线性代数课件：矩阵-第2节--矩阵的运算及性质.ppt

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1、加法,数乘,乘法,转置,行列式,第 2.2 节 矩阵的运算及性质,定义2.2.1 矩阵 A=(aij)mn 与 B=(bij)pq 如,与,当 a=3,b=-1,c=4,d=2,e=-5,f=6 时,它们相等.,则称矩阵 A 和矩阵 B 相等,记为 A=B.,例如,aij=bij,i=1,2,m;j=1,2,n.,B=(bij)mn,如果对应元素相等,即,定义2.2.2 两个同型矩阵 A=(aij)mn 与,果满足m=p 且 n=q,则称这两个矩阵为同型矩阵.,1.定义 定义 2.2.3 设 A(aij)mn 与 B(bij)mn,A-B=A+(-B).,阵.,显然有 A+(-A)=O.,由此

2、可定义矩阵的差为,若记-A=(-aij),则称-A 为矩阵 A 的负矩,为矩阵 A 与矩阵 B 的和，记为 AB,是两个同型矩阵，称 mn 矩阵 C(aij+bij)mn,2.2.1 矩阵的加法,2.运算规律 设 A,B,C 为同型矩阵,则(1)A+B=B+A(加法交换律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);(3)A+O=O+A=A,(4)A+(-A)=O.,其中 O 是与 A 同型矩阵;,例1 设,(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因;(2)求 C 的负矩阵.,1.定义 定义 2.2.4 设 A=(aij)mn,k 是一个数,为数

3、k 与矩阵 A 的数量乘积,简称数乘,记为 kA.,则称矩阵,2.2.2 数与矩阵相乘,2.运算规律 设 A,B 为同型矩阵,k,l 为常数，则,(1)1A=A;(2)k(lA)=(kl)A;(3)k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.,矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的,线性运算.,例2 设,且,求矩阵 X.,2.2.3 矩阵的乘法,1.引例,2.定义 定义 2.2.5 设矩阵 A=(aij)mp,B=(bij)pn,i=1,2,m;j=1,2,n,则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积,记作 C=AB.,cij=ai1b1j+ai2b2j+aipbpj,C=(

4、cij)mn,其中,注意:只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第,二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.,可用以下示意图帮助我们记忆矩阵的乘法：,例1 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.,例2 利用下列模型验证单位矩阵的性质.,例3 已知,求 AB.,例4 求矩阵,的乘积 AB 及 BA.,3.运算规律(1)OkmAmp=Okp,AmpOpn=Omn;(2)设 A 是 m n 矩阵,Em 是 m 阶的单位矩,(5)k(AB)=(kA)B=A(kB).,(B+C)A=BA+CA;,(3)(AB)C=A(BC);(4)A(B+C)=AB+AC,EmA=A,AEn=A;,阵,En 是 n 阶的

5、单位矩阵,则,关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.,左乘 B”或“B 右乘 A”.,作乘法时,应指明它们相乘的次序.,如 AB 读作“A,中AB和BA 虽然都有定义,但 AB BA.,所以,在,使AB与BA 都有定义,它们也不一定相等.,的矩阵A 和 B,AB 有定义,但 BA 就没有定义.,即,AB 有定义,BA不一定有定义.,中,如,如,(3)矩阵的乘法不满足消去律,即如果,但 A C.,例如,AB=CB,B O,不一定能推出 A=C.,(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.,例如 本节,中 A 0,B 0,但 BA=0.,如果 A 是 n 阶矩阵,那么

6、,AA 有意义,也有意义,因此有下述定义:,另外还规定，,0=E.,m 个相乘称为 的 m 次幂，记为 m,即,定义2.2.6 设 A 是 n 阶矩阵,m 是正整数,设 A 为方阵,k,l 为正整数,则,阶方阵 A 与 B,一般来说(AB)k AkBk.,又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个 n,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.,例5 设,计算 An.,例6 设,计算 A2,A3,An(n3).,例7（材料供应）万成建筑公司承包一住,宅小区的6栋A类住房、5栋B类住房、3栋C类住房,的基建任务，各类住房每栋所需的主要原材料及其,单价如表2.2所示,利用矩阵计算：,（1）完成这些基

7、建任务所需各种主要原材,料的数量；,（2）购买这些原材料共需支付多少款项？,2.2.4矩阵的转置,1.定义 定义2.2.7 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到,例如矩阵,的转置矩阵为,一个新矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 AT 或 A.,2.运算规律 设 A，B，C，A1，A2，Ak 是矩阵，且,(A1A2Ak)T=AkTA2TA1T;,(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;,则,它们的行数与列数使相应的运算有定义，k 是数，,例8 已知,求(AB)T.,2.2.5 方阵的行列式,1.定义,定义 2.2.8 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行,列式(各元素的位置不变),叫做方阵 A 的行列式,记作|A|或 det A.,2.运算规律,定理2.2.1 设 A,B 为 n 阶方阵,为数,则有,(1)|AT|=|A|;,(2)|A|=n|A|;,(3)|AB|=|A|B|.,例9 设,验证 det(AB)=det A det B.,例10 设,求 det(AB);det(A+B);det A+det B;det(3A).,例11 设 A 是 n 阶方阵，且满足 AAT=E，,det A=-1，证明 det(E+A)=0,