复变函数第六章课件.ppt
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1、第六章 共形映射,第一节 共形映射的概念,第二节 分式线性映射,第三节 唯一决定分式线性映射的条件,第四节 几个初等函数所构成的映射,2,1.有向曲线的切向量z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb如果z(t0)0,at0b,则表示z(t)的向量与C相切于点P0=z(t0).,z(t0),z(a),z(b),z(t0),1 共形映射的概念,P0,3,事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示,的方向相同.,O,x,y,z(t0),P0,P,z(t0+Dt),C,(z),4,当点P沿C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线
2、.因此,表示,的向量与C相切于点P0=z(t0),且方向与C的正向一致.如果我们规定这个向量的方向作为C上点P0处的切线的正向,则我们有Arg z(t0)就是P0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角,5,2.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线,它的参数方程是:z=z(t),atb,它的正向相应于参数t增大的方向,且z0=z(t0),z(t0)0,at0b.则映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点w0=f(z0
3、)的一条有向光滑曲线G,它的参数方程是w=fz(t),atb 正向相应于参数t增大的方向.,6,根据复合函数求导法,有 w(t0)=f(z0)z(t0)0因此,在 上点w0处也有切线存在,且切线正向与u轴正向的夹角是Arg w(t0)=Arg f(z0)+Arg z(t0),O,x,y,O,u,v,z0,P0,r,z,P,Ds,C,(z),(w),G,w0,Q0,Q,w,r,Ds,G,7,即 Arg w(t0)-Arg z(t0)=Arg f(z0)(6.1.1)如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正向相同,而且将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射后在
4、z0处的转动角。则(6.1.1)式表明:1)导数f(z0)0的辐角Arg f(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角;2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.,8,通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f(z0).,O,x,y,O,u,v,(z),(w),z0,w0,9,相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为
5、保角性,O,x,y,O,u,v,(z),(w),z0,w0,a,C1,C2,G1,G2,10,此极限值称为曲线C在z0的伸缩率.,11,(6.1.3)表明:|f(z0)|是经过映射w=f(z)后通过点z0的任何曲线C在z0的伸缩率,它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.,12,定理一 设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f(z0)0,则映射w=f(z)在z0具有两个性质:1)保角性.即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为|f(z0)|而与其形状和方向无关.
6、,13,3.共形映射的概念定义 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一对应的,在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是共形的,或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共形的,就称w=f(z)是区域D内的共形映射.,14,定理二 如果函数w=f(z)在z0解析,且f(z0)0,且为一一映射,则映射w=f(z)在z0是共形的,而且Arg f(z0)表示这个映射在z0的转动角,|f(z0)|表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在D内处处有f(z)0,且为一一映射,则映射w=f(z)是D内的共形映射.,15,定理一的几何意义.在D内作以z0为其一个顶
7、点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.,O,x,y,O,u,v,(z),(w),z0,w0,a,C1,C2,G1,G2,16,O,x,y,O,u,v,(z),(w),z0,w0,a,C1,C2,G1,G2,17,2 分式线性映射,分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射。,18,两个分式线性映射的复合,仍是一个分式线性映射.例如,19,可将一般的分式线性映射分解为一些简单映射的复合,20,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成:,暂且将w平面看成是与z平面重合的.,2
8、1,i)w=z+b.这是一个平移映射.因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量b的方向平移一段距离|b|后,就得到w.,O,(z)=(w),z,w,b,22,ii)w=az,a0.这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.设a=leia将z先转一个角度a,再将|z|伸长(或缩短)l倍后,就得到w.,O,(z)=(w),z,w,a,23,圆周的对称点,OPOP=r2,因为DOPT相似于DOPT.因此,OP:OT=OT:OP,即OPOP=OT2=r2.,P与P关于圆周C互为对称点,24,z,w1,w,25,1.保角性,26,而i)与ii)构成的复合映射w=az+b经过类似的处理后也可以看作是在整个扩充复平
9、面上共形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的,且具有保角性.,27,2.保圆性映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性,这里将直线看作是无穷大半径的圆,这种性质称作保圆性.w=1/z具有保圆性.,28,映射w=1/z将方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0变为方程d(u2+v2)+bu-cv+a=0当a0,d0,将圆周映射为圆周;当a0,d=0,圆周映射成直线;当a=0,d0,直线映射成圆周;当a=0,d=0,直线映射成直线.映射w=1/z把圆周映射成圆周.映射w=1/z具有保圆性.,29,定理二 分式线性映射将扩充z平
10、面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.根据保圆性,在分式线性映射下,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线.,30,z1,z2是关于圆周C的一对对称点的充要条件是经过z1,z2的任何圆周G 都与C正交.,C,R,z0,z1,z2,z,G,31,定理三 设点z1,z2是关于圆周C的一对对称点,则在分式线性映射下,它们的象点w1与w2也是关于C的象曲线C 的一对对称点.证 设经过w1与w2的任一圆周G 是经过z1与z2的圆周G 由分式线性映射过来的.由于G 与C正交,而分式线性映射具有保角性,所以G 与C(C
11、的象)也必正交,因此,w1与w2是一对关于C 的对称点.,32,3 唯一决定分式线性映射的条件,有四个常数a,b,c,d.但是,实际上只有三个独立的常数.因此,只需给定三个条件,就能决定一个分式线性映射.定理 在z平面上任意给定三个相异的点z1,z2,z3,在w平面上也任意给定三个相异的点w1,w2,w3,则存在唯一的分式线性映射,将zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).,33,证 设,将zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3),即,因而有,及,34,得,这就是所求的分式线性映射.如果有另外一个分式线性映射,也把z平面上三个相异点z1,z2,z3依次映射成w平面
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