数学建模之模糊数学.ppt
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1、数学建模,2023年3月21日,2,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界,可把我们身边的现象划分为:1.确定性现象:如水加温到100oC就沸腾,这种现象的规律 性靠经典数学去刻画;2.随机现象:如掷筛子,观看那一面向上,这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;3.模糊现象:如“今天天气很热”,“小伙子很帅”,等等。此话准确吗?有多大的水分?靠模糊数学去刻画。,2023年3月21日,3,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点:模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,模糊数
2、学绪论,2023年3月21日,4,产生,1965年,L.A.Zadeh(扎德)发表了文章模糊集(Fuzzy Sets,Information and Control,8,338-353),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,2023年3月21日,5,模糊代数,模糊拓扑,模糊逻辑,模糊分析,模糊概率,模糊图论,模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择;,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学
3、、音乐,模糊数学绪论,2023年3月21日,6,模糊数学,2023年3月21日,7,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,2023年3月21日,8,.u,A,A,.u,模糊集合及其运算,2023年3月21日,9,其中,函数 称为集合A的特征函数。,模糊集合及其运算,非此及彼,2023年3月21日,10,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合,元素 x,若 x 位于 A 的内部,则用1来记录,若 x 位于 A 的外部,则用0来记录,若 x 一部分位于 A 的内部,一部分位于 A 的外部,,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度
4、。,2023年3月21日,11,0,1,0,1,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,2023年3月21日,12,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小;,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大;,0.5,最具有模糊性,过渡点,2023年3月21日,13,模糊子集通常简称模糊集,其表示方法有:,(1)Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是。,如“将1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,2023年3月21日,14,(3)向量表示法,(2)序偶表示法,若论域U为无限集,其上的模糊集表示为:,模糊集合及其运算,2023年3月21日,1
5、5,例1.有100名消费者,对5种商品 评价,,结果为:,81人认为x1 质量好,53人认为x2 质量好,,所有人认为x3 质量好,没有人认为x4 质量好,24人认为x5 质量好,则模糊集A(质量好),模糊集合及其运算,2023年3月21日,16,例2:考虑年龄集U=0,100,O=“年老”,O也是一个年龄集,u=20 O,40 呢?札德给出了“年老”集函数刻画:,1,0,U,50,100,模糊集合及其运算,2023年3月21日,17,再如,Y=“年轻”也是U的一个子集,只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样,札德给出它的隶属函数:,1,0,25,50,U,B(u),模糊集合及其运算,20
6、23年3月21日,18,则模糊集O(年老),则模糊集Y(年轻),模糊集合及其运算,2023年3月21日,19,2、模糊集的运算,定义:设A,B是论域U的两个模糊子集,定义,相等:,包含:,并:,交:,余:,模糊集合及其运算,2023年3月21日,20,例3.,模糊集合及其运算,则:,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,2023年3月21日,21,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1.幂等律,2.交换律,3.结合律,4.吸收律,2023年3月21日,22,模糊集合及其运算,6.0-1律,7.还原律,8.对偶律,5.分配律,2023年3月21日,23,几个
7、常用的算子:,(1)Zadeh算子,(2)取大、乘积算子,(3)环和、乘积算子,模糊集合及其运算,2023年3月21日,24,(4)有界和、取小算子,(5)有界和、乘积算子,(6)Einstain算子,模糊集合及其运算,2023年3月21日,25,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素:,模糊集合及其运算,2023年3月21日,26,特点:在各次试验中,是固定的,而 在随机变动。,模糊统计试验过程:,(1)做n次试验,计算出,模糊集合及其运算,2023年3月21日,27,模糊集合及其运算,对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间,,问年龄 27属于模糊集A(青年人
8、)的隶属度。,2023年3月21日,28,对年龄27作出如下的统计处理:,A(27)=0.78,(变动的圈是否盖住不动的点),2023年3月21日,29,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向:偏大型,偏小型,中间型。(见附件),例如:在论域 中,确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,2023年3月21日,30,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的,比如,此时有,不太合理,故改变,2023年3月21日,31,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。,2023年3月21日,32,3、其它方法,模糊集合及其运算,2023年3月21日,33,
9、模糊集合及其运算,四、模糊关系与模糊矩阵,与模糊子集是经典集合的推广一样,模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X,Y,X Y 的一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 的模糊关系.模糊子集 R 的隶属函数为映射R:X Y 0,1.并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系 R 的相关程度.特别地,当 X=Y 时,称之为 X 上各元素之间的模糊关系.,2023年3月21日,34,模糊集合及其运算,由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集,因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.,设R,R1,R2均为从 X 到 Y 的模糊关系.相等:R1=R2 R1(x,y)=R2(x,y);包含:R1 R
10、2 R1(x,y)R2(x,y);并:R1R2 的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y);交:R1R2 的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y);余:Rc 的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).,2023年3月21日,35,模糊集合及其运算,(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度,(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度,Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域 X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn,则X 到Y 模糊关
11、系R可用mn 阶模糊矩阵表示,即R=(rij)mn,其中rij=R(xi,yj)0,1表示(xi,yj)关于模糊关系R 的相关程度.,2023年3月21日,36,模糊集合及其运算,模糊关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系,R2 是 Y 到 Z 的关系,则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系.(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY 当论域为有限时,模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn,且X 到Y 的模糊关系R1=(aik)ms,Y 到Z 的模糊关系R2=(bkj)sn,则X 到Z 的
12、模糊关系可表示为模糊矩阵的合成:R1 R2=(cij)mn,其中cij=(aikbkj)|1ks.,2023年3月21日,37,模糊集合及其运算,模糊等价关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系,且满足:(1)自反性:R(x,x)=1;(2)对称性:R(x,y)=R(y,x);(3)传递性:R2R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,I R(rii=1),RT=R(rij=rji),R2R.,2023年3月21日,38,模糊集合及其运算,模糊相似关系,若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系,且满足:(1)自反性:R(x,x)=1;(2)对称性:R(x,y)=R(y,x);则称
13、模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系.当论域X=x1,x2,xn为有限时,X 上的一个模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵,即R满足:(1)自反性:I R(rii=1);(2)对称性:RT=R(rij=rji).,2023年3月21日,39,模糊集合及其运算,例如:,2023年3月21日,40,(1)模糊矩阵间的关系及运算,定义:设 都是模糊矩阵,定义,相等:,包含:,模糊集合及其运算,并:,交:,余:,2023年3月21日,41,例4:,模糊集合及其运算,2023年3月21日,42,(2)模糊矩阵的合成,定义:设 称模糊矩阵,为A与B的合成,其中。,模糊集合及其运算,即:,定义:,设A为
14、 阶,则模糊方阵的幂定义为,2023年3月21日,43,例5:,模糊集合及其运算,2023年3月21日,44,(3)模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质:,2023年3月21日,45,(4)模糊矩阵的 截矩阵,显然,截矩阵为Boole矩阵。,模糊集合及其运算,2023年3月21日,46,例6:,模糊集合及其运算,2023年3月21日,47,截矩阵的性质:,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,模糊集合及其运算,2023年3月21日,48,(5)特殊的模糊矩阵,定义:若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义:若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩阵。,
15、模糊集合及其运算,2023年3月21日,49,模糊集合及其运算,定义:若模糊方阵满足,则称A为模糊传递矩阵。,例如,是模糊传递矩阵。,2023年3月21日,50,模糊集合及其运算,定义:若模糊方阵Q,S,A满足,则称 S 为 A 的传递闭包,记为 t(A)。,该定义指包含 A而且被任何包含A的传递矩阵所包含的传递矩阵,称为A的传递闭包,或者是包含A的最小的模糊传递矩阵称为A的传递闭包。,2023年3月21日,51,对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析,它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。然而,在科学技术、经济管理中有很多事物的类与类之间并无清晰的划分,边界具有模糊性,它们
16、之间的关系更多的是模糊关系,比如植物、微生物、动物之间,温饱型家庭与小康型家庭之间等。对上述事物的分类就应该用模糊数学方法。根据事物的某些模糊性质进行分类的数学方法称为模糊聚类分析。,模糊聚类分析,2023年3月21日,52,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,2023年3月21日,53,模糊聚类分析,定理:,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵。,意义:将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵,可以得到有限论域上的普通等价关系,而等价关系是可以分类的。因此,当在0,1上变动时,由 得到不同的分类。,2023年3月21日,54,模糊聚类分析,2023年3月21日,55,例6:设对于模糊
17、等价矩阵,模糊聚类分析,2023年3月21日,56,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下:,0.8,0.6,0.5,0.4,1,2023年3月21日,57,模糊聚类分析,2023年3月21日,58,例7:设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,2023年3月21日,59,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,2023年3月21日,60,(1)标准差标准化,模糊聚类分析,2023年3月21日,61,(2)极差正规化,(3)极差标准化,模糊聚类分析,2023年3月21日,62,、建立模糊相似矩阵(标定),(1)相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,2023年3月21日,63,(2)
18、距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚类分析,2023年3月21日,64,(3)贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,2023年3月21日,65,3、聚类并画出动态聚类图,(1)模糊传递闭包法,步骤:,模糊聚类分析,(2)boole矩阵法(略),2023年3月21日,66,(3)直接聚类法,模糊聚类分析,当不同相似类出现公共元素时,将公共元素所在类合并。,将对应于 的等价分类中 所在类与 所在类合并,所有情况合并后得到相应于 的等价分类。,依次类推,直到合并到U成为一类为止。,(4)最大树法,(5)编网法,2023年3月21日
19、,67,模糊聚类分析,2023年3月21日,68,解:,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,2023年3月21日,69,用最大最小法构造模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,2023年3月21日,70,用平方法合成传递闭包,2023年3月21日,71,取,得,模糊聚类分析,2023年3月21日,72,取,得,取,得,模糊聚类分析,2023年3月21日,73,取,得,取,得,模糊聚类分析,2023年3月21日,74,画出动态聚类图如下:,0.7,0.63,0.62,0.53,1,模糊聚类分析,2023年3月21日,75,若利用直接聚类法,模糊相似矩阵,取1,此时 为
20、单位矩阵,故分类自然为,x1,x2,x3,x4,x5。,取0.70,此时,2023年3月21日,76,故分类应为x1,x3,x2,x4,x5。,x2,x4为相似类,取0.63,此时,x2,x4,x1,x4为相似类,,有公共元素x4的相似类为 x1,x2,x4,故分类应为x1,x2,x4,x3,x5。,2023年3月21日,77,取0.62,此时,x2,x4,x1,x4,x1,x3为相似类,,有公共元素x4的相似类为 x1,x2,x3,x4,故分类应为x1,x2,x3,x4,x5。,2023年3月21日,78,取0.53,此时,故分类应为x1,x2,x3,x4,x5。,2023年3月21日,79
21、,模糊聚类分析的简要流程:,2023年3月21日,80,4、最佳阈值的确定,模糊聚类分析,(1)按实际需要,调整 的值,或者是专家给值。,(2)用 F-统计量确定最佳值。,针对原始矩阵 X,得到,其中,,设对应于 的分类数为 r,第 j 类的样本数为 nj,第 j 类的样本记为:,2023年3月21日,81,则第j类的聚类中心为向量:,其中,为第k个特征的平均值,作F-统计量,模糊聚类分析,2023年3月21日,82,模糊聚类分析,若是,则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著,若满足不等式的 F 值不止一个,则可进一步考察,差值 的大小,从较大者中选择一个即可。,其中,2023年3月21日,
22、83,模糊模式识别,2023年3月21日,84,模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下,判断识别对象属于哪个类型?对象也要数学形式化,有时数学形式化不能做到完整,或者形式化带有模糊性质,此时识别就要运用模糊数学方法。,模糊模式识别,2023年3月21日,85,在科学分析与决策中,我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理,分成若干类型,以便使用管理。当我们取到一个新的样本时,把它归于哪一类呢?或者它是不是一个新的类型呢?这就是所谓的模式识别问题。在经济分析,预测与决策中,在知识工程与人工智能领域中
23、,也常常遇到这类问题。本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集;另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。,模糊模式识别,2023年3月21日,86,例1.苹果的分级问题 设论域 X=若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为=级,级,级,级,显然,模型级,级,级,级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后,到底应将它放到哪个等级的筐里,这就是一个元素(点)对标准模糊集的识别问题。,模糊模式识别,2023年3月21日,87,例2.医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域 X=
24、各种疾病的症候(称为症候群空间)。各种疾病都有典型的症状,由长期临床积累的经验可得标准模型库=心脏病,胃溃疡,感冒,显然,这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的),由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程,也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。,模糊模式识别,2023年3月21日,88,点对集,1.问题的数学模型(1)第一类模型:设在论域 X 上有若干模糊集:A1,A2,AnF(X),将这些模糊集视为 n 个标准模式,x0 X 是待识别的对象,问 x0 应属于哪个标准模式 Ai(i=1,2,n)?,(2)第二类模型:设 AF(X)为标准模式,
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