矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析课件.ppt

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1、,4.5应用(一)45.1经济发展与环境污染的增长模型矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广而重要的应用.4.5和46两节就来介绍这方面的知识本节先来介绍下面的经济发展与环境污染的增长模型经济发展与环境污染的增长模型经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系,可建立如下数学模型,4.5应用(一)设x0,y分别为改地区目前的环境污染水平与经济发展水平,x,y分别为改地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平,且有如下关系2今xIA则上述关系的矩阵形式为A此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的

2、关系,4.5应用(一)则由上式得4C,=A022八1由此可预测该地区若千年后的环境污染水平和经济发展水平般地,若令x,y分别为该地区年后的环境污染水平与经济发展水平,则经济发展与环境污染的增长模型为x1=3x1+yy1=2x1+2,4.5应用(一)令y则上述关系的矩阵形式为Ac由此,有AAc=AAd=Acd=AdA,4.5应用(一)由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平.下面作进一步地讨论由矩阵4的特征多项式hE-Al=(-4)(-1)得A的特征值为A1=4,2=1对A1=4,解方程组(4E-AX=0得特征向量71,4.5应用(一)对A=1,解方程组E-A)X=0得特征向量2显然,

3、n,2线性无关下面分三种情况分析Case 1 ao=n,由(*)及特征值与特征向量的性质知,x1=A(0=Am1=A1n1=4,4.5应用(一)4或y4此式表明:在当前的环境污染水平和经济发展水平的前提下,t年后,当经济发展水平达到较高程度时,环境污染也保持着同步恶化趋势.晋职士最匹厚取#回軎懾厘:某拒妹士匪哑回軎,4.5应用(一)Casel ao=n22y=-20,不讨论此种悄泥Case3 aa不是特征值,不能类似分析但是a可以由7,n2唯一线性表出为0=3/71-272由(*)及特征值与特征向量的性质,4.5应用(一)a=Aa0=A(3m1-2n2)=3A71-2Am223元171-222=3.43.44+4即3.44+4x=3.4-2,y1=34+4由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平,4.5应用(一)72因无实际意义而在Case2中未个叶论,但在Case3的讨论中仍起到了重要作用由经济发展与环境污染的增长模型易见,特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用,