动态系统的状态空间描述-Read课件.ppt

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1、Ch.2 控制系统的状态空间分析,概述(1/4),概 述建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质,如能控性、能观性、稳定性等。,线性定常连续系统状态方程的解(1/4),2.1 线性定常连续系统状态方程的解,本节需解决的主要问题状态转移矩阵?矩阵指数函数？状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质齐次状态方程的求解?非齐次状态方程的求解?非齐次状态方程解的各部分的意义？输出方程的解？,线性定常连续系统状态方程的解(3/4),在讨论一般线性定常连续系统状

2、态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。,线性定常齐次状态方程的解(1/2),2.1.1 线性定常齐次状态方程的解什么是微分方程的齐次方程?齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。所谓齐次状态方程，即为

3、下列不考虑输入的自治方程x=Ax齐次状态方程满足初始状态,的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。,线性定常齐次状态方程的解(2/2),对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有矩阵指数法和拉氏变换法 2种。,状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数 和初始状态x(t0)所决定。,拉氏变换法(5/12),为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下:(t)=eAt因此,有如下关系式x(t)=(t)x0

4、x(t)=(t-t0)x(t0)由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系(t)=L-1(sI-A)-1,拉氏变换法(6/12),齐次状态方程的解描述了线性定常连续系统的自由运动。由解的表达式可以看出,系统自由运动的轨线是由从初始时刻的初始状态到t时刻的状态的转移刻划的,如图所示。,图 状态转移特性,拉氏变换法(7/12),当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。,线性定常连续系统的状态转移矩阵(1/1),2.1.2 线性定常连续系统的状态转移矩

5、阵下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:基本定义矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,基本定义(1/4)状态转移矩阵的定义,1.基本定义定义：对于线性定常连续系统x=Ax,当初始时刻t0=0时,满足如下矩阵微分方程和初始条件:(t)=A(t),(t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x=Ax的状态转移矩阵。,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2),2.矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(t)为方阵A的状态转移矩阵),矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2),矩阵指数函数和状态转移矩阵的性

6、质(1/2),6.(t)n=(nt)7(t2-t1)(t1-t0)=(t2-t0)8,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(4/2),由状态转移矩阵的意义,有x(t2)=(t2-t1)x(t1)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)而x(t2)=(t2-t0)x(t0),因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移,如图所示。,图 系统的状态转移,P51例2.5,2.1.3 状态转移矩阵的计算,课本P52例2.6,课本P53例2.7,课本P47例2.4,基本定义(2

7、/4)几类特殊形式的状态转移矩阵,当系统矩阵A为nn维方阵时,状态转移矩阵(t)亦为nn维方阵,且其元素为时间t的函数。下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵1)对角线矩阵。当A为如下对角线矩阵:A=diag1 2 n则状态转移矩阵为式中，diag表示由括号内元素组成对角线矩阵。,基本定义(3/4)几类特殊形式的状态转移矩阵,(2)块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵:A=block-diagA1 A2 Al其中Ai为mimi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为式中，block-diag表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵。,基本定义(4/4)几类特殊形式的状态转移矩阵,(3)约旦块矩阵。当Ai

8、为特征值为i的mimi维约旦块,则分块矩阵的矩阵指数函数为,基本定义(4/4)几类特殊形式的状态转移矩阵,基本定义(4/4)几类特殊形式的状态转移矩阵,状态空间模型的线性变换和约旦规范形(1/8),补：状态空间模型的线性变换和约旦规范形从上一节的讨论可知,同一个系统的状态空间模型,即使其维数相同,但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的,如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的,也可以为其他形式的。即,状态空间模型不具有唯一性。,状态空间模型的线性变换和约旦规范形(2/8),为何同一个系统具有不同的状态空间模型?原因:状态变量的不同选择这就产生了一个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所

9、对应的状态空间模型之间的关系如何?,状态空间模型的线性变换和约旦规范形(3/8),此外,在控制系统的分析和设计中,某些特殊的系统数学模型对讨论问题相对简单得多,如前面建立的对角线规范形的和约旦规范形。于是自然会提出如下问题:如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问题的难度。解决上述两个问题,就需引入状态空间的线性变换。什么是状态空间的线性变换?,状态空间模型的线性变换和约旦规范形(4/8),状态变量是一组实变量,它们所组成的状态空间为一个实线性空间。由线性代数知识可知,线性空间中,随着表征空间坐标的基底的选取的不同,空间中的点关于各种基底的坐标亦不

10、同。这些基底之间的关系为进行了一次坐标变换,而空间中的点的,坐标则相当于作了一次相似变换。如,在如右图所示的平面直角坐标系中,A点在两个坐标系下的坐标存在如下变化关系(其中P为非可逆的变换矩阵),状态空间模型的线性变换和约旦规范形(6/8),引入坐标变换和状态空间线性变换等概念,实际上就回答了上述两个问题:1.不同选取状态变量之间存在一个坐标变换,其相应的状态空间模型之间也存在一个相应的相似变换。2.既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换,则在一定条件下应可以将一般形式的状态空间模型变换成某种特殊的状态空间模型。,上述状态变量向量x与 间的变换,称为状态的线性变换。,由线性代数知识可知,

11、它们之间必有如下变换关系,状态空间的线性变换(1/1),1.状态空间的线性变换设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为,其中P为nn维的非奇异变换矩阵。,值得指出的是:,变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和 间的变换关系是等价的、唯一的和可逆的。,两种表达式式之间存在什么关系?,状态空间的线性变换(1/14),2.状态空间模型的线性变换,设在状态变量x和 下,系统状态空间模型分别为,将变换关系x=P 代入(A,B,C,D)的状态方程中有,状态空间的线性变换(2/14),由于变换矩阵P非奇异,因此有则有,应该注意的是,系统的初始条件也必须作相应的变换,即,将上式与状态空间模型 比较

12、,则线性系统(A,B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系,其中t0为系统运动的初始时刻。,系统特征值的不变性(1/2),系统特征值的不变性系统的特征值表征了系统本质的特征。而线性变换只是相当于对系统从另外一个角度来描述而已,并未改变系统的本质。刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而改变,即有如下结论:线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。,系统特征值的不变性(2/2),对于这个结论,亦可证明如下:设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换,后,系统矩阵为,可见,系统经线性变换后,其特征值不变。,矩阵 的特征多项式为,即证明了A的特征多项式等于的 特征多项式。,化

13、状态方程为对角线规范形(2/12),已知线性定常系统的状态方程为,其中系统矩阵,若A的n个特征值1,2,n所对应的特征向量线性独立,则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换x=P 后为对角线规范形,即系统的状态方程为,为对角线矩阵,并且变换矩阵P可取为P=p1 p2 pn其中pi为矩阵A对应于特征值i的特征向量。,课本P52例2.6,化状态方程为约旦规范形(1/1),若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值的重数时,则系统矩阵A不能变换成对角线矩阵。在此种情况下,A可变换成约旦矩阵,系统表达式可变换成约旦规范形。,课本P53例2.7,课本P47例2.4,课本P55例2.8P56例2.9,

14、非齐次状态方程的解(1/2),2.1.4 非齐次状态方程的解当线性定常连续系统具有输入作用时,其状态方程为如下非齐次状态方程:x=Ax+Bu该状态方程在初始状态,下的解,也就是由初始状态x(t0)和输入作用u(t)所引起的系统状态的运动轨迹。,非齐次状态方程的解(2/2),下面用两种求解常微分方程的方法直接求解法拉氏变换法,直接求解法(1/3),1.直接求解法将状态方程x=Ax+Bu移项,可得x-Ax=Bu将上式两边左乘以e-At,则有e-Atx-Ax=e-AtBu即d(e-Atx)/dt=e-AtBu在区间t0,t内对上式积分,则有,直接求解法(2/3),上式便是非齐次状态方程的解。当t0=

15、0时,解x(t)又可记为,即,因此,直接求解法(3/3),若用状态转移矩阵来表示,上述非齐次状态方程的解又可分别记为,课本P58例2.10,拉氏变换法(1/2),2.拉氏变换法将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)即X(s)=(sI-A)-1x0+BU(s)其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。对上式两边取拉氏反变换,则有,上述求解的关键为等式右边第二项。,拉氏变换法(2/2),结果与直接求解法完全相同。,对上述状态方程的求解式利用卷积分公式,则有,状态方程解的意义(1/2),3.状态方程解的意义由前面讨论的非齐次状态方程的解知,线性

16、定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。第一个部分是由初始状态所引起的自由运动,它是系统的初始状态对系统状态的转移的影响,与初始时刻后的输入无关,称为状态的零输入响应。第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积。因此,它与输入有关,与系统的初始状态无关,称为状态的零状态响应。,状态方程解的意义(2/2),状态方程的解表明,系统在任意时刻的状态取决于系统的初始状态x(t0)和从初始时刻t0以来的输入。如果人为地选择输入信号(施以控制),就可以使系统状态在状态空间中获得所期望的状态轨线。,输出方程的解(1/8),或,或,4.输出方程的解由非齐次状态方程的解x(t),可得输出方程y=Cx+Du的输出响应为,输出方程的解(2/8),或,线性定常连续系统输出的解由3个部分相加组成。第一个部分是由初始状态所引起的自由运动第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动。第三个部分是由直联项引起的前馈响应。,输出方程的解(3/8)-例3-3,例 已知线性定常系统为,试求系统在单位阶跃输入作用下,状态方程的解。解 可求出状态转移矩阵(t)为,于是,系统状态方程在阶跃输入u(t)=1(t)下的解为,输出方程的解(4/8)例3-3,系统的脉冲响应(1/2),2.1.5 系统的响应,