数字信号处理_离散时间信号与系统课件.ppt

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1、数字信号处理,济南大学控制学院测控技术教研中心,离散时间信号与系统,主要内容,1、知识回顾,2、离散时间信号与系统,常用序列及其运算LTI系统的概念及其因果稳定性的判断系统的差分方程描述及其求解信号的采样与恢复,是信息的物理表现形式，是信息的载体。,在数学上可以表示为一个或几个独立变量的函数。,根据载体的不同，信号可以是电的、磁的、声的、光的、机械的、热的等各种信号,变量：时间、空间坐标、温度、压力,本门课主要讨论一维时间信号。,知识回顾,确定性信号和随机信号（信号与时间的函数关系）,确定性信号指信号在任意时刻的取值能精确确定，可以用明确的数学关系式表示的时间函数（如正弦信号）。,随机信号不能

2、用确定的时间函数来描述，其函数（信号）值具有随机性，只能用统计方法分析（如噪声）。,周期信号和非周期信号（信号随时间变量变化的规律）,信号波形按一定的时间间隔随着自变量周而复始的变化，而且无始无终。,不满足上述关系式的信号是非周期信号。,周期信号满足一下条件：连续时间信号：x(t)=x(t+kT)离散时间信号：x(n)=x(n+kN)k为整数，满足条件的最小正实数T或正整数N称为信号的周期,能量信号和功率信号,若信号能量E 有限（此时P=0），则称为能量信号。,信号的能量E 和平均功率P 定义如下：,若信号平均功率P 有限（此时），则称为功率信号。,奇信号、偶信号（关于原点对称或关于纵轴对称）

3、,奇信号 x(t)=-x(-t)或 xn=-x-n,偶信号 x(t)=x(-t)或 xn=x-n,任何信号都可以分解为奇信号、偶信号之和，即,其中,连续时间信号、离散时间信号（自变量（时间）取值是否连续）,连续时间信号自变量的取值是连续的，函数的取值可以是连续的也可以是离散的,离散时间信号自变量的取值是离散的，函数的取值是连续的,模拟信号、数字信号（幅值是否连续）,模拟信号：时间是连续的，幅值是连续的（连续时间信号的特列）,数字信号：时间是离散的，幅值是量化的（离散时间信号的特例），由于幅值是量化的饿，故数字信号可用一序列的数来表示，而每个数又可以表示为二进制码的形式。,用一些不连续的幅值逼近

4、信号精确值的过程,已知 x(t)，求x(at+b)的波形,先根据b的值将x(t)平移，得到x(t+b)再根据a的值对x(t+b)进行尺度变换和/或时间反转,由于x(at+b)可写成xa(t+b/a)，先根据a值进行尺度变换再根据b的值进行平移b/a,连续时间复指数信号,定义为处理（或变换）信号的物理设备。或者进一步说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。,记忆系统和无记忆系统,系统的输出仅决定于当前时刻的输入，则这个系统就称为无记忆系统,系统的输出不仅与当前的输入有关，而且还与以前的输入有关，这样的系统称为记忆系统。,可逆系统和不可逆系统,系统在不同的输入下，有不同的输出，

5、则称该系统为可逆系统。它满足一一对应关系。,系统对两个或两个以上不同的输入，能产生相同的输出，则这个系统是不可逆系统。,因果系统和非因果系统,如果一个系统在任何时刻的输出只决定于现在以及过去的输入，而与系统以后的输入无关，则该系统为因果系统（它满足先因后果）。,稳定系统和不稳定系统,一个系统，若其输入是有界的（即输入的幅度不是无限增长的）则系统的输出也是有界的，则称系统是稳定的。,判断一个系统的因果性，重要的是仔细看一下系统的输入-输 出关系,若系统对输入产生的响应是无界的，则系统是不稳定的。,时不变系统和时变系统,时不变系统指系统的行为特性不随时间而变。这就是说，如果输入信号有一个时移，则在

6、输出信号中将产生同样的时移。,判定系统的时不变性方法：令 是系统的任一输入，此时其输出为，改变输入为，分析相应的输出 是否为，如是，则系统为时不变系统；否则，为时变系统。,线性系统和非线性系统,线性系统有两个重要性质：叠加性和齐次性。,叠加性如果某一个输入是由几个信号的加权和组成的，那么输出就是系统对这组信号中每一个响应的加权和。,齐次性如果输入加权后输入系统，则系统的输出就是原输出的加权。,按所处理信号的种类不同可将系统分为四类,模拟系统：系统输入、输出均为模拟信号。,连续时间系统：系统输入、输出均为连续时间信号。,离散时间系统：处理离散时间信号（序列），系统输入、输出均为离散时间信号。,数

7、字系统：系统输入、输出均为数字信号。,第一节常用序列及其运算,在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字序列来表示。,1.1 离散时间信号序列,序列的运算包括移位、反褶、尺度变换、和、积、累加、差分、卷积等。,设某一序列x(n)，当n0 为正时，x(n-n0)是将x(n)沿n轴正方向平移n0个序号，x(n+n0)是将x(n)沿n轴负方向平移n0个单位。n0为负时，则相反。,1.2 序列的运算,1.移位,如果序列为x(n)，则，x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)翻转180。,2.反褶,(1)抽取序列为x(n)，其时间尺度变换后的序列为x(Dn)，D为正整数。x(Dn)表示从x(n)的

8、每连续D个抽样值中取出一个组成的新序列。,不是简单的时间轴的压缩，而应理解为是以1/D倍的抽样频率对原连续信号的抽样，相当于将抽样时间间隔T变成DT。,3.序列的时间尺度变换（抽取与零值插入）,(2)零值插入将序列x(n)扩展，是把原序列的两个相邻抽样值之间插入D-1个零值。,如果原序列的抽样频率是fs，则零值插入后函数的抽样频率为Dfs，为原序列抽样频率的D倍。,两序列的和是指同序号的序列值逐项对应相加而构成一个新的序列。,两序列的积是指同序号的序列值逐项对应相乘而构成一个新的序列。,4.和,5.积,设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为,表示y(n)在某一个n0处的值等于这

9、一个n0上的值x(n0)及以前的所有n值上的x(n)之和。,6.累加,前向差分,前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1),x(n)=x(n-1),后向差分,7.差分运算,前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1),x(n)=x(n-1),前向差分,后向差分,7.差分运算,卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法。同样，对于离散系统，卷积和是求离散线性移不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法。,设两序列为x(n)和h(n)，则x(n)和h(n)的卷积和定义为,8.卷积和,反褶 h(-m)

10、移位 h(n-m)相乘 h(n-m)与x(m)对应点相乘相加把以上所有点对点的乘积累加起来,卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和,8.卷积和,y(1)=1/2,y(2)=1/2+1=3/2,y(3)=1/2+1+3/2=3,y(4)=1+3/2=5/2,y(5)=3/2,1).当n5时，y(n)=0,2).当 时,1.单位抽样序列（单位冲激）,类似于连续时间信号与系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时时脉宽趋于零，幅值趋于无穷大，面积为1的信号，是极限概念的信号。而单位抽样序列是仅在n=0时取值为1，其它均为0，既简单又易计算。,1.3 几种常用序列,2.单位阶跃序列,

11、类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t)，但不同的是u(t)在t=0时常不给予定义，而u(n)在n=0时取值为1。,u(n)的后向差分,3.矩形序列,4.实指数序列,若，则信号随 n 指数增长,若，则信号随 n 指数衰减,若 a 为正，则信号具有相同的符号,若 a 为负，则信号的符号交替变化,若 a=1，则信号为常数1,若 a=-1，则信号在1和-1之间交替变化,a1,0a1,-1a0,a-1,a=1,a=-1,5.复指数序列,若|a|=1，则序列的实部和虚部都是正弦序列,若|a|1，则序列按指数增长,若|a|1，则序列按指数衰减,|a|=1,|a|1,|a|1,常用的方法是将任意序列

12、表示成单位抽样序列的移位加权和。,这是因为只有当 m=n 时，因而,任意序列与单位抽样序列作卷积仍得到原序列。同样，任意序列与单位抽样序列的移位序列作卷积运算则得到此序列作相同的移位序列，即,1.4 用单位抽样序列来表示任意序列,移位加权和,卷积和,第二节线性移不变系统,具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变（Linear Shift Invariant,LSI）离散时间系统，简称LSI系统。,满足叠加原理的系统称为线性系统，即，若某一输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中的每一个响应的同样加权和组成。,2.1 线性系统,线性系统满足叠加原理的一个直接结果就是：在全

13、部时间为零输入时，其输出也恒等于零，即，零输入产生零输出。,在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和比例性，而且信号可以是任意序列，包括复序列，比例常数可以是任意数，包括复数。,判断以下系统是否是线性系统：,令,则,所以,令 加权复数为a=j，我们只考虑输入为,则相应的输出为,可以看出,所以此系统不是线性系统。,令系统的输入为,则相应的输出为,令,则相应的输出为,而,所以此系统不是线性系统。,若系统的响应与激励加于系统的时刻无关，也就是说，输入输出的运算关系不随时间而变化，则称为移不变系统（或时不变系统）。即若输入x(n)产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出为y(n

14、-m)，也就是输入移动任意位，其输出也移动相同的位数，而幅值却保持不变。,判断一个系统是否是移不变系统，就要检验它对任意的一个序列x(n)，先移位后再进行变换与先变换后再移位的输出信号是否是相同。,2.2 移不变系统,判断以下系统是否是移不变系统：,所以此系统是移不变系统。,所以此系统是移变系统。,线性移不变系统可用它的单位抽样响应（单位冲激响应）来表征。单位抽样响应是指输入为单位冲激序列的系统的输出。一般用h(n)表示单位抽样响应，即,知道h(n)后，就可以得到此线性移不变系统对任意输入的输出。,用单位抽样序列表示任意序列,2.3 单位抽样响应与卷积和,1）交换律,这就是说，如果把单位冲激响

15、应h(n)改作输入，而把输入x(n)改作为系统单位冲激响应，则输出y(n)不变。,2.4 线性移不变系统的性质,2）结合律,这就是说，两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统，其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关。,例：两个线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为h1(n)，h2(n)，输入为x(n),求系统的输出y(n),解：设级联的第一个系统的输出为w(n)，则,因而输出为：,所以：,3）分配律,也就是说，两个线性移不变系统的并联（等式右端）等效于一个系统，此系统的单位抽样响应应等于两系统各自单位抽样响应之和（等式左端）。,

16、如果一个系统在任何时刻的输出只决定于现在以及过去的输入，而与系统以后的输入无关，则该系统为因果系统（它满足先因后果）。,线性移不变系统是因果系统的充要条件是：,证：充分条件：若n0时h(n)=0，则,因而,2.5 因果系统,必要条件：利用反证法来证明。,在所设条件下，第二个 式至少有一项不为零，y(n)将至少和mn时的一个x(m)值有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立。因而，n0时，h(n)=0是必要条件。,如果假设n0时，则,6.稳定系统,稳定系统是系统能正常工作的先决条件。稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。,若,则,线性移不变系统是稳定系统的充要条件是,证：充分条件：

17、若,必要条件：利用反证法来证明。,已知系统稳定，假设,我们可以找到一个有界的输入为,则,所以 是稳定的必要条件。,要证明一个系统不稳定，只需找到一个特别的有界输入，如果此时能得到一个无界的输出，那么就一定能判定这个系统是不稳定的。但是要证明一个系统是稳定的，不能只用某一个特定的输入作用来证明，而是要利用在所有有界输入下都产生有界输出的办法来证明系统的稳定性。,例如：,1）令x(n)=1，则y(n)=n，y(n)是无界的（随着n的增加y(n)增加）,2）令|x(n)|A，即-Ax(n)A，A为任意正数，则输出y(n)满足,因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是因果的且是绝对可和的，即,试判断以

18、下系统的因果性及稳定性,1.设某线性移不变系统，其单位抽样响应为,2.设某线性移不变系统，其单位抽样响应为,第三节常系数线性差分方程,连续时间线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示，而离散时间线性移不变系统的输入输出关系常用以下形式的常系数线性差分方程表示，即,所谓常系数是指a1,a2,aN；b1,b2,bN（它们决定系统的特征）是常数。若系数中含有n，则称为“变系数”线性差分方程。差分方程的阶数等于未知序列指y(n)变量序号的最高值与最低值之差。,所谓线性是指各y(n-k)以及x(n-k)项都只有一次幂，且不存在它们的相乘项，否则就是非线性的。,求解常系数线性差分方程可以用序

19、列域（离散时域）求解法，也可以用变换域求解法。,序列域求解法有三种 经典解法；迭代法，此法较简单，但是只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答；卷积和计算法，这用于系统起始状态为零时（即所谓松弛系统）的求解，或说零状态解。,变换域求解法与连续时间系统的拉普拉斯变换法相似，它采用z变换方法来求解差分方程，这在实际使用上是简便有效的。,例：常系数线性差分方程,求其单位抽样响应（初始状态为y(-1)=0）,h(n)=y(n),则有：,依次迭代可求得：,向左差分并依次迭代可知：h(n)=0,解：向右差分有 y(n)=ay(n-1)+x(n)，其中,故系统的抽样响应为：,也可表示为：,一个常系数

20、线性差分方程并不一定代表因果系统，设置的边界条件不同，则可得到非因果系统。,设初始状态为y(0)=0,则：n0时，h(n)=0,向左差分,或,迭代递推可得：,故系统的抽样响应为：,也可表示为：,一个常系数线性差分方程，只有当边界条件选的合适时，才相当于一个线性移不变系统。,边界条件为y(0)=1，试说明它是否是线性移不变系统。,解:（1）令,则：,同样利用,可递推求得,所以,令,则,同样可递推求得,所以,（2）前面已证明,令,则得,同样可递推求得,所以,又,所以,差分方程表示法的另一个优点是可以直接得到系统的结构（将输入变换成输出的运算结构，而非实际结构）。,第四节连续时间的抽样,抽样就是利用

21、周期性抽样脉冲序列p(t)，从连续时间信号 中抽取一系列的离散值，得到抽样信号即离散时间信号，以 表示。,1.理想抽样的抽样定理,=1,理想抽样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为，而频谱的幅度则受 加权，由于T是常数，所以除了一个常数因子区别外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原谱分量不发生频率上的交叠，则有可能恢复出原信号。,如果信号的最高频率 超过，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为频谱的混叠现象。,抽样频率之半（fs/2）称为折叠频率,结论：若xa(t)是频带宽度有限的，要想抽样后x(n)=xa(nT)能够不失真地 还原出原信号xa(t)，则抽样频率必须大

22、于等于两倍信号谱的最高频率，这就是奈奎斯特抽样定理。,若xa(t)不是频带宽度有限的，为了避免混叠，一般在抽样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为fs/2，以便滤除高于fs/2的频率分量。,2.信号的重建（抽样的恢复）,内插函数,xa(t)等于各xa(mT)乘上对应的内插函数的总和。在每一个抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各抽样点上信号值不变，而抽样点之间的信号则由各加权抽样函数波形的延伸叠加而成。,说明只要抽样频率大于等于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的抽样值来代表，而不会丢掉任何信息。,3.实际抽样,小结及重点掌握内容,序列的运算、几种常用序列线性移不变系统的概念及其因果稳定性的判断已知系统输入、线性常系统差分方程和初始条件，求解系统的输出连续时间信号的抽样,知识回顾Knowledge Review,