数学建模论文代工企业的生产管理和薪酬分配.doc

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1、代工企业的生产管理和薪酬分配摘要本文讨论了大型代工企业的生产管理和薪酬分配问题，主要目的是通过不同的策略使企业与工人的利益达到最大化。为了便于我们解决问题，我们首先结合相关资料建立了学习曲线模型以及残次率模型。在问题一的解决方案中，我们在确定招募工人数及其初次分配时先将残次率、部件加工时间设为处于平均水平的常值，我们根据学习曲线模型给出计算方法，计算工人生产个部件时所需要的时间，这样为我们决定人员调整或者工作时间调整提供了依据；不考虑部件类型对残次率的影响，通过式得出具体方案，之后针对主要不确定因素，在人员调整和工作时间变更方面我们通过方程组建模，并对两种策略各进行了定性与定量的细致讨论。对于

2、问题二中薪酬政策的制定，我们首先结合了相关的经济及管理学原理，以包工薪酬制为基础，并定义薪酬考核量贡献值，借助残次率子模型建立模型，并给出相应薪酬政策。之后，我们还利用层次分析法给出了另一种薪酬政策，这种薪酬政策能有效地体现各种影响因素的强弱。问题三是一个对策模型，我们结合问题二中的薪酬模型建立了关于工人利益函数模型，使工人的利益得以量化分析。利用模型，通过调节工人可控的主要自变量工作效率及残次率，来优化工人的所得利益。一、问题提出（1）背景：某大型电子代工企业接获一宗订单，需在一周（天）时间内生产某型号产品余万件。每件该型号产品由个独立部件组装而成，每个部件需在不同车间内加工。组成一件产品的

3、不同部件生产时间无先后限制，组装时间忽略不计。不同部件加工所需时间不尽相同，短的平均每个约需秒，长的平均每个约需秒。同种部件的加工时间也与操作工人有关，最快与最慢的工人之间可有倍的差距。工人上岗时需经过半天左右的培训，随后正式开始生产。对大多数工人来说，速度会随着熟练程度的提高逐渐加快，经两天左右时间达到峰值。工人在中途调换工作岗位时仍需重新经过培训与熟练过程。部件加工约有的残次率。残次率的大小既与部件类型有关，也与操作工人能力、责任心、速度等因素有关。特别是当工人盲目加快速度时，残次部件会显著增加。残次部件可即时检出并重新加工，但记录不会消除。为完成该份订单，企业一次性招募数百名工人从事该订

4、单的生产。出于场地、设备等多方面的考虑，企业倾向于在可能情况下尽可能减少工人总量。企业根据每个部件情况，凭借以往经验，估算每个车间所需工人数，进行工人的初次分配。在生产过程中企业还可对工人在不同车间之间进行调配。企业实行八小时工作制，在必要时可作出减少或适当延长某个车间工作时间的决定，但延长工作时间也会增加企业生产成本。企业可实时掌握每个车间和每位工人的加工数量、残次率、平均速度等数据。企业实行二级管理。企业负责工人的招募和调配、薪酬政策制定，车间负责工人的培训指导和日常管理。在生产过程中，企业对具体人员的调动和工作时间的变更一般需征求车间的意见。企业必须在规定时间内完成订单，在此基础上减少残

5、次率以维护企业声誉。企业以其利润的固定比例作为工人的报酬（2）重述问题1：企业应如何确定招募工人数及进行工人的初次分配，如何根据各车间完成情况进行人员的调整及工作时间变更。问题2：企业应制定怎样的薪酬政策，使之能激励车间和工人按时、保质地完成任务，并且不同车间和工人之间在收益与付出上尽可能公平。问题3：在上述薪酬政策下，车间和工人应采取何种策略，使自身的利益最大化。二、模型的基本假设：（1）在招募工人时已按照合适的年龄、性别招募，即工人的能力与责任心与年龄和性别等因素无关。（2）每种类型部件所需加工的总数相等，且均设为万件（3）该企业的生产情况只受内部因素影响，不受外界干扰。（4）企业中安排六

6、个车间，每个车间分别一种类型的部件，且在生产过程中不更换。（5）在工人不更换岗位的情况下，车间与车间之间互不影响工作效率。（6）模型中建立的函数关系均认为可微。（7）企业的目标如下： 规定时间内完成订单： 尽可能减小残次率以维护声誉三、模型中符号的约定： 六种类型部件单个加工分别所需的时间 残次率 六个车间在初次分配时得到的工人数 六个车间分别所获薪酬四、模型中相关问题的分析：（1）为了便于解决问题，对于上述问题中所包含的相关条件，结合相关资料，建立两个子模型：子模型一：学习曲线模型2每个工人随着生产零件的数目增多会变得熟练，也即生产某个零件的时间会不断减少，直到达到峰值：具体的关系是：其中：

7、 为生产第个零件所用的时间，为工人在接受对某种类型部件加工的培训后，对单个该类型部件的初始加工时间。设平均每个工人前2天共生产个零件，工人生产零件所用的平均时间为,工人生产第一个零件平均所用时间为，的求解方法为：注1：对于生产时间短的零件=6s,对于生产时间长的零件=15s注2：为后4.5天能生产的零件个数，为达到熟练后工人生产单个零件所用平均时间）对于式子（2）的处理，我们选用积分近似法：因为（2）是个超越函数，且很大，为数千，又因为步进为1，相对于很小，因此可以（产品件数）可近似看作是连续变量，因此（2）可写成：注3：根据资料，代表了学习率，其大小一般为,而且大小与零件生产的自动化程度有关

8、，自动化程度越高，越大，这里不妨取= 0.9)。子模型二：残次率模型对于特定部件及特定工人的理像残次率建立模型，不考虑现实的随机因素，模型如下：其中为自然对数的底数为速度接近于时的残次率 为工人的实际生产速度 为在遵守曲线的前提下，工人的生产速度（2）对于问题一相关条件的分析：因为招募工人及初次分配是在生产之前，企业很难非常准确的掌握工人的加工速度及残次率，出于实际的考虑，我们认为不宜将招募人数及初次分配规划的过分细致，过于细致的考虑可能反而会与最终的实际生产有较大偏差，因此我们将残次率假定为常数，加工速度仅受部件类型影响，对六种部件的单个加工时间分别设定为常数，以此为基础确定方案。当企业发现

9、有车间按现有速度离按时完成订单有一定差距时，应采取一定的调整策略。（3）对于问题二相关条件的分析： 针对薪酬，与薪酬直接相关的变量并不多，通过一些简化问题的假设我们认为薪酬制度可以通过建立函数模型来表达我们把工人薪酬归纳为两个方面：绩效薪酬：主要作用在于激励工人按时、保质的完成任务加班与岗位调动补贴：主要作用在于保障工人在调离岗位或加班时付出的努力得到回报。薪酬的支付方式主要有计时和计件两种，我们认为在该问题中薪酬政策应该以计件薪酬为基础制定，更有利于调动工人积极性。除了函数模型，该问题还可以通过层次分析法来建立模型。（4）对于问题三相关条件的分析：我们将问题中的条件做了以下提炼：、对于工人可

10、采取的策略有：工作效率、工作质量（残次率）、两种策略工作效率与工作质量的关系呈现负相关，可以通过利用残次率子模型，构造与利益的关系、工人的利益包括：所获薪酬、劳动付出、工人的利益、所获薪酬、劳动付出三者存在函数关系，可通过对这三个量建立模型解决问题五、模型的建立与分析求解（1）基于问题一的模型：在该问题中，由于考虑的是人数的招募及分配问题，出于简化问题的目的，在结合基本假设的同时，再做以下假设：、假定工人之间的能力没有差异、假定工人在生产过程中完全符合子模型中的学习曲线模型、假定不同类型的部件在不同的单个加工时间区间内服从均匀分布，即 , 对残次率同样如此进行假设，即 、假定残次率与部件类型相

11、互独立，没有关系、假定企业可以采取的调整策略有且只有两种：1、从其他车间（按现有速度可以提前完成）调度工人 2、对该车间适当进行加班（加班应选用能力强的工人）再对相关变量作以下补充符号约定：工人在接受对某种类型部件加工的培训后，对单个该类型部件的初始加工时间 各个车间加工其所加工的单个部件所需的平均时间各个车间完成件所用的时间 设该工人已加工该部件数 加工短时间零件的车间数，由订单决定首先解决工人的招募及初分配：由问题一分析中可知，由于企业在生产之前无法对与有很准确的掌握，不妨取其平均值，即, 则 故所招募的总人数 其中 如此即为我们所确定的招募人数及工人初次分配方案。其次解决企业的调整策略方

12、案：建模：结合子模型“学习曲线模型”，可知工人对单个该种部件加工时间与该工人已加工部件数x的函数关系为 有上述已知条件，通过方程组建立数学模型如下：只要提供，可以求得，解出任何时间车间应该有的产量，工厂可以随时选择一个时间，检查车间生产的产品数，若大致符合学习曲线模型下的产量，则没有问题；若远小于，则可以考虑调人或者加班。分析：、讨论调人：对于调人时机的分析：这个问题我们主要从定性的角度考虑，以便于之后对车间调人条件的定量分析。由于在天时，工人尚未达到其加工速度的峰值，且剩余的加工时间较长，若此时对部分工人进行调动，从调出车间的角度，由于工人的作用尚未达到最大值，因此损失可以接受，而从调入车间

13、的角度，由于工期开始不久，工人还有很大的发挥空间，因此我们认为前天调动工人的最佳时机。对调人条件的分析：对于车间调动工人的条件，我们主要考虑在前2.5天的最佳调人时机，利用学习曲线模型，其分析结果如下：若时，认为可以调出人若时，认为可以不需要工人调动若时，认为需要调进人结合实际进一步讨论：事实上每个车间生产情况都会产生变数，因此结合实际我们认为，对于调出车间的条件应修正为明显小于，而调入车间的条件修正为明显大于在天后至第天，我们认为工人调动的策略优越性已经不大，另外由于在这段时间，企业对各车间情况已有较好的掌握，出现大幅调整的可能性已经不大。但一旦需要调整，仍应优先考虑调整岗位。、讨论加班出于

14、加班效率及缩小成本的考虑，加班必须安排熟练工且能力强的工人加班，而在前天，由于工人均为达到最熟练的程度且能力尚未得到全面的体现，因此在前天不宜考虑加班，若有车间出现明显的跟不上进度，应首先考虑调动工人。假定该车间熟练工的数目可以满足需求，则对于加班需求人数的模型为：，其中为熟练工加工单个其所加工类型部件所需的时间，为企业安排的加班时间（2）基于问题二的模型：模型一：我们结合包工薪酬制及相关假设和经验建立模型首先同样针对该问题进行相关补充假设：、假定工人均朝自身利益最大化方向生产、假定所有车间均无误工现象发生相关符号约定：工人的贡献值：每个车间应生产的部件总数（认为每个车间应生产的部件总量是一样

15、的）：企业根据社会必要劳动时间所决定的车间的生产产品的价值对车间的分配薪水：第个车间所有工人不加班的工作时间之和：第个车间由于提前完成和加班而引起的车间所有工人不加班的工作时间之和（加班为正，提前为负）：调人引起的生产时间的变化（调离为负。调入为正）。：对各个车间的工人进行编号，为工人在其所在车间的编号值：第个车间中编号为的工人实际所得薪酬：第个车间可用来分配的薪水总量模型的建立：以包工薪酬制为基础： 用工单位将成批量的或成系统的生产任务发包给雇员集体（班组或工程队，本文中指各车间），预先约定工作量、完成期限、包工薪酬数额等双方的义务和权限，如期完工之后，获得合同规定的全部薪酬总额，然后在包工

16、集体中再分配。采用包工薪酬制有利于促使员工保质保量地缩短完成任务，通识对提高劳动生产率也有积极作用。3故首先根据前文对问题二的分析建立与相关的模型： 建立贡献值函数模型如下：（其中b为常数，为该工人的实际残次率）此外对于贡献值有一下性质：故该工人实际所得薪水 模型的求解（结合子模型二即残次率模型求解）：令工人的实际生产速度为在遵守曲线前提下生产速度的倍，即并将其带入贡献值模型，对变量求导，当工人贡献值取到极大值时，即 由此可得 若我们给定了这个（由实际生产所确定），我们就可以算出相应的，从而制定出相应的薪酬政策。容易计算，模型二：我们利用层次分析法建模14首先建立层次结构模型：目标层准则层措施

17、层A 制定合理薪酬政策C1 按时完成任务C2 假定残次率C3 分配尽量公平P1 计件薪酬制P2 出现残次品处罚P3 加班、调动补贴（1）为求出在目标层中所占的权值，构造在目标层的成对比较矩阵，设构造出的成对矩阵为： 139131求出一致性指标，经计算该矩阵的最大特征根为又因为,因此0，0，该矩阵具有满意的一致性，接受该矩阵。当时，可以求出标准化特征向量为：,以的分量作为,在目标A中的权重。（2）根据本问题的层次模型，可知与和有关，与和有关，与，均有关，类似方法求和在中的权值，和在中的权值，在中的权值： 1510，故接受此矩阵，1310，故接受此矩阵，,133131, 通过查表得,，此判断矩阵非

18、一致性严重，必须重新确定1331111，0，0，故接受此矩阵经层次单排序，得到下图：目标层准则层措施层A 制定合理薪酬政策C1 按时完成任务C2 假定残次率C3 分配尽量公平P1 计件薪酬制P2 出现残次品处罚P3 加班、调动补贴0.6920.2310.0770.8330.250.20.1670.20.60.75最后，从最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。（1）层次 层A 层CAC层排序总权值0.6920.6920.2310.2310.0770.077（2）. 层次层C层PC层排序总权值0.6920.2310.0770. 8330.2500.6000.

19、6820.1670.7500.2000.303000.2000.015可见层次总排序结果具有较满意的一致性并接受结果。因此可以制定如下的薪酬政策：制定一个薪酬向量设S为工人的工资，为工人生产的件数，为某个工人生产部件的残次率，为工人的加班和调动情况 （初值为0，每有一次调动，则的值加1）（3）基于问题三的模型：相关符号的约定（问题二中的符号约定在此问题中仍然适用）：第个车间编号为的工人的利益工人劳动总时间工人因劳动而损失的利益模型的建立：对工人利益进行量化考虑，引入工人利益值。由于工人利益与其所获薪酬密切相关，因此我们将问题二中的模型引入此问题的模型中。另外，工人利益也会受工人的劳动付出影响，

20、出于简化问题的考虑，我们认为工人的劳动付出只与其工作时间有关，并引入函数，建立的模型如下：模型的分析与求解：首先考察抽象函数的性质，结合实际生活经验及之前对问题的分析，我们认为，即工作时间越长，工人因劳动付出带来的利益损失越多。部分的分析与求解参照问题二。结合模型的分析，我们认为工人应采取的策略如下：、降低残次率：由于对于每个工人来说，残次率的上升都会对其贡献值产生显著影响，而贡献值又是影响工人薪酬的主要因素，因此为了保证薪酬水平，尽可能降低残次率是每个工人都应才取得策略。、对于工作效率高于平均水平的工人应在保证较低残次率水平并保持效率的前提下，争取适当的加班机会、对于工作效率低于平均水平的工

21、人由于其无法获得加班机会（加班考虑让效率高且残次率较低的工人参加），因此可视为常值，根据模型可知，这类工人的利益只与薪酬有关，故应在保证残次率不显著上升的前提下，尽可能提升效率，以提高薪酬水平。六、模型的评价及改进（修正）方向（1）问题一：解决该问题所用的模型相对而言较粗略，并未对生产效率、残次率及其影响因素考虑的充分细致，在实际过程中可能会使得采取生产调整的可能性增大，因此，我们认为对于人数招募及初次分配的修正方向应为在生产前企业能更准确的掌握到生产效率、残次率相关数据的情况下，若能归纳出残次率与部件类型及加工时间之间的关联，则可以通过建立函数模型引入原模型对问题一进行修正。（2）问题二：薪

22、酬政策的模型中加入了我们的一些主观想法，但模型的一大优势在于它可以根据决策者（文中指企业）对某些参数和关系进行适当的调整，使之与实际更为吻合，此外我们利用了层次分析法，这就可以根据实际决策者的意愿来对权重进行修正。其主要不足在于我们在考虑将薪酬发放给车间时未充分到残次率，可能会一定程度上影响车间之间的公平，但是我们在模型中充分考虑了如何控制工人的残次率，故车间的总体残次率水平不会过多的影响到车间之间的公平。（3）问题三：问题三的解决主要建立在问题二的基础上，由于问题三是一个对策问题，因此我们在求解和分析模型时通过分析其中相关函数或模型的性质来得出对策，并且我们认为我们得出的策略同样可以运动到其

23、它类似的生产环境中。我们在建模及分析时没有充分地去定量考虑，主要停留在定性分析，造成了一定程度上准确度的缺失。模型的改进可以通过把抽象函数确定为具体函数，即把问题三中的模型改进成具体的函数关系式，便可以充分地对模型进行定量分析。七、模型的推广及应用我们认为之前所建立的模型均具有较高的推广价值及较广的应用范围。由于学习曲线模型是结合已有的参考资料所建立的，对大部分生产情况均可适用，对生产单位的生产规划具有重大意义。残次率模型主要建立在已知的题设条件下，因此在推广过程中需对相关参量进行修正。在问题一中所给出的方案及调整策略在当生产单位对具体的生产效率、残次率等重要生产信息尚未准确掌握的情况下，具有

24、较大的应用价值。而问题二中所建立的薪酬模型由于结合了残次分析法，故在推广和具体应用到其他生产情况时，可通过各因素权重的调整来实现薪酬政策的制定。本文中所有的数学模型均存在一定的理想化，但与现实的吻合程度较好，因此在实际应用中不会与实际偏差过大，反而由于模型恰当的简化使模型的作用在面对复杂的实际问题更具优越性。八、参考文献1杨启帆、谈之奕、何勇，数学建模，浙江：浙江大学出版社，2006年2马义飞、张媛媛，生产与运作管理，北京：清华大学出版社、北京交通大学出版社，2010年3王长城等，薪酬构架原理与技术，北京：中国经济出版社，2003年4姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003年