09连续三年北京数学中考二次函数试题,（2007北京24题）,（07-24）在平面

2、直角坐标系 xoy中，抛物线 经过 两点（1）求此抛物线的解析式；(确定二次函数的表达式)（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿 y 轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；(会根据公式确定图像的顶点和对称轴,与一次函数结合的问题)（3）在（2）的条件下，求到直线OB,OC,BC距离相等的点的坐标(与角平分线性质结合的问题),(08-24）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3,0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点（1）求直线BC及抛物线的解析式；(确定函

3、数的表达式)（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APD=ACB，求点P的坐标；(会根据公式确定图像的顶点和对称轴,与解直角三角形，相似结合的问题)（3）连结CD，求OCA与OCD两角和的度数(与勾股定理，相似结合的问题),图1,图2,（0911）若把代数式 化为 的形式，其中为常数，则m+n=.,（用配方法确定二次函数的顶点，对称轴等）,(0923)已知关于的一元二次方程2x+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；(确定函数的表达式)（3）

4、在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象有两个公共点时，b的取值范围.(会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,与一次函数结合的问题),（09-24）在平行四边形ABCD中，过点C作CECD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF（如图1）.（1）在图1中画图探究：当P1为线段CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连接EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EG1.判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明;当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2

5、，将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EG2.判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论,图1,图2（备用）,（2）若AD=6,，AE=1,在的条件下，设CP1=x,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（与面积结合求函数解析式的问题，同时考查旋转和分类讨论思想),二、在教学目标下的教学要点分析,1.二次函数的定义,2.二次函数的图像与性质,3.二次函数解析式的确定,4.用函数观点看一元二次方程,5.实际问题与二次函数,定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做x的二次函数。,（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的,（

6、3）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,注意：,（2）a,b,c为常数，且,（4）x的取值范围是.,整式,a0；b,c可以为0.,2,任意实数,1.二次函数的定义,【题1】下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1)y=3(x-1)+1(2)y=x+(3)s=3-2t(4)y=(x+3)-x(5)y=-x(6)v=10 r（7）y=（8）y=,应看化简后的表达式,注：一整、二次、三系、四化.,1.1二次函数的定义,注：先次数后系数，把所有类似有关的概念对比复习，如一元一次方程，一元一次不等式，一元二次方程等.,1.2根据二次函数

7、定义确定字母的值,【题3】（2009年黄石市）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且与x之间也大致满足如图所示的一次函数关系（1）（2）（3）要使该商场销售彩电的总收益（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值,1.3实际问题列二次函数表达式,注：在新课教学中实际问题要考虑学生的最近发展区和积极的现实意义。,函数图象画法

8、,列表,描点,连线,描点法,2.二次函数的图像与性质,2.二次函数的图像与性质,2.1二次函数y=x和y=-x的图像和性质,2.1.1回顾描点法画函数图像的三步：列表、描点、连线;,2.1.2通过描点法画函数图像体会：表格、图像、解析式是函数的三种不同表示方式，进一步体会数形结合思想和符号语言、文字语言及图形语言的相互转化;,2.1.3类比反比例函数图像体会为什么二次函数图像连线时用光滑曲线，而不是折线段;图象可以无限延伸，画图时要注意越过两边的端点.,2.1.4总结二次函数y=x和y=-x的开口方向，对称轴，顶点以及增减性.,【题4】若点M(a，4）和N（b，4）是函数y=x的不同两点，则a

9、+b=_;,注：抓住y=x的对称性是解决这个问题的关键,【题5】点A（x，0）是x负半轴上任意一点，以OA长为边长做正方形，求正方形面积y与x之间的函数关系式；画出y与x之间的函数图像.,注：在列表时应考虑每个问题的自变量的取值范围，此题x只能取负值，图像在第二象限，不包括坐标原点，是为空心.,2.2二次函数yax2图象的性质,上述三个函数：对称性如何？位于哪些象限？函数的最大、最小值？顶点坐标？开口方向以及大小如何？增减性如何？,当 的绝对值增加1个单位长度时，的绝对值越大，增加的越多，抛物线的开口越小.,p8,yax2的性质总结,图象可由二次函数 的图象平移得到.,二次函数 的图象是抛物线

10、.,总结,的性质：,二次函数图象的平移实际上是顶点的平移,（2）抛物线 的性质.,时，开口向上；时，开口向下；,对称轴是直线；,顶点坐标是.,二次函数图像关键抓两点：一是开口方向；二是顶点坐标，对称轴包含其中。,利用几何画板探究二次函数图形性质,2.4二次函数的图象及性质,当a0时开口向上，并向上无限延伸；当a0时开口向下，并向下无限延伸.,(0,0),(0,c),(h,0),(h,k),直线,y轴,在对称轴左侧，y随x的增大而减小,在对称轴右侧，y随x的增大而增大,在对称轴左侧，y随x的增大而增大,在对称轴右侧，y随x的增大而减小,y轴,直线x=h,直线x=h,x=h时ymin=0,x=h时

11、ymax=0,x=h时ymin=k,x=h时ymax=k,ya(x-h)2+k性质简单运用,常规题型 训练到位,【题6】,关于二次函数图像的常见题选,(09上海)抛物线 的顶点坐标是（）A（m，n）B（-m，n）C（m，-n）D（-m，-n）,注:学生容易在(h,k)中h的符号上出错.,(09广州)抛物线 的最小值是（）A.2（B）1（C）-1（D）-2,注:a0有最小值，a0有最大值.要知道x为何值时取到最值.,（09兰州）把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为,A B C D,注：可以通过几何画板课件动画和多次实践引导学生总结规律：h左加右减，k上加下减

12、.有时还要注意提问的方式.对于一开始不是顶点式的要注意化为顶点式.,（09乌鲁木齐）要得到二次函数 的图象，需将的 图象（）A向左平移2个单位，再向下平移2个单位B向右平移2个单位，再向上平移2个单位C向左平移1个单位，再向上平移1个单位D向右平移1个单位，再向下平移1个单位,a决定开口方向：a时,开口向上，a时,开口向下,a、b同时决定对称轴位置：左同右异 b时对称轴是轴,c决定抛物线与y轴的交点（0，c）,(09年鄂州)已知二次函数yax+bx+c的图象如图则下列5个代数式：ac，a+b+c，b-4ac，2a+b，2ab中，其值大于0的个数为（）A2 B 3 C、4 D、5,抛物线与x轴交

13、点个数的判定.(1)b2-4ac0 2个交点.(2)b2-4ac=0 1个交点.(3)b2-4ac0 0个.,注：一些特殊代数式：a+b+c,a-b+c,2a+b等.,（2009荆门）函数y=ax1与y=axbx1（a0）的图象可能是（）,A B C D,注：同一个坐标系中假设其中一个是正确的，另一个与假设不矛盾即可.,（2009烟台）二次函数 yax+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（）,由此推彼,（2009天津）在平面直角坐标系中，先将 的图像关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（

14、）,A B C D,注：抓住两点，即一是开口方向；二是顶点坐标，找到变换后的顶点坐标，再确定开口方向.,（2009深圳改编）二次函数的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-6，y3）、是它图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y2 y1 y3 D不能确定,注：认识二次函数图像的轴对称性是解有些题的钥匙.,3.二次函数解析式的确定,待定系数法一般式：y=ax2+bx+c顶点坐标：对称轴：顶点式：y=a(x-h)2+k顶点坐标：(h,k)对称轴x=h顶点式一般式（展开）一般式顶点式（配方、顶点坐标公式）,已知任意三点坐标选

15、用一般式；(如果已知与y轴的交点,设函数解析式时可先将c值直接代入,使三元方程组变为二元,从而简化运算)已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用 顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用 交点(双根）式.,（2009安徽）已知二次函数的图象经过原点及，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 _,注：此题可以用三种不同的方法求解析式，一题多解；还要注意距离时的分类讨论.,（09襄樊）抛物线 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为,注：此题也可以用不同的方法求解析式，还要注意数形结合及二次函数图像的轴对称性,注,顶点在x轴上应满足b-4ac=0或,顶点在y轴上应满足b=0.,顶

16、点在原点应满足b=0，c=0。,顶点的几种特殊位置,4.用函数观点看一元二次方程,这一节内容我们不要把它看做是新的内容，我们在学习一次函数时同学们就已经知道：求函数与x轴交点令y=0，求与y轴交点令x=0，求两个函数交点把两个函数联立解方程组.学习二次函数方法完全一样，只不过是强化一元二次方程的知识.,(4)b2-4ac0 有交点.,51,问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，

17、需要多少飞行时间？,解:球的飞行h与飞行时间t之间具有关系：h=20t-5t2,当h=15时,则15=20t-5t2,解得:t1=1,t2=3,当球飞行1s和3s时,它的高度为15m.,让学生结合图形说明为什么在两个时间球的高度15m？,15,55,问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行h高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？,解:球的飞行h与飞行时间t之间具有关系：h=20t-5t2,当h=20时

18、,则20=20t-5t2,解得:t1=t2=2,当球飞行2s时,它的高度为20m.,让学生结合图形指出为什么只在一个时间球的高度20m？,20,2,问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行h高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？,解:球的飞行h与飞行时间t之间具有关系：h=20-5t2,当h=20.5时,则20.5=20t-5t2,所以球的飞行高度达不到20.5m.,让学生结合图形指出为什么达不到

19、20.5m?,20.5,即:t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-44.10,所以方程无实数根.,问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行h高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（4）球从飞出到落地要用多少时间？,解:球的飞行h与飞行时间t之间具有关系：h=20-5t2,当h=0时,则0=20t-5t2,所以当球飞行0s和4s时,它的高度为0m,即0s时球从地面飞出,4s时球落回地面.,让学生结合图形指出为什么两个时间的球的高度为0m?,解得:t1=0,t2

20、=4,（09西城一模）已知抛物线 经过点（1，-3），求抛物线与x轴交点的坐标及顶点的坐标,(宣武09一模）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程 的两个解解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程：,解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解如图1所示，把方程的解看成是二次函数y=的图象与x轴交点的横坐标，即就是方程的解,注：利用函数图像求方程的近似解是课程标准要求达到的，注重教学的挖掘.,解法三：利用两个函数图象的交点求解（1）把方程 的解看成是一个二次函数 的图象与一个一次函数 的图象

21、交点的横坐标；（2）画出这两个函数的图象，用 在轴上标出方程的解,5.实际问题与二次函数,教材在本节中，通过最大利润、磁盘存储量、水位变化等三个探究问题，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.,某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？,所得利润为元,探究1,第1步：找出实际问题的变量，并用字母表示变量；,先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化；(降价情况略）,

22、第2步：用自变量的代数式表示其他量；,涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出 件,销额为 元，买进商品需付 元,第3步：用解析式表示等量关系；,第4步：利用二次函数的知识和问题实际解决问题,(0X30),可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.,所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元,注：实际问题中自变量的取值范围受实际条件限制，注意把握.同时要检验计算结果的合理性，得出实际问题的正确答案.,计算机把数据存储在磁盘上,磁盘是带有磁性物质的圆盘,磁盘上有一些同心

23、圆轨道,叫做磁道.现有一张半径为45mm的磁盘.(1)磁盘最内磁道的半径为r mm，其上每0.015mm的弧长为1个存储单元,这条磁道有多少个存储单元?(2)磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3 mm，磁盘的外圆周不是磁道,这张磁盘最多有 多少条磁道?(3)如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，最内磁道的半径为r是多少时,磁盘的存储量最大?,探究2,解:(1)磁盘最内磁道的周长为2r mm，它上面的存储单元的个数不超过(2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3 mm，所以这张磁盘最多有 条磁道,探究2,此问题实质是一个几何问题，周长与弧长间，磁道的个数与半径之间的关系。,(3)当各

24、磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，设磁盘每面存储量为y，则(0r45)。当r=时，y有最大值=225000。也就是说当r=mm时，磁盘的存储量最大,注：一定要让学生学会阅读，仔细分析实际问题中的数学内涵，几何问题要根据相似形，面积，周长等知识，列出解析式.,抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2m，水面宽度4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？,0,(2,-2),(-2,-2),探究3,注：这是一类“形状是抛物线”的题，这类题比“规律是二次函数”的题(如图形、利润等)直观，需建立适当坐标系，用待定系数法确定函数解析式。再用解析式解决有关问题。这类题还有如喷泉、掷铅球、涵洞、跳水运动等问题。

25、,三、几点教学建议,3.1系统的教学观：初三的第一轮复习从初三新课开始，人教版教材编写特点为复习提供契机，一次函数、反比例函数、一元二次方程等都是学过的内容，此时可以类比学习，辨析它们的联系和区别。,注：先次数后系数，把所有类似有关的概念对比复习，如一元一次方程，一元一次不等式，一元二次方程等.,1.2根据二次函数定义确定字母的值,3.2立足基础教学 参照近三年考题，本章不会出现偏题，怪题.不过分强调广积粮，考试说明和课标舍弃的我们不要捡回来.立足基础知识、基本技能的考查，例习题不必太难，但形式应多变。,ya(x-h)2+k性质简单运用,常规题型 训练到位,3.3.应用题教学要培养时代感和阅读

26、能力.重视解决实际问题的教学，引导学生感受数学的价值。注意让学生叙述和交流，在应用和问题解决中加深理解，正确使用.关注社会热点问题，具有时代气息.如：奥运、节水、60周年大庆、信息电子技术,金融危机，家电下乡等。对于应用题常出现大段文字，要让学生学会阅读，分析出问题的实质，通过合理建模解决问题。,（2009年黄石市）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元

27、）会相应降低且与x之间也大致满足如图所示的一次函数关系（1）（2）（3）要使该商场销售彩电的总收益（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值,1.3实际问题列二次函数表达式,注：在新课教学中实际问题要考虑学生的最近发展区和积极的现实意义。,(2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间

28、的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线 的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12,（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？,3.4重视综合性.注意学科的内在联系和知识的综合性，引导考学生关注对所学知识适当的重组与整合；突出对所

29、学知识综合运用能力的考查.甚至要整合其他学科知识背景下的二次函数应用.,（09海淀一模）如图，在平面直角坐标系xoy中,A（-3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn(n=1,2,3,4,)的顶点在直线AB上，其对称轴与 x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为;抛物线C8的顶点坐标为.,3.5注重数学思想方法的培养点的坐标与数量关系的转化，代数与几何的转化，数形结合和方程思想等运用.具体方法：待定系数法、配方法等.,四、二次函数解题警示,警示1：要特别注意防止漏掉“二次项系数不等于0”这个隐含条件,警示2：二次函数y=ax+bx+c的顶点坐标为(

30、-，)，不能记错成(，)对称轴不能只写成-，必须写成x=-.,，,警示3：在运用顶点坐标求二次函数极值时，若x=-不在x的取值范围内时，应根据二次函数的增减性和实际问题自变量的取值范围而确定其极值,警示4：分类讨论思想在函数综合题中，尤其在动点几何中要注意考虑到.比如09年北京23题.,（2009甘肃庆阳）左图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如右图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_,注：由图像可知函数表达式设为y=ax，代入点（2，-2）即可.,警示5：实际问题中建立直角坐标系后，一定要注意坐标系中的点与实际问题中量的关系，尤其用负数表示实际问题中的量时.,警示6：函数的图、文、表、式之间要学会转化，要读出表格中的信息.,人生就是抛物线，欢迎您提出宝贵意见！,有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明,