第四章留数定理及其应用课件.ppt

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1、第四章 留数定理及其应用,4.1 留数定理,留数定理1：D为有界区域，为其分段光滑的边界，f(z)在D内除孤立奇点z=zk,k=1(1)n外解析，上除zk外连续，则 其中Res f(zk)表示函数f(z)在点z=zk邻域洛朗展开式中负一次幂项系数，成为函数f(z)在孤立奇点zk处的留数(residue),证明的基本思想：利用解析函数的积分特征和级数特征使用Cauchy定理改变积分路线利用Laurent展开来计算积分,证：由Cauchy第二定理，有利用zk邻域的Laurent展开式，有,定义,留数定理2：D为无界区域，为其分段光滑的边界，f(z)在D内除孤立奇点z=zk（有限）,k=1(1)n和

2、zn+1=外解析，上除zk外连续，则,证：,几点说明：即使z=是可去奇点（或解析点）Resf()也可能不为零留数定理1和2合起来叙述：沿有限长边界正向积分=2pi(其内所有孤立奇点的留数和)函数f(z)在全复平面所有奇点的留数之和为零,留数计算：基本方法：计算积分求孤立奇点邻域Laurent展开负一次幂项系数,特殊方法：线性性质有限（m阶）极点处留数无穷远孤立奇点处留数（非本性奇点）,证：设 z0 是 f(z)的 m 阶极点 z0是 f(z)的 m 阶极点,求 m-1 阶导数：,一阶极点,在z=z0 解析，且,z0是 的一阶零点,证：设 是 f(z)的 m 阶极点,例1 求 在 处的留数,例2

3、 求 在其奇点处的留数 其极点为,例3 求 在其奇点处的留数。单极点 2i，三阶极点0,例4 求函数 在所有有限孤立奇点和无穷远点处的留数,例5 求积分,O,x,y,1,i,z1,z2,4.2 定积分计算,问题的提出：处理问题的基本思想：用留数定理计算积分变换：,变换：积分曲线变换（自变量变换）被积函数和积分曲线同时变换 辅助函数和辅助闭曲线,类型I 三角函数的有理式积分,如果令 z=eix,则积分路径变成单位圆的围道积分。,因为 原积分变成,例1 求积分,例2 求积分 被积函数有单极点,积分的柯西主值：一般广义积分定义为当 R1=R2 时，称为 I 的积分主值一般，积分主值存在，不一定反常积

4、分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！,类型II 无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数 f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点 zk,k=1(1)n 外解析；当 z 在上半平面和实轴上时，一致地 zf(z)0；,类型II 无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数 f(z)在实轴上无奇点，在下半平面除有限个奇点 zk,k=1(1)n 外解析；当 z 在下半平面和实轴上时，一致地 zf(z)0；,例3 求积分,例4 求积分,类型III 无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数 f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n 外解析；当 z 在

5、上半平面和实轴上时，一致地 f(z)0；,约当(Jordan)引理：,一致地,如果 m0,应改为下半平面计算,例5 求积分,例6 求积分,类型IV 无穷限和无穷值混合广义积分积分区间是(-,+);复变函数 f(z)在实轴上有有限个单极点xj,j=1(1)N，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n 外解析；当 z 在上半平面和实轴上时，一致地 zf(z)0；,例7 求积分,小结,留数定理柯西定理的特殊情况积分回路所围区域中只有被积函数的孤立奇点通过留数定理计算定积分将积分计算转化为孤立奇点处留数的计算本章基本要求：了解留数的意义，熟练掌握留数的求法熟练掌握利用留数定理计算实自变量函数的定积分的方法,