新教材人教A数学必修二ppt课件：7.1.2复数的几何意义.ppt

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1、7.1.2复数的几何意义,1.复平面复数z=a+bi(a，bR)可以用直角坐标平面内的一个点Z(a，b)来表示，如图：,【思考】(1)实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？提示：虚轴上除了坐标原点以外的点都表示纯虚数.,(2)复平面上的点和复数如何建立起一一对应关系？提示：建立直角坐标系，横轴为实轴，纵轴为虚轴，复数a+bi(a，bR)与点(a，b)对应.,2.复数的几何意义,【提醒】复数和平面向量一一对应，则可把复数和向量建立起紧密的联系.,3.复数的模(1)定义：向量 的模叫做复数z=a+bi(a，bR)的模.(2)记法：复数z=a+bi的模记为|z|或|a+bi|.(3)公

2、式：|z|=|a+bi|=_(a，bR).,【思考】两个虚数是不能比较大小的，两个虚数的模能比较大小吗？提示：复数的模就是复数的长度，它是一个实数，所以两个虚数的模是能够比较大小的.,【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)原点是实轴和虚轴的交点.()(2)实轴和虚轴的单位都是1.()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.()(4)复数与复平面内的无数多个向量对应.(),提示：(1).原点既在实轴上又在虚轴上，所以原点是实轴和虚轴的交点.(2).实轴的单位是1而虚轴的单位是虚数的单位i.(3).实轴上的点表示实数，而虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，原点表示实数0.,(

3、4).复数与复平面内的无数多个向量对应，与以原点为起点的向量是一一对应的，故这种说法是正确的.,2.已知复数z=1+i，则下列命题中正确的个数为()|z|=；z的虚部为i；z在复平面上对应点在第一象限.A.0B.1C.2D.3,【解析】选C.|z|=，故正确；z的虚部为1，故错误；z在复平面上对应点是(1，1)，在第一象限，故正确.,3.在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i,【解析】选C.由题意知A(6，5)，B(-2，3)，则AB中点C(2，4)对应的复数为2+4i.,4.在复平面

4、内，O为原点，向量 对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x的对称点为B，则向量 对应的复数为_.,【解析】因为A(-1，2)关于直线y=-x的对称点为B(-2，1)，所以向量 对应的复数为-2+i.答案：-2+i,类型一复数与复平面内点的位置关系【典例】1.复数z=cos+isin 在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,2.(2019武汉高二检测)若复数z=a2-3+2ai对应的点在直线y=-x上，则实数a的值为_.3.(2019四平高二检测)若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的取值集合为_.,【思

5、维引】1.复数z=a+bi(a，bR)在复平面内对应的点的坐标是(a，b).,2.复数z=a+bi(a，bR)对应的点为(a，b)，即(a，b)在直线y=-x上，即b=-a.3.虚轴上除原点对应0之外，其他的点对应的复数都是纯虚数，其实部为0，虚部不等于0.,【解析】1.选B.因cos 0，故复数z=cos+isin 对应的点在第二象限.,2.复数z=a2-3+2ai在复平面内对应的点的坐标为(a2-3，2a)，因为它在直线y=-x上，所以2a=-(a2-3)，即a2+2a-3=0，解得a=-3或a=1.答案：-3或1,3.因为复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点位

6、于虚轴上，所以m2-m-2=0，解得m=2或m=-1.答案：-1，2,【内化悟】1.复平面内的点与复数是怎样对应的？提示：复平面内点的坐标与复数的实部虚部是分别对应的，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，则复数z=a+bi(a，b为实数)可用点Z(a，b)表示.,2.实轴、虚轴与复数是怎样对应的？提示：实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除了原点外都表示实数.,【类题通】利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+bi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据.,(2)列出方程(组)或不等式(组)：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通

7、过解方程(组)或不等式(组)求解.提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示.,【习练破】1.复数z=i2sin+icos 对应的点在复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,【解析】选C.z=i2sin+icos=-i，在复平面内对应的点为，在第三象限.,2.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是()A.-1B.4C.-1或4D.-1或6,【解析】选C.因为复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i对应的点在虚轴上，所以m2-3m-4=0，解得m=-1或4.,3.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内

8、对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是_.,【解析】由已知得 所以 所以1x2.答案：(1，2),【加练固】1.复平面内表示复数z=(3m2+m-2)+(4m2-15m+9)i的点位于第一象限，则实数m()A.(-，-1)B.(3，+),C.(-，-1)(3，+)D.,【解析】选C.因为复数z=(3m2+m-2)+(4m2-15m+9)i对应的点位于第一象限，所以3m2+m-20且4m2-15m+90，解得m3.,2.复数z=(2x2-2x)+(x2+3)i在复平面内对应的点在直线y=x的左上方，则实数x的取值范围是_.,【解析】复数z=(2x2-2x)+(x2+3)i在复平面内对应的点的坐

9、标为(2x2-2x，x2+3)，据题意有2x2-2xx2+3，解得-1x3.答案：-1x3,类型二复数与复平面内向量的对应关系【典例】1.(2019青岛高二检测)向量 对应的复数为1+4i，向量 对应的复数为-3+6i，则向量+对应的复数为()A.-3+2iB.-2+10iC.4-2iD.-12i,2.(2019襄阳高二检测)复数4+3i与-2-5i分别表示向量 与，则向量 表示的复数是_.,3.(2019苏州高二检测)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2+3i，3+2i，-2-3i，求点D对应的复数.世纪金榜导学号,【思维引】1.在复平面内，向量 对应的复数

10、为z=a+bi(a，bR)，则向量 的坐标是(a，b)，点Z的坐标也是(a，b).2.,3.点A，B，C对应的复数分别是2+3i，3+2i，-2-3i，记O为复平面的坐标原点，则=(2，3)，=(3，2)，=(-2，-3).,【解析】1.选B.向量 对应的复数为1+4i，向量 对应的复数为-3+6i，所以=(1，4)，=(-3，6)，所以+=(1，4)+(-3，6)=(-2，10)，所以向量+对应的复数为-2+10i.,2.因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量 与，所以=(4，3)，=(-2，-5).又因为=-=(-2，-5)-(4，3)=(-6，-8)，所以向量 表示的复数是-6-8i.

11、答案：-6-8i,3.记O为复平面的原点，由题意得=(2，3)，=(3，2)，=(-2，-3).设=(x，y)，则=(x-2，y-3)，=(-5，-5).由题知，=，,所以 即 故点D对应的复数为-3-2i.,【内化悟】在复平面内复数与向量对应的前提是什么？提示：复数z=a+bi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与 相等的向量有无数个.,【类题通】复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.,

12、(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.,【习练破】1.已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2-3i，-3+2i，那么向量 对应的复数是()A.-5+5iB.5-5iC.5+5iD.-5-5i,【解析】选B.向量，对应的复数分别记作z1=2-3i，z2=-3+2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量=(2，-3)，=(-3，2).由向量减法的坐标运算可得向量=-=(2+3，-3-2)=(5，-5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量 对应的复数是5-5i.,2.已知M(1，3)，N(4

13、，-1)，P(0，2)，Q(-4，0)，O为复平面的原点，试写出，所表示的复数.,【解析】表示的复数为1+3i；表示的复数为4-i；表示的复数为2i；表示的复数为-4.,【加练固】1.在复平面内，把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转60，所得向量对应的复数是_.,【解析】3-i对应的向量为(3，-)，与x轴正半轴夹角为30，顺时针旋转60后所得向量终点在y轴负半轴上，且模为2，故所得向量对应的复数是-2 i.答案：-2 i,2.已知复数1，-1+2i，-3i，6-7i，在复平面内画出这些复数对应的向量.,【解析】记O为坐标原点，复数1对应的向量为，其中A(1，0)；复数-1+2i对应的向量为

14、，其中B(-1，2)；复数-3i对应的向量为，其中C(0，-3)；复数6-7i对应的向量为，其中D(6，-7).如图所示.,类型三复数的模的计算与几何意义的应用【典例】1.(2019海口高二检测)设复数z=(x+1)+(x-3)i，xR，则|z|的最小值为()A.1B.2C.2 D.4,2.(2019南京高二检测)已知复数z1=x2+，z2=(x2+a)i对于任意xR均有|z1|z2|成立，试求实数a的取值范围.3.复数z1=3+4i，z2=0，z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若BAC是钝角，求实数c的取值范围.世纪金榜导学号,【思维引】1.复数的模的平方等于复数实

15、部与虚部的平方和.2.解决有关复数模的问题的一般思路是利用所给复数的实部和虚部，求出复数的模或复数模的平方，再利用相关的条件解题.,3.BAC为钝角cosBAC0，cosBAC-1 0且，不共线.,【解析】1.选C.据条件可得|z|=即|z|的最小值为2.,2.因为|z1|z2|，所以x4+x2+1(x2+a)2，所以(1-2a)x2+(1-a2)0对xR恒成立.当1-2a=0，即a=时，不等式成立；当1-2a0，即a 时，需 所以-1a，综上，a(-1，.,3.在复平面内三点坐标为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c-6)，由BAC为钝角，得cos BAC0，且A，B，C不共线.=(-3

16、，-4)，=(c-3，2c-10)，0，且不共线，得c的取值范围是,【素养探】本例3中主要用到直观想象及逻辑推理的核心素养.1.在本例3中，若BAC为锐角，求实数c的取值范围.,【解析】要使BAC为锐角，由余弦定理得 且A，B，C不共线，25+(c-3)2+(2c-6-4)2-c2+(2c-6)20，解得c，故c.2.在本例3中，求 的最小值.,【解析】z1+z3=c+3+(2c-2)i，=(c+3)2+(2c-2)2=5c2-2c+13=5+，当c=时，取得最小值，即 的最小值为.,【类题通】求解关于复数模最值问题的两种方法(1)将z=x+yi(x，yR)直接代入所要求的式子中去，把所要求的

17、模用x，y的函数表示出来，转化为函数最值问题.(2)因为复数和图形有着密切的关系，可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值.,【习练破】1.(2019全国卷)设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1,【解析】选C.z=x+yi，z-i=x+(y-1)i，|z-i|=1，则x2+(y-1)2=1.故选C.,2.已知复数z=3+ai(aR)，且|z|4，求实数a的取值范围.,【解析】方法一：因为z=3+ai(aR)，所以|z|=，由已知得32+a2

18、42，所以a27，所以a(-，).,方法二：由|z|4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，由图可知-a.,【加练固】1.设(1+i)x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=()A.1B.C.D.2,【解析】选B.因为x+xi=1+yi，所以x=y=1，所以|x+yi|=|1+i|=.,2.已知复数z满足z+|z|=2+8i，求复数z.,【解析】方法一：设z=a+bi(a，bR)，则|z|=，代入原方程得a+bi+=2+8i，,根据复数相等的充要条件，得 解得 所以z=-15+8i.,方法二：由原方程得z=2-|z|+8i(*).因为|z|R，所以2-|z|为z的实部，故|z|=，即|z|2=4-4|z|+|z|2+64，得|z|=17.将|z|=17代入(*)式得z=-15+8i.,