浅介数学解题课件.ppt

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1、淺介數學解題,左太政/高雄師範大學數學系,數學中的問題解決,問題,是數學的核心,學習數學就是學習如何解決問題,包括那些可以轉換成數學題的各類問題(即外在連結)。由於解題的態度和學習方法的不同,將影響其學習成效。,解題的各種歷程,觀察與發現臆測與歸納其規律性檢驗驗證,解題的各種方法,歸納演繹推理類比轉化一般化、特殊化模型化。,解題後的反思,一題多解引申與題組(改變條件)縱向及橫向的推廣,據媒體報導有關數學難題:已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。,參考解法,媒體報導某校國小六年級段考題,已知ABCD是一個長4公尺，寬2公尺的長方形，以B為圓心，為半徑畫一扇形ABE，以D為圓心，為半徑畫一

2、扇形ADF，試求塗色部分面積。,國小六年級段考題,在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積是50平方公分，求圓面積。,實作範例,試將下列表格分割成相同的四個部分，且使各部分空格內的整數之和都是34。,實作範例,下圖為一個直角梯形，試在此梯形的內部劃一條直線將此梯形分割成二個形狀相同且面積相等的圖形。,實作範例,下圖為一個正六邊形，試過一頂點再此正六邊形的內部化二條直線，將此正六邊形分割成三個面積相等的圖形並說明理由。,數學解題策略,瞭解問題-審查題意,發掘概念內涵;若題意不了解,不妨再閱讀二至三次,直至了解題意。,數學解題策略,擬定計畫-分析問題及產生聯想,尋求解題途徑(1)儘可能畫出圖形

3、或表格(2)檢查特例如令問題中整數取1,2,3,4,5等 代入,看看是否可歸納出規律來。(3)嘗試簡化問題如利用對稱性、採用不妨假設 而不失問題的一般討論方式。(4)保留任何解題的紀錄,以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。(5)將一個問題分成一系列子問題,數學解題策略,實行計畫-選擇策略及綜合運用知識去進行推理計算解決問題。,數學解題策略,回顧解答-驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題,自己修改原問題或推廣其結論,形成另一個問題,亦可考慮作為專題研究之題目。,3R解題策略(倒推法),解題活動先從題目待答或待證明的地方著手(Request),適時引進題目的已知條件及潛在的性質(R

4、esponse),最後導出結果(Result).這是所謂的3 R策略。,正整數與其數字之間的關係,應用問題,設 a,b,c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3185,試問這六個三位數中最大的是多少?(Ans:763),正整數與其數字的關係,設 a,b,c 為三個都不是零的數字,試問用 a,b,c 三個數字能組成若干個三位數？並說明這些三位數的和與 a,b,c 的關係。,參考解答,參考解答,設此三位數為 由上題及題意知，故滿足題意,練習題,設 a,b,c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3194,試問

5、這六個三位數中最大的是多少?(Ans:853),類題,114 這個數有一特點:將114 的各位數字的數字和乘以 19 就得到 114.試問是否還有這樣的三位數嗎?如果有,請找出所有這樣的三位數。你能否觀察出本問題何以需乘以 19?是否可以改為乘以其他數而有類似結果呢?,參考解答,設此三位數為 由上題及題意知，,整數與其數字的關係,試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的平方和加上 1,例如 及 等,是否還有其它解?只有此二解35,75,整數與其數字的關係,試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的三次方的和，例如 1=1,153=,370,371,407等五個數,是否

6、還有其它解?試說明理由。（難題）,數論:卡布列克怪數,卡布列克(L.D.Kaprekar,印度數學家)怪數是類似(30+25)=3025 這樣的數:即一個 2n 位數,把前 n 位數當作一個數加上這個數的後n 位數,它們之和的平方正好等於這個 2n 位數。試問四位數中有那些卡布列克怪數?類題:能否找出所有卡布列克怪數?,數論:卡布列克怪數,提示:四位數中共有三組解-即2025,3025,9801,巴納德找出:1,81,52881984,60481729,試問如何求出其他位數?例如:六位數只有兩個數:494209,998001.,卡布列克怪數,由題意知:引進未知數:(提示:共有三組解-2025,

7、3025,9801),猜年齡小明今年的年齡的三次方是一個四位數,而四次方正好是一個六位數,又這兩個數的所有數字正好是0,1,2,3,8,9這十個數字組成,試問小明今年幾歲?(提示:設今年年齡為 x 歲,則可求得 x=18,19,20,21,再求得 x=18.),邏輯思考,試問是否存在正整數n，使得n的每個位數的數字都相異，的每個位數的數字都相異，的每個位數的數字都相異，且所有數的數字正好是由 這十個數字所組成？試說明理由。提示:不可能,趣味數論,已知=0.1666,試求滿足條件=0.的所有異於零的數字 與 的值。答:,AMC 數學競賽範例,一個正整數正好等於其四個最小正因數的平方和。試問可以整

8、除該正整數的最大質數為何？答:13,台南市國中數學競賽,設 為正整數且滿足下列兩個條件：(1)恰有6個相異的正因數：(2)；試詳列出所有可能的 值。,趣味數論,能否將 1 到 27 這27個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?答:不可能;為什麼?,趣味數論,類題:能否將 1 到 20 這20個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?(適合學生共同討論解題)提示:可以辦到，是否有解題策略?能否推廣?,從一道競賽題談起,問題：三角形之三邊長為，其中.給定 值，試求滿足所有條件之所有可能的這樣之三角形個數，並求其規律。,般特殊化,:1,2,3,4,5,6,7,8,9:

9、1,2,4,6,9,12,16,20,25其中 表示最大邊長為 的相異三角形(全等三角型不計)個數,可歸納為：,（1）（2）的公式為,操作題,已知三個數,進行下面一次的操作:首先任取其中的二個數求其和，再除以；另外，求這二數的差再除以，而得到新的二個數。試問：能否經過若干次上述的操作，最後得到？試說明理由。,參考解答,設三數分別為,經過一次操作後得到新的三數:因為 即每操作一次，仍保持此三數的平方和不變。但，故不可能辦到。,代數題,已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是637,669,794,915,919,951,1040,1072,1197,試求原來的五個

10、數。,代數題,已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是637,669,794,915,919,951,1040,1072,1197,試求原來的五個數。(提示:這五個數中任意相異的二數相加的結果可能有十個數,由題意知有 9 種可能的和,因此這五個數必相異且有三個奇偶性質相同。由此可解得這五個數分別是 256,538,381,413,659),質數問題,對任意正整數，令 表示所有小於或等於 的質數中最大者，且 表示所有大於 的質數中最小者，試求:的值。,參考解答,設p,q 為二連續質數，且pq.又2003與2011為二連續質數，因此,翻杯子或硬幣問題(專題研究題材)

11、,主題:翻杯子問題,有 7 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。(1)規定每一次運動時，正好翻動其中任意四個，試問經過若干次 運動後，全部杯口是否都會朝下?(2)同上，規定每一次運動時，正好翻動其中任意六個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下?,主題:翻杯子問題,有 8 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意七個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?如何推廣上述問題?即什麼情形下可以做到,什麼情形下不可以做到?,翻動紙杯(硬幣)問題,推廣:如果有 n個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意k個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?,翻

12、動紙杯(硬幣)問題,如果有 n個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意k個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?除了n為奇數，k為偶數外其餘皆可辦到。提問:如果可以完成，試問至少翻動幾次?,。,由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?,組合題型分油問題,範例:日本分油的問題,1628年首次在毛利重能的割算書中提出分油問題:油桶中裝滿油一斗(十公升)，今另有七公升及三公升的容器二個，試問如何使用此三個容器將十公升的油平分成各五公升?,參考解法,10 7 3(1)10 0 0(2)7 0 3(3)7 3 0(4)4 3 3(5)4 6 0(6)1 6 3(7)1 7 2

13、(8)8 0 2(9)8 2 0(10)5 2 3(11)5 5 0,提問,是否有其他倒法?至少需幾個步驟可完成?能否到出容量分別為1,2,3,9公升的油?,三容器問題:1612年Bachet 的著作,設有三個沒有刻度的容器,其容量分別為 3 公升,5 公升,及 8公升,現在只有 8 公升容器中已裝滿了純水,請利用這三個容器進行操作(可以將一個容器中的純水倒到另一個或二個容器中),是否可以使得其中某一個容器中的純水恰為 4 公升?如果可以,請列出操作過程並說明之。如果不可以,請說明理由。,參考解法,8 5 3(1)5 0 3(2)5 3 0(3)2 3 3(4)2 5 1(5)7 0 1(6)

14、7 1 0(7)4 1 3(8)4 4 0,容量問題,承上題(只有 8 公升容器中裝滿了水),試利用上述三個容器能否量出 1 至 7 公升的各個容量,請分別寫出可以量出和無法量出的容量。承上題，三個沒有刻度的容器,其容量分別為 a公升,b公升,及c公升(只有a公升容器中裝滿了水),，請討論可能量出的情形。參考網站:www.cut-the-knot.org/content.html,由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?即藉由a,b,c之關係討論如何做平分a 的容量?,範例、分組問題,從鐘面數談起-將整數分組的概念,問題：已知鐘面上有 12 個數分別為 1,2,3,12.今將這些數中間用加號或

15、減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？共有幾種不同填法？思考:可先考慮正負號個數相同。提問:是否一定要正負號個數一樣?,從鐘面數談起-將整數分組的概念,問題：試求所有可能正整數n使得1,n能被分成三組且每組之數的和相同?思考:可先考慮三組個數相同。,問題之延伸,如何推廣上述問題?,從鐘面數談起-將整數分組的概念,將 這些數中間用加號或減號連起來，試問其結果為最小的非負正整數為多少？Ans:1,利用平方差公式,分析,如若將連續兩數之平方相減，則可得到差為兩數之和，其與下一組的差為4，如此一來，共可得到4,4,4,4,4,4,4,1，共501個4，和1個1，使其兩兩為一組，其差為0，而最後相減之

16、後可得到一數為3，但此並非最小，故需將最後10組中的4提出來，使之變成4+4+4+4-9-5-1,類題,將 這些數中間用加號或減號連起來，試問其結果為最小的非負正整數為多少？,從鐘面數談起-將整數分組的概念,已知有 128 個數分別為 今將這些數分為四組,使每組皆有 32 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?,參考解法(分組方式),A B C D,設四個常數項分別為a,b,c,d,A 組 B 組 C 組 D 組:a b c dd a b c c d a b b c d a至少需64個數即可完成要求,從鐘面數談起-將整數分組的概念,類題:已知有 81 個數分別為 今將這些數分為三組,使每組

17、皆有 27 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?,從鐘面數談起-將整數分組的概念,推廣已知有m 個數分別為 今將這m些數分為n 組,其中n 為m之因數,使每組皆有 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法？,分組類題,設、為互斥的二集合，使得 1,2,3,10且中所有數之乘積，正好等於中所有數之和，試求、。,參考解答,A,B共有三種情形:A=1,2,3,4,5,7,8,9,10，B=6,7A=1,2,3,5,6,7,8,9、B=1,4,10 A=4,5,6,8,9,10，B=1,2,3,7,由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?,圖解法(proof without words),一題多

18、解,如圖，試求 的度數。,參考解答一(利用三角函數),參考解答二,有趣的問題,在正方形 中，為內部一點，使得，試求 及。,參考解法,創意思考題:綁鞋帶問題,下列三個圖形表示不同的綁鞋方式，如果前端二孔突出的鞋帶長不計，試問何種綁法需要最長的鞋帶?何者最短呢?,參考解法:利用勾股定理及鏡射,結論:,如果 時，American型最短，European型次之,shoe store型最長。如果 時,American型最短，但 European型和 shoe-store型等長,問題:如果一隻鞋子上有n對孔，且上下相鄰二孔距離為d單位，左右相鄰二孔距離為g單位，試分別求此三種綁法所需鞋帶長。,提示:Ame

19、rican:European:Shoe store:,類題:,三角板趣題,一套三角板裡有二個不同度數的三角板:一個三角板的三內角分別是另一個三角板的三內角分別是試問使用此二個三角板上的內角能畫出多少個不同角度的角來?,三角板趣題,試問如何作一個正方形使其面積正好等於此二個三角板的面積和？如何用一付三角板求 和 的三角函數值？註：如何發展成獨立研究題材,轉化範例,設 都是正數，試證：必存在以三數,為三角形的三邊長，並求此三角形的面積。,思考策略,轉化成幾何問題構造以a+b 及c+d 為邊長的長方形觀察此三數所代表的長度,如圖，三角形的三邊長為,範例:數學歸納法之應用,試証：任意 個正方形，經過適

20、當的切割（只能用圓規、直尺和剪刀）後，必可重拼成一個大正方形。（參考解答）利用數學歸納法，,(1)若二個正方形大小相同：,(2)若二個正方形大小不同：,.,（逆命題）一個大正方形是否可切成個小正方形？（不能拼）才可以 Prove!多3個,解：,回目錄,費伯納希數列,從一則題目談數列,一個21的長方形骨牌是將兩個正方形以邊對邊的方式相連接。我們打算用八片骨牌舖滿28的棋盤，每片骨牌可以水平或垂直的方式放置，如圖:試問共有多少種不同的舖蓋方式？,費伯納希數列,費伯納希（Fibonacci,1170-1250,Italy）於1202年提出此數列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,問題:

21、設有十級階梯(自樓板面算起),今要求上樓時每一步走一階或二階,試問共有少種不同的上樓方式?如何推廣其結果?,費伯納希數列,設有大小形狀都相同的一堆硬幣,今打算將這些硬幣依下列規則來排列成若干橫排:(1)每一橫排中的所有硬幣必須彼此相切(即 外切);(2)除最底部的一列外,每一橫排中的任何一個硬幣必須與下一排的兩個硬幣相切(即上一排中硬幣的個數少於下一排硬幣的個數)。設 表示 個硬幣所有可能排法的個數,試求.並問如何推廣上述結果?,費伯納希數列,同上題,設 表示將若干個硬幣依上題規則排列之所有可能排法的個數,但最底部的一列必須是個硬幣,試求;並觀察 與 的關係。如何推廣上述結果?,推廣,試找出所

22、有可能實數數列 使其滿足遞迴關係式：其中 這是一個極複雜的問題。,費伯納希數列的一般項,Fibonacci 數列的第 項為:.(本公式最早由Euler在1765年發表，其後在1843年由Binet再重整理發表。)試證:為正整數,.同時,試證：.,Lucas 數列,Lucas 數列的第 項為:.試證:為正整數,.,填數遊戲,將1.29這9個數，填入三階魔方陣的九個空格內；每個空格只能填一個數(不能重覆)，使得每一橫列、每一直行上的數相加，其和為質數。試找出滿足這樣條件的所有可能的不同填法。,參考解法,類題,(承上題)試證：不可能有三階魔方陣滿足每一橫列、每一直行及二條對角線上的數相加，其和都為質

23、數。,填充題(96年城市盃初賽),設 為正整數，且，若，則=_,參考解法,解法一:利用因式分解法，化簡得,參考解法,解法二:利用單位分數的分解，化簡得,填充題2.,計算:之值(請將結果化成最簡分數)=_,參考解法,特殊一般化，令,填充題3.,明華用計算器求三個正整數a,b,c的運算式。他依次按了a,b,c,=，得到數值11。而當他依次按a,c,+,b,=時，驚訝地發現得到數值是13。這時他才明白計算器是先做乘法再做加法的，於是他依次按a,(,b,c,),=而得到了正確的結果。這個正確結果是 _,參考解法,由題意知欲求 之值，可將上二是相加得解之得 註:亦可求出 之值,填充題4.,右圖中，若P在

24、BC邊上，且，則(斜線部分面積):(面積)=_ B,填充題5.,已知正整數n恰好是二個連續正整數之和，且正好也是三個連續正整數之和。試問自1至2007這2007個數中滿足這樣條件的n值共有_個。,參考解法,由於 是二個連續正整數之和，所以 必為奇數。又 也是三個連續正整數之和，所以 必為3的倍數；因此 必為6k+3的形式。故共有334個正整數滿足。,填充題6.,如圖，半徑為3的大圓內部正好放置七個大小都相等的小圓，彼此相切，則陰影部份的面積等於_。,參考解法,先求出三個小圓相切之一空隙的面積，即 因此陰影部份的面積為,填充題7.,設 為整數使得 是 的倍數，則滿足這樣條件的 值共有_個,參考解

25、法,因為 所以 必整除19，故n=-22,-4,-2,16共四個數。註:部分同學只做 n為正整數,填充題8.,已知 則=_。,填充題9.,如下圖所示，正方形ABCD的邊長為10，點E、F分別為邊AB、AD 的中點，點G是CF上的一點，使得7CG 3 GF，則 面積等於_。,填充題10.,已知實數x，y滿足，則 的值等於_。,填充題11.,如圖，為正三角形，其內切圓(即最小圓)的半徑為1公分，點 為 的中點，且 為長方形，那麼長方形 的外接圓之面積為_平方公分。,參考解法,所以外接圓的半徑為故面積為,填充題12.,如果邊長分別為25,39,52及60的四邊形內接於一圓，則此圓的圓周長為 _。,參

26、考解法,設此四邊形 中，因為 所以 為此圓的直徑，且，故圓的周長為。,計算證明題一、,現有四種郵票，面值分別為1元、2元、3元、5元，已知這些郵票總值為 400 元；試問可不可以用這些郵票去湊出總值為300元的郵票？如果可以，則請證明之，如果不可以，則請說明之。,參考解法,將所有郵票分成四組：令A組為1元的郵票 B組為2元的郵票 C組為3元的郵票 D組為5元的郵票這四組中一定有一組的郵票總值為最多，由於共有400元，故郵票面值最多一組其總值不少於100元分成A，B，D及C兩種來討論：,參考解法,(I)假設總值最多的一組發生在A組，或B組或D組之中的一組，則由於1，2，5都是100元的因數，因此

27、利用這組的郵票必可湊出100元，那麼剩下的郵票便是面值為300元,參考解法,(II)如果總值最多的一組發生在C組，則C組的郵票總值不少於100元，那麼從C組取出90元或96元或99元的郵票，然後再湊上5元兩張，或2元2張或1元1張，即可湊得100元，也就是可得到300元的郵票面值假設没有2張5元，2張2元，即B組和D組不會多於1張，又没有1元的郵票，那麼應該有不少於(400-5-2)3=131張的3元郵票，於是可以取出100張3元的郵票，即可獲得300元的面值,計算證明題二、,如果選取四個正整數 和，其中 並使得 試問有多少種選取方法，並寫出 的可能的值分別是多少。,參考解法,利用不等式及，得

28、有6種選取方法(a,b,c,d)=(2,3,9,18)，(2,3,8,24)，(2,3,10,15)，(2,3,7,42)，(2,4,6,12)，(2,4,5,10)、(只宣佈6種給5分；每列出一組正確答案給3分，每列出一組錯誤答案倒扣3分，直到0分為止，全對給20分),本提條件改變,如果將條件改變為:,計算證明題三、,已知正整數a為四位數，將a的四個數字重新排列組成另一個四位數b使得 b=3a，試求滿足這樣條件之最小的b值。(首位數字不能為零）,參考解法,，的數字和可被3整除，的數字和亦可被3整除，因此 的數字和可被9整除，的數字和亦可被9整除，（因此）四位數中9的倍數最小為1008，所以。

29、,練習題,能否求出最大的b値?,隊際賽,題一,若 的整數部分是a，小數部分是b，已知m為自然數且ma+的整數部分 是 2007,請問m 的值為何？,參考解法,由 3 2，的整數部分是a=2，小數部分是b=-2，(給10分)其整數部分是11。(給10分)ma+11=2007，可得m=998。(給10分),題二,政府打算開放13個大城市的長途巴士路權，每家巴士公司限定在4個城市之間相互對開班車。政府希望全部13個城市之間都至少有一直達的巴士營運，請問政府至少要批准幾家公司的路權？請說明分配的方法。(任兩個城市之間允許超過兩家巴士公司對開班車)。,參考解法,因，78613，所以至少13家。(給10分

30、)所有的路線即為正十三邊形所有的邊與對角線，讓第一家給如圖的路權，第二家順時針轉，即可分配完所有的路權，即依照(1,2,5,7),(2,3,6,8),(3,4,7,9),(4,5,8,10),(5,6,9,11),(6,7,10,12),(7,8,11,13),(8,9,12,1),(9,10,13,2),(10,11,1,3),(11,12,2,4),(12,13,3,5),(13,1,4,6)分配即可不重複地填滿正十三邊形所有的邊與對角線。(給20分),題三,有一張長方形的紙張，在每個小方格內寫上一個數字（如下圖所示）。能否將其摺疊成其八分之一大小的長方形，並使數字保持1到8的順序？如果能

31、，如何摺？,參考解法,將右半部4格往左半部摺疊使4在1上方、5在2上方、7在8上方、6在3上方。將下半部往上摺疊使5在4上方、6在7上方。將左半部中間4、5兩格往右半部3、6之間摺入使4在3下方、5在6上方。將左半部往右半部摺疊使2在3上方。(給出正確的摺法或摺好之整疊紙樣本才給30分，其他情況均為0分),題四,已知直角等腰三角形ABC中,A為直角,D是線段AC的中點,AE垂直BD，AE的延長線交BC於點F,求證 ADB=FDC。,關鍵點:,先證明:直線 和 重合再證明:直線 和 重合,參考解法,用對稱圖形法，先做一個直角等腰三角形ABC，A=90。令D為AC的中點，作AD，因為點O為正方形A

32、BAC對角線交點，點O是AA的中點。AED=BAD=90，BDA=EDA，因此EAD=DBA，(給10分)所以直線AF與直線AD重合，點F是三角形CAA 的重心。即與AE的延長線交於線段BC上(即F點)，(給10分)三角形ADC全等於三角形BAD。因此，ADB=CDA=FDC(給10分),特殊與一般的轉化:數學新知,The Largest Known Primes News note:GIPMS the 44th known Mersenne!為9,808,358位數，the 44th known Mersenne!Announced September 4,2006.參考網址http:/primes.utm.edu/largest.html,特殊與一般的轉化:數學新知,試問:的個位數字及末位位數為何？,問題,試問232582657是否為質數?,特殊與一般的轉化,若 為質數，則 必為質數。(利用反證法),參考解法,假設 為合數，令 為合數，與題意不合。,