数学文化与数学思维.ppt

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1、1,数学文化与数学思维,2,教材,教材：数学文化作者：顾沛出版社：高等教育出版社,3,其他参考书目,数学文化（第2版），方延明 编著，清华大学出版社，2009数学文化赏析，李改杨，罗德斌，吴洁，周军 编，科学出版社，2011数学文化与欣赏，潘建辉，李玲 编著，北京理工大学出版社，2012.艺术数学，马传渔，邵进，李栋宁，编著，科学出版社，2012数学思维方法，蒋志萍，汪文贤 著，浙江大学出版社，2011,4,考试成绩,出勤作业期末考试,5,序言,一、学习“数学文化与思维”的目标二、什么是数学三、数学的魅力四、习题,6,一、学习“数学文化与思维”课的目标,了解数学的历史、拓宽对数学的认识引起对数

2、学的兴趣感悟数学思维、精神提高数学素养,7,数学文化与数学思维课的特色,数学文化与数学思维课虽然要以知识为载体，却并不以系统传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学的思想为主，以提升学生的教学素养为主。,数学文化与数学思维是从数学问题、数学典故、数学观点等角度切入，并以它们为线索来组织材料，进行教学。,8,数学素养,爱因斯坦说：“你把所学的数学定理、数学公式、数学的解题方法都排除，都忘掉以后，还剩下的东西，就是数学素养。”因此，通俗地说，数学素养，就是，“把所学的数学知识都排除或者忘掉后，剩下的东西”。,9,数学素养,在此意义下，数学素养包括：（1）从数学的角度看问题的习惯；（2）有条理的理

3、性思维，严密的思考、求证，简洁、清晰、准确地表达的意识；（3）在解决问题和总结工作时，逻辑推理的方式和能力；（4）对所从事的工作，合理的量化和简化，周到的运筹帷幄的素养。,10,数学素养,从数学专业的角度来说，数学素养包括：（1）主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；（2）熟练地运用准确、简明、规范的数学语言表达自己思想的素养；（3）具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；（4）对各种问题以“数学方式”理性地思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养；（5）善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。,11,数学素养,以上这些数学素养

4、，特别是通俗意义下的数学素养，都是使人终身受益的。一个人进入社会以后，所从事的工作可能与数学没有直接的关系，他们学过的数学公式、定理、解题方法，可能一个也用不上，甚至一辈子都没有用过，但是由于他们数学素养高低的不同，其工作效率却会显著不同。他们每说一段话，做一个交流，或者与外商的一次谈判，是不是能够抓住中心，有条不紊地叙述，都和数学素养密切相关。,12,为什么现代大学生需要良好的数学素养,数学的重要性体现在三个层面：一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活。一个学科只有当它成功地运用数学的时候，才算达到了成熟的程度。一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来衡量。,13,为什么现代大学生需

5、要良好的数学素养,数字化、信息化、网络化时代的今天，不仅每一项高新技术的背后都有熟悉的身影，而且高新技术本质上就是数学技术。因此，现代国家直接的竞争，本质上是数学技术的竞争，不仅所有自然科学都是以数学作为研究与发展的基础和工具，而且现代的人文科学对数学的需求也越来越多，越来越依靠数学来提升其科学水平。因此，任何人想要在自己的专业或行业中有所作为，都必须具备一定的数学知识、较好的数学素养和较高的数学思维。,在普通人眼中，数学神秘而深奥，让常人难以捉摸。数学与文学风马牛不相及。前者是理性思维，后者属形象思维。在许多人们心目中，数学家生活在高耸入云的象牙塔里，埋头在成堆的公式和符号之中，日夜痴迷于数

6、学，时时都在与数字和定理打交道。事实上，历史上许多大数学家都有较好的文学素养，在他们身上数学与文学已熔于一炉，真正做到了文理渗透。更有一些数学家对诗歌情有独钟。,数学家的文学素养,数学家的文学素养,笛卡儿认为“诗是激情和想象力的产物”，诗人靠想象力让知识的种子迸发火花。莱布尼兹从小就对诗歌和历史怀有浓厚的兴趣。他充分利用家中藏书，博古通今，为后来在哲学、数学等一系列学科取得开创性成果打下坚实基础。高斯在哥廷根大学就读期间，最喜欢的两名学科是数学和语言，并保持终生对它们的爱好。他大学一年级从图书馆所借阅的25本书中，人文学科类就占了20本。正当将来是成为数学家还是语言学家的念头在脑子徘徊时，19

7、岁的高斯成功解决了正17边形的尺规作图问题，从而坚定了从事数学研究的信念。,数学家的文学素养,柯西从小喜爱数学，当一个念头闪过脑海时，他常会中断其他事，在书本上算术画图。他的数学天赋被数学家拉普拉斯和拉格朗日发现。据说拉格朗日曾预言柯西将成为了不起的大数学家，并告诫其父不要让孩子过早接触数学，以免误入歧途，成为“不知道怎样使用自己语言”的大数学家。庆幸的是，柯西的小学是在家里上的，在其父循循诱导下，他系统学习了古典语言、历史、诗歌等。更具传奇色彩的是，柯西政治流亡国外时，曾在意大利的一所大学里讲授过文学诗歌，并有论诗词创作法一书留世。柯西的文学功底由此可见一斑。,数学家的文学素养,G.波利亚年

8、轻时对文学特别感兴趣，尤其喜欢德国大诗人海涅的作品，并以与海涅同日出生而骄傲，曾因把其作品译成匈牙利文而获奖。罗素是著名的哲学家、数理学家，“理发师悖论”的发现者。但他也是一个文学家，有多篇小说集出版发行，不仅如此，非科班出身的罗素还于1950年获得诺贝尔文学奖。,数学家的文学素养,法国数学家塞尔是迄今为止数学界唯一获得阿贝尔奖、菲尔兹奖、沃尔夫奖三项大奖的“三冠王”。在他60岁时，他接受法国的记者采访，在谈到自己的文学阅读时说：“从我童年起，读书就是我的 一大爱好在我喜欢的作家中，我可以举出圣西门、司汤达、普鲁斯特、吉奥诺、凯诺、尤瑟纳、道尔麦森，还有诗人魏尔兰、兰波、佩斯，英国作家吉普林、

9、福斯特，德国作家托马斯.曼和伯尔，意大利作家布扎蒂、卡尔维诺，阿根廷作家博尔赫斯.”谁能否认塞尔在数学研究上的造诣与其文学阅读广泛无关呢？,数学家的文学素养,著名美籍华人数学家丘成桐现任美国哈佛大学教授、美国科学院院士、美国艺术与科学院院士、中国科学院首批外籍院士、俄罗斯科学院外籍院士等。他在29岁时就攻克几何学上的难题“卡比拉猜想”，轰动国际数学界。丘成桐曾提出“他山之石可攻玉，文学数学巧结合，数学与文学、艺术有机碰撞”的学术观点。丘成桐认为，中国古典文学对自己产生了积极的影响。正是由于年幼时从父亲那丰厚的古典文学知识中得到的熏染，使他在思考数学问题和寻求事物的本质时，能够和大自然一起思考，

10、看到很多独特的“风景”，才使得他对问题的看法有多面性，在分析、解决问题时能够“天之所开，不可当也”。,数学家的文学素养,中国科学院院士、复旦大学教授谷超豪认为：数学与古诗词是相通的，古典文学可以对人的数学思维起到潜移默化的作用，读理科要有文学功底作支撑；文学和语言的培养，对任何一个从事科学工作的人来说，都是必不可少的；要学好数理不应仅仅是终日和数字、公式、公理、定理打交道，要注意提高文学素养。他还认为，一方面文学作品很讲究逻辑，比如“诸葛亮舌战群儒”一段，诸葛亮与群儒都是聪明人，他们的逻辑推理能力很强，辩论起来，能使对方无懈可击。另一方面，中国文学作品中，非常精炼、简朴的词句往往包含许多深刻的

11、内容，比如“欲穷千里目，更上一层楼”“野火烧不尽，春风吹又生”等名句，在具体事物中蕴含深刻的哲理，即具体又抽象。在欣赏古典文学的同时也是对自身数学思维的一个拓展。,数学家的文学素养,在2005年的上海IT分论坛上，著名数学家、台湾清华大学校长刘炯朗教授曾作了“数里有诗？诗里有数！”的发言，他认为，文学和科学是相通的。他指出诸如“上海自来水来自海上”、顶真格“后宫佳丽三千人，三千宠爱在一身”和数学中的“归纳”、“列举”“递归关系”等原理无不有着异曲同工之妙！,数学家的文学素养,刘炯朗说，尽管他的专业是离散数学及演算法，但他平时还喜欢写散文、读点诗歌，“这对我的学术研究有着潜移默化的帮助。”刘教授

12、对世界范围内大学教育都过于注重专业的现状，表示出担忧。“我的理念是我们要培养通才。所谓通才，就是人文和科技并重，对专业要有非常好的基础。我在学校里，一直告诫学生，在学校专业的同时不能忽视培养文学素养。”其实，“不论科学家眼中的世界还是诗人的眼中，世界都是美好的，人生也都是美丽的。”（新闻晚报，2005年5月17日）,23,数学思想与数学方法,“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的。“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。数学思想常常通过数学方法去体现；而数学方法又常常反映了某种数学思想。,24,二、什么是数学,恩格斯说：“数学

13、是研究现的数量关系与空间形式的一门科学。”美国数学家柯朗“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反应生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”法国数学家博雷尔说：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”,25,方延明的著作数学文化中搜集了数学的十五种定义。例如，符号说、科学说、工具说、逻辑说、创新说、直觉说、集合说、结构说、模型说、活动说、精神说、审美说、艺术说、万物皆数说。,二、什么是数学,26,三、数学的魅力,“9对3说，除了你，还是你”迪卡尔的“心形线”r=a(1-sin)“数学是最浪漫的，它比世上任

14、何东西都要完美，它从不说谎，也从不背叛。”,27,数学奇异美,数字金字塔 1 1=1 11 11=121 111 111=12321 1111 1111=1234321 11111 11111=123454321 111111 111111=12345654321 1111111 1111111=1234567654321 11111111 11111111=123456787654321111111111 111111111=12345678987654321,神奇的数字宝塔之一,三、数学的魅力,数学奇异美,神奇的数字宝塔之二,三、数学的魅力,数学奇异美,神奇的数字宝塔之三,三、数学的魅力,

15、数学奇异美,神奇的数字宝塔之四,三、数学的魅力,数学奇异美,神奇的数字宝塔之五,三、数学的魅力,数学奇异美,神奇的数字宝塔之六,三、数学的魅力,数学奇异美,神奇的数字宝塔之七,三、数学的魅力,数学奇异美,神奇的数字宝塔之八,三、数学的魅力,数学奇异美,神奇的数字宝塔之九,三、数学的魅力,数学奇异美,三、数学的魅力,37,数字美,毕达哥拉斯说：“数，统治着宇宙。”也可说，数统治着整个世界，从人类社会乃至自然界，最重要的就是数。数字中许多颇具魅力、令人惊异的性质，使许多科学家、艺术家大为感慨。伽利略曾说：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。”毕达哥拉斯学派的学者对于数字的崇拜达到“神话”的程度，他们崇

16、拜“4”，因为它代表四种元素：火、水、气、土；他们把“10”看成是“圣数”，因为10是由前四个自然数1，2，3，4结合而成的；他们还认为“1”代表理性，因为理性是不变的；“2”代表意见；“4”代表公平，因为它是第一个平方数；“5”代表婚姻，因为它是第一个阴数2与第一个阳数3的结合。,三、数学的魅力,38,数字美,近年来，人们喜欢“8”，是因为它意味着“发”，也有人喜欢“6”，因为那意味着“六六大顺”。人们不惜出高价抢注末尾是“8”或“6”的汽车牌号、移动电话号码等。可见，数字中蕴含着丰富的文化。,三、数学的魅力,数字美,亲和数远古时代，人类的一些部落把220和284两个数字视若神明，男女青年缔

17、结婚姻时，往往把这两个数字分别写在不同的签上，两个青年在抽签时，若分别抽到了220和284，便被确定为终身伴侣；若抽不到这两个数，他们则天生无缘，只好分道扬镳。这种缔婚方式固然只是这些部落的风俗，但在某些迷信色彩的背后，也有些道理。表面上看，这两个数字似乎没有什么神秘之处，然而，它们却存在着某些内在联系：,三、数学的魅力,数字美,能够整除220的全部正整数（不包括220）恰好等于284；而能够整除284的全部正整数（不包括284）之和又恰好等于220。这真是绝妙的吻合！也许有人认为，这样的“吻合”极其偶然，抹去迷信色彩，很难有什么规律蕴含其中。恰恰相反，这偶然的“吻合”引起了数学家们极大的关注

18、，他们花费了大量的经历进行研究、探索，终于发现这种“相亲”的数绝对不是唯一的。他们在自然数中构成了一个独特的数系，人们称具有这种性质的两个数为亲和数（或相亲数对）。,三、数学的魅力,41,数学与自然,三叶草的数学方程式,三、数学的魅力,42,睡莲叶子的数学方程式,数学与自然,三、数学的魅力,43,数学与经济,三、数学的魅力,今天，数学与经济的联系已经是众所周知。我们看下面2个线索。1）普遍运用数学方法，建立经济模型，使得代数学、分析学、运筹学、概率论和数理统计等大量数学进入到经济科学中，并反过来促进了数学的发展。2）获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背景的人占一把以上。今天，数学功

19、底薄弱的经济学家是不会成为一位杰出的经济学家的。,44,数学与经济,三、数学的魅力,为了强调数学对于经济学理论的重要性，1970年诺贝尔经济学奖得主、美国经济学家萨缪尔森讲述了19世纪美国著名物理学家吉布斯的一个故事。有一次，耶鲁大学的教授们正激烈地争论一个问题：是否要求某些学生修语言或数学？对于这两门学科孰优孰劣，教授们仁者见仁智者见智，争论不休。最后，只见不善言辞的吉布斯站了起来，说出五个字：“数学即语言。”数学的公理化方法和证明技术，将经济学上原先一大堆模糊的、互相矛盾的概念变成了系统的、逻辑上连贯的实体。,45,数学与经济,三、数学的魅力,萨谬尔森指出：经济理论的问题诸如税收的归宿、货

20、币贬值的影响本质上都是量的问题当我们用文字来解决它们时，我们实际上和写出方程式的情形一样是在解方程。大错误出在前提的表述上数学媒介或严格说，数学家惯用的阐述证明的准则，不论用文字还是用符号的好处之一是，我们不得不摊牌，使所有人都能看到我们的前提。在萨缪尔森眼里，数学对于经济学理论的发展是不可或缺的。因此，他忠告年轻人，要想研究经济，就必须打好数学基础。,46,数学与文学,数学与文学都有自己的语言。文学语言是对日常语言的加工提高，而数学语言是对数字、图形、符号等的提炼。文学语言具有一定的地域性，是本民族或某些地域拥有的文字表达方式，几乎每一个国家、种族或地区都有不同的文学语言，全世界有成千上万种

21、语言，呈现出丰富多彩的局面。数学语言具有国际通用性，数学语言是一切科学的共同语言，全球的数学工作者与科技人员都知晓数学符号、数学公式的运用。文学语言具有形象、生动、笼统等特点，数学语言具有简洁、精确、深刻等特性。,三、数学的魅力,47,数学与文学,我国著名数学家华罗庚利用减法谈学习与探索：“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决。”大发明家爱迪生利用加号谈天才：“天才=1%的灵感+99%的血汗。”著名国际工人活动家季米特洛夫（1882-1949）利用正负号评价一天的工作：“要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是“正号”还是“负号”？倘

22、若是“正号”，则进步；倘若是“负号”，就得吸取教训，采取措施。”,三、数学的魅力,48,数学与文学,近代最伟大的科学家爱因斯坦利用公式描述成功的秘诀，并解释道：“代表成功，代表艰苦的劳动，代表正确的方法，代表少说空话。”古希腊哲学家芝诺（约前490-约前425）利用圆描述学习知识：“如果小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面。圆越大其圆周接触的无知面就越多。”,三、数学的魅力,49,数学与文学,数字与成语成语是固定词组的一种，它言简意赅，是文学语言中的瑰宝，其中有些是由数字组成的。半斤八两 一刀两断 两面三刀 三令五申 四分五裂

23、 五花八门 六亲不认 七嘴八舌 八面玲珑 九死一生 十全十美 百孔千疮 千真万确 万无一失 十万火急 一鸣惊人 四平八稳 五体投地 九州四海 万古长青 九霄云外 一暴十寒 八面威风 五湖四海 一往情深 千锤百炼 三心二意 一意孤行 一举两得 百折不挠 十年寒窗 一本正经 一举成名 一呼百应 一脉相承,三、数学的魅力,50,数学与文学,前苏联的著名长篇小说静静的顿河，有人认为，该书是肖洛霍夫（M.A.Sholokhov）剽窃了一个无名作者的作品后加工而成的，原作者究竟是谁一直是苏联现代文坛的一大疑案。有学者用数理统计的观点，探讨该作品与他后期作品的相关度，从而还了肖洛霍夫的清白。,三、数学的魅力

24、,51,数学与考古,1986年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂的正面写着：万物非主，惟有真宰，默罕默德，为其使者，而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.,伊斯兰教佩戴的玉挂,过去以为只有印度历史上才有这种“完美幻方”。,三、数学的魅力,52,数学与美术,杜勒（1471-1528年）是德国宗教改革运动时期著名的油画家、版画家、雕塑家、建筑家，也是一位著名的数学家。,三、数学的魅力,十五世纪德国画家阿尔布莱希特.杜勒（自画像）,53,数学与美术,三、数学的魅力,杜勒的画作梅伦可利亚（Melencolia），又称为忧郁,其周围列置的东西都是有象征意义的，如多面几何体和圆规

25、象征几何学，锯、刨、锤等工具代表木匠。计量工具的天平和计时工具沙漏等代表科学。在神话传说中，几何学、木匠、科学都属于大地之神来统管的，而这个内藏智慧外露深沉的人则是思想家、文艺家的化身。对绘画细节一丝不苟地精确表现是丢勒作品的风格特点，在这幅画中尤其发挥得淋漓尽致，所以曾被后人誉为有铜版画以来最为优美的画作。,54,数学与美术,三、数学的魅力,杜勒的魔方阵,55,数学与美术,三、数学的魅力,经研究，四阶幻方共有880中，他能构造出其中一种，似乎不足为奇。然而，只有我们再细心观察一下这个幻方，就会发现其特别之处。,56,数学与美术,三、数学的魅力,每一行的数字之和都是34,57,数学与美术,三、

26、数学的魅力,每一列的数字之和都是34,58,数学与美术,三、数学的魅力,对角线上数字之和同样是34,59,数学与美术,三、数学的魅力,另一对角线上数字之和同样是34,60,数学与美术,三、数学的魅力,四个角上的数字之和还是34,61,数学与美术,三、数学的魅力,顺时针转动一个格，求和还是34,62,数学与美术,三、数学的魅力,再转动一个格，求和还是34,63,数学与美术,三、数学的魅力,正方形中心的四个数字之和是34,64,数学与美术,三、数学的魅力,5+8+9+12=34,65,数学与美术,三、数学的魅力,3+5+15+14=34,66,数学与美术,三、数学的魅力,3+5+12+14=34,67,数学与美术,三、数学的魅力,2+8+9+15=34,68,数学与美术,三、数学的魅力,为纪念1514年5月17日逝去的母亲，在幻方中就隐藏这个日期,69,诗歌中的数学,三、数学的魅力,百鸟归巢图 苏轼图，伦文叙诗：归来一只又一只，三四五六七八只；凤凰何少鸟何多？啄尽人间千石食！,1+1+34+56+78=100,70,四、习题,1.请举出日常生活中使用数学的3个例子。2.关于数学，你最喜欢哪几位哲学家或数学家的论说？请写出这些内容。3.请列举13个数学与文学有关的例子。,