数学数学归纳法(北师大版选修)课件.ppt

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1、第一章 推理与证明 4 数学归纳法,举例说明：一个数列的通项公式是：an=(n25n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测an?,由于a525 1，所以猜测是不正确的,所以由归纳法得到的结论不一定可靠,1,1,1,1,猜测是否正确呢？,课题引入,不完全归纳法,如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？,思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？,多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。,多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚

2、至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。,先从多米诺骨牌游戏说起,只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：,（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（依据）,条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。,思考：你认为证明数列的通项公式 是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？,（1）第一块骨牌倒下；（基础）,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,（1）第一块骨牌倒下。,（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,

3、根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,（1）当n=1时猜想成立。,（2）若当n=k时猜想成立，即，则当n=k+1时猜想也成立，即。,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。,已知数列,数学归纳法的概念：,定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当n取第一个值n0(n0 N*)时命题成立(归纳奠基）；,2.然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。这种证明方法就叫做_。,数学归纳法,验证n=n0时命题成立,若n=k(kn0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.,归纳奠基,归

4、纳递推,命题对从n0开始所有的正整数n都成立,例1、用数学归纳法证明：1+3+5+(2n-1)n2,(2)假设nk时，等式成立，即,(1)n1时，左边=1，右边=1，等式成立；,1+3+5+(2k-1)k2,那么当nk+1时，,由、可知对任何nN*时，等式都成立,需要证明的式子是?,1+3+5+(2k-1)+（2k+1）k2+（2k+1）（k+1）2,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,同样的方法，我们可以用数学归纳法证明首项为a1，公差为d的等差数列的前n项和公式.具体详解请同学们看本节教材例1.,数学建构,类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想 的步骤为：,(1)证明当n=1时猜想成立,(

5、2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.,完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。,相当于第一张牌能倒下,相当于使所有骨牌倒下的第2个条件,证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。,例2 证明：,递推基础,递推依据,假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,这就是说，当n=k+1时,等式也成立。,根据和，可知对任何nN*等式都成立。,证明：（1）当n=1时，,等式是成立的,（2）假设当n=k时等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知等式对任何 都成立,试用数学归纳法证明,点评：利用数学归纳法

6、证明和正整数相关的命题时，要注意三句话：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。,证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。,练习2.（1）用数学归纳法证明：,假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,这就是说，当n=k+1时,等式也成立。,根据和，可知对任何nN*等式都成立。,证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。,练习2.（2）用数学归纳法证明：,假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,这就是说，当n=k+1时,等式也成立。,根据和，可知对任何nN*等式都成立。,2.数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值（如 或2等）时命题成立,递推基础,在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立,1.数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题,3.数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。,课堂小结,另外一定要注意：用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。,