凹性与二阶导数检定法学习目标课件.ppt

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1、,凹性與二階導數檢定法,4.3,4.3 凹性與二階導數檢定法,學習目標判斷函數圖形為凹向上或凹向下的區間。求函數圖形的反曲點。利用二階導數檢定法求函數的相對極值。求投入產出模型的報酬遞減點。,P.4-19,第四章導數的應用,凹性,找出函數 f 為遞增或遞減的區間有助於圖形的製作，找出 f 遞增或遞減的區間也有助於判別 f 的圖形是凹向上或凹向下。凹向上或凹向下的性質可定義成函數圖形的凹性(concavity)。,P.4-19,第四章導數的應用,凹性,在圖 4.20 中，凹性的圖形解釋如下。1.曲線高於其切線是凹向上。2.曲線低於其切線是凹向下。,P.4-19 圖4.20,第四章導數的應用,凹性

2、,若要找出使得函數圖形為凹向上或凹向下的開區間，可利用以下的函數二階導數法。,P.4-19,第四章導數的應用,範例 1判斷凹性,a.函數f(x)x2 原函數的圖形在整個實數線皆為凹向上，因為其二階導數 f(x)2 二階導數對於所有 x 皆為正值(見圖 4.21)。,P.4-20,第四章導數的應用,範例 1判斷凹性,P.4-20 圖4.21,第四章導數的應用,b.函數原函數的圖形對 x 0 為凹向下，因為其二階導數二階導數對於所有 x 0 皆為負值(見圖 4.22)。,範例 1判斷凹性,P.4-20,第四章導數的應用,範例 1判斷凹性,P.4-20 圖4.22,第四章導數的應用,求二階導數並討論

3、圖形的凹性。a.f(x)2x2 b.f(x),檢查站 1,P.4-20,第四章導數的應用,凹性,以下的方法可求連續函數在開區間之凹性 不連續函數 f 的檢定區間，應由不連續點與使 f(x)0或 f(x)不存在的點所形成。,P.4-20,第四章導數的應用,求函數 之圖形為凹向上或凹向下的開區間。,範例 2判斷凹性,P.4-21,第四章導數的應用,首先求 f 的二階導數。,範例 2判斷凹性（解）,P.4-21,第四章導數的應用,範例 2判斷凹性（解）,由上式可知 f(x)對於所有實數都存在，而且在 x 1 時，f(x)0。因此，f 的凹性可由區間來檢定，(,1)、(1,1)和(1,)檢定區間結果如

4、下表所示，其圖形畫在圖 4.23。,P.4-21,第四章導數的應用,範例 2判斷凹性（解）,P.4-21 圖4.23,第四章導數的應用,學習提示,在範例 2 中，雖然 f 在區間(1,)為遞減，但 f(x)在該區間為遞增。請注意，f(x)的遞增減性並不一定與 f(x)的遞增減性一致。,P.4-21,第四章導數的應用,代數技巧,範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(a)。,P.4-21,第四章導數的應用,求函數 圖形為凹向上或凹向下的區間。,檢查站 2,P.4-21,第四章導數的應用,反曲點,如果圖形上某點的切線存在而且凹性發生變化，則該點稱為反曲點(point of inflecti

5、on)。圖 4.24 則是三個反曲點的例子(注意，第三個圖的反曲點處有垂直切線)。,P.4-22,第四章導數的應用,反曲點,P.4-22 圖4.24,第四章導數的應用,學習提示,如圖 4.24 所示，圖形跨過在反曲點的切線。,P.4-22,第四章導數的應用,反曲點,因為反曲點為圖形凹性改變的地方，因此在反曲點上 f(x)的正負性也要跟著變化。所以，只需先找出 f(x)0 或 f(x)不存在的 x 值，即可找出可能的反曲點。此步驟與用 f 的臨界數來找 f 的相對極值之步驟是類似的。,P.4-22,第四章導數的應用,範例 3求反曲點,討論 f(x)2x3 1 的凹性，並求其反曲點。,P.4-22

6、,第四章導數的應用,範例 3求反曲點（解）,二次微分後可得 f(x)2x3 1 寫出原式 f(x)6x2 一階導數 f(x)6x2 二階導數令 f”(x)0 可知，唯一可能的反曲點僅會發生在 x 0。檢定區間(,0)和(0,)後，就可判斷出圖形在(,0)為凹向下，(0,)為凹向上。由於在 x 0 時凹性的正負號也發生改變，所以 f 的圖形在(0,1)有一個反曲點，如圖 4.25 所示。,P.4-22,第四章導數的應用,範例 3求反曲點（解）,P.4-22 圖4.25,第四章導數的應用,檢查站 3,討論函數 f(x)x3 的凹性並求其反曲點。,P.4-22,第四章導數的應用,範例 4求反曲點,討

7、論函數 f(x)x4 x3 3x2 1 圖形的凹性並求反曲點。,P.4-23,第四章導數的應用,範例 4求反曲點（解）,首先計算 f 的二階導數。f(x)x4 x3 3x2 1 寫出原函數 f(x)4x3 3x2 6x 找出一階導數 f(x)12x2 6x 6 找出二階導數 6(2x 1)(x 1)因式分解,P.4-23,第四章導數的應用,因此，可能的反曲點在 x 和 x 1。在檢驗區間(,1)、(1,)和(,)之後可知，圖形在(,1)為凹向上，在(1,)為凹向下，而在(,)為凹向上。圖形的凹性在 x 1 與 x 發生變化，所以 x 1 與 x 為反曲點，如圖 4.26 所示。而反曲點為,範例

8、 4求反曲點（解）,P.4-23,第四章導數的應用,範例 4求反曲點（解）,P.4-23 圖4.26,第四章導數的應用,檢查站 4,討論函數 f(x)x4 2x3 1圖形的凹性，並求反曲點。,P.4-23,第四章導數的應用,反曲點,另外，二階導數為零之處並不一定為反曲點。例如在圖 4.27中，函數 f(x)x3 與 g(x)x4 的二階導數在 x 0 皆為零，但是 x 0 只有在 f 為反曲點。所以在判斷 f(x)0 之處是否為反曲點時，必須先確定圖形在該點的凹性會有變化。,P.4-23,第四章導數的應用,反曲點,P.4-23 圖4.27,第四章導數的應用,二階導數檢定法,二階導數可用來檢定函

9、數 f 的相對極值：如果 f(c)0 且圖形在 x c 為凹向上，則 f(c)為 f 的相對極小值；如果 f(c)0 且圖形在 x c 為凹向下，則 f(c)為 f 的相對極大值(見圖 4.28)。,P.4-23,第四章導數的應用,二階導數檢定法,P.4-23 圖4.28,第四章導數的應用,二階導數檢定法,P.4-24,第四章導數的應用,範例 5使用二階導數檢定法,求 f(x)3x5 5x3 的相對極值。,P.4-24,第四章導數的應用,範例 5使用二階導數檢定法（解）,首先計算 f 的一階導數。f(x)15x4 15x2 15x2(1 x2)即 x 0、x 1 和 x 1 為 f 的臨界數，

10、且二階導數為 f(x)60 x3 30 x30 x(12x2),P.4-24,第四章導數的應用,範例 5使用二階導數檢定法（解）,使用二階導數檢定法可得但由一階導數檢定法可知點(0,0)不為相對極小值也不為相對極大值，它其實是反曲點(f的圖形見圖 4.29)。,P.4-24,第四章導數的應用,範例 5使用二階導數檢定法（解）,P.4-24 圖4.29,第四章導數的應用,檢查站 5,求 f(x)x4 4x3 1 的所有相對極值。,P.4-24,第四章導數的應用,延伸應用：報酬遞減,在經濟學上，凹性的概念是與報酬遞減(diminishing returns)有關。考慮函數其中 x 為投入(美元)，

11、y 為產出(美元)。,P.4-24,第四章導數的應用,延伸應用：報酬遞減,注意，在圖 4.30 中的函數圖形在區間(a,c)為凹向上，在區間(c,b)為凹向下，亦即在區間(a,c)，再投資一美元會比之前投資的一美元得到更高的報酬；反之，在區間(c,b)，再投資一美元卻會比之前投資的一美元得到更低的報酬；點(c,f(c)稱為報酬遞減點(point of diminishing returns)，超過此點的增額投資常被視為不智的資金調度。,P.4-24,第四章導數的應用,延伸應用：報酬遞減,P.4-24 圖4.30,第四章導數的應用,某公司發現增加某產品的廣告費用 x(千美元)可以增加的銷售量 y

12、(千美元)，其模型為求此產品的報酬遞減點。,範例 6求報酬遞減點,P.4-25,第四章導數的應用,首先計算一階與二階導數。令二階導數為零可得唯一的解 x 20。檢驗區間(0,20)與(20,40)後可知，圖形在 x 20 有報酬遞減點，如圖 4.31 所示。所以，當廣告費用為$20,000 時，此產品便達到了報酬遞減點。,範例 6求報酬遞減點（解）,P.4-25,第四章導數的應用,範例 6求報酬遞減點（解）,P.4-25 圖4.31,第四章導數的應用,檢查站 6,求下列模型的報酬遞減點，其中 R 為收入(千美元)，x 為廣告費用(千美元)：,P.4-25,第四章導數的應用,總結（4.3節）,寫出凹性檢定法，參考範例 1 和 2。寫出反曲點的定義，參考範例 3 和 4。寫出二階導數檢定法，參考範例 5。描述如何在現實生活的實例應用二階導數檢定法，來求得產品的報酬遞減點（參考範例 6）。,P.4-25,第四章導數的應用,