二重积分的计算方法课件.ppt

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1、2023年3月23日星期四,1,第二节 二重积分的计算方法,第八章,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结与思考练习,2023年3月23日星期四,2,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,复习:平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,2023年3月23日星期四,3,牛顿 莱布尼兹公式,(牛顿-莱布尼兹公式),证:,根据定理 2,故,因此,得,定理,函数,则,2023年3月23日星期四,4,定积分的换元法

2、,定理1 设函数,函数,满足:,1),2),则,2023年3月23日星期四,5,定积分的分部积分法,定理2,则,证:,2023年3月23日星期四,6,一、利用直角坐标计算二重积分,曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,设曲顶柱体的顶为,X型区域,2023年3月23日星期四,7,同样,若曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,Y型区域,2023年3月23日星期四,8,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,2023年3月23日星期四,9

3、,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,当被积函数,补充说明,2023年3月23日星期四,10,2023年3月23日星期四,11,解法1,D 是 X-型区域，,例3.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,及直线,2023年3月23日星期四,12,解法2,例3.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,及直线,这是 Y-区域，,画出积分区域的图形,先对 x 后对 y 积分,显然解法2比解法1好！,2023年3月23日星期四,13,例4.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解 画积分区域图形，,因为,则,若先对 x 积分，,的原函数不能用初等函数表示，因此,改用另

4、一种顺序的累次积分，于是有,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,2023年3月23日星期四,14,例5.设 D 是由直线,(图21-6),试计算:,的值.,解 若用先对 y、后对 x 的积分,则有,的累次积分来计算:,2023年3月23日星期四,15,2023年3月23日星期四,16,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,例6.交换下列积分顺序,2023年3月23日星期四,17,练习.交换下列积分顺序,(2),2023年3月23日星期四,18,例7 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求

5、体积为,2023年3月23日星期四,19,二、利用极坐标计算二重积分,对应有,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D 为,2023年3月23日星期四,20,即,2023年3月23日星期四,21,二重积分化为二次积分的公式（1）,则,设,区域特征如图,2023年3月23日星期四,22,特别地,对,若 f 1 则可求得D 的面积,二重积分化为二次积分的公式（2）,区域特征如图,2023年3月23日星期四,23,二重积分化为二次积分的公式（3）,区域特征如图,2023年3月23日星期四,24,思考:下列各图中域 D 分别与 x,

6、y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),2023年3月23日星期四,25,2023年3月23日星期四,26,2023年3月23日星期四,27,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,例10 计算,2023年3月23日星期四,28,注:,利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的广义积分公式,2023年3月23日星期四,29,2023年3月23日星期四,30,2023年3月23日星期四,31,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,例11 求球体,2023年3月23日星期

7、四,32,内容小结,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,2023年3月23日星期四,33,则,极坐标系情形:若积分区域为,2023年3月23日星期四,34,课外练习,P146-147 习题82 2(1)(3);4(2)(4);5;6;8(4);10(2);11(3).,2023年3月23日星期四,35,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,1.计算,思考与练习,2023年3月23日星期四,36,提示:积分域如图,2.交换积分顺序,2023年3月23日星期四,37,解：,原式,3.给定,的次序.,改变积分,2023年3月23日星期四,38,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,4.计算,2023年3月23日星期四,39,5.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y互换,