第一节--平面点集与多元函数课件.ppt

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1、1 平面点集与多元函数,2 二元函数的极限,3 二元函数的连续,第十六章 多元函数的极限与连续,第十六章 多元函数的极限与连续,1 平面点集与多元函数,一、平面点集,坐标平面上满足某种条件,的点的集合，称为平面点集，并记作,常见平面点集,全平面,和半平面,1.邻域:,以点 X0=(x0,y0)为中心,以 为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.,即,记(X0,)=U(X0,)X0,称为 X0 的去心 邻域.,如图,特殊的平面点集,U(X0,),(X0,),当不关心邻域半径时,简记为U(X0)和(X0).,空心方邻域与集,方邻域,圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域,的区别,2.内点:,设 E

2、 是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在邻域 U(X0,)E,则称 X0 为 E 的内点.,E 的全体内点所成集合称为 E 的内部,记为,D=(x,y)|x2+y2 1,如图,易知,圆内部的每一点都是 D 的内点.但圆周上的点不是 D 的内点.,又如 z=ln(x+y)的定义域 D=(x,y)|x+y 0,易见,直线上方每一点都是D的内点.,但直线上的点不是D的内点.,若存在点,的某邻域,使得,则称,是集合,的外点,3.边界点:,设 E 是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若 X0的任何邻域 U(X0,)内既有属于 E 的点,又有不属于 E的点,则称 X0 为 E 的边界点

3、.,E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界.记作 E.,如,例1中定义域 D 的边界是直线 x+y=0 上点的全体.例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2+y2=1上的点的全体.如图,D,E 的边界点可以是 E 中的点,也可以不是 E 中的点.,4.开集,设 E 是一平面点集,若 E 中每一点都是 E 的内点.,即 E int E,则称 E 是一个开集.,由于总有 int E E,因此,E int E E=int E,故也可说,比如,例1中 D 是开集,(D=int D),而例2中 D 不是开集.,规定,R2为开集.,若E=int E,则称 E 是一个开集.,又比如,E 如图,若 E 不包

4、含边界,则 E 为开集.,若 E 包含边界,则 E 不是开集.,结论:非空平面点集 E 为开集的充要条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点.即 E 不含有 E 的边界点.,证:,必要性.设 E 为开集,X E,由开集定义知 X 为 E 的内点.故 X 不是 E 的边界点.,充分性.若 E 中每一点都不是 E 的边界点.,要证 E 为开集.,X E,由于 X 不是 E 的边界点.,故必存在X的一个邻域U(X,),在这个邻域 U(X,)内或者全是 E 中的点.或者全都不是 E 中的点,两者必居其一.,由于X E,故后一情形不会发生.,因此,U(X,)内必全是 E 中的点.故 X int E,即,

5、E int E,所以 E 是开集.,5.连通集,设 E 是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来,则称 E 为连通集.,如图,X,Y,E 连通,从几何上看,所谓 E 是连通集,是指 E 是连成一片的.E 中的点都可用折线连接.,例1,2中的 D 都是连通集.,如图,6.开区域(开域),设 E 是一平面点集.,比如,例1中 D 是开区域.,如图.,从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.,若 E 是连通的非空开集,则称 E 是开区域.,7.闭区域(闭域),若 E 是开域,记,称为闭区域.,如图.,易见,例2中的 D 是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一

6、片的.包括边界的平面点集.,(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.,易见,例1中 D 是无界集,它是无界开区域,而例2中 D 是有界集,它是有界闭区域.,若存在 r 0,使 E U(O,r),则称 E 为有界集.否则称 E 为无界集.,8.设,9.聚点.,设 E 是平面点集,X0 是平面上一个点.若X0的任一邻域内总有无限多个点属于 E.则称 X0 是E 的一个聚点.,从几何上看,所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即,在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.,如图,1.聚点定义也可叙述为:若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于 X0 的点.则

7、称 X0 为 E 的 一个聚点.(自证).,2.E 的聚点 X0可能属于 E,也可能不属于E.,3.E 的内点一定是 E 的聚点.,4.若 E 是开区域.则 E 中每一点都是 E 的聚点.,即,区域中的任一点都是该区域,的聚点.,定义,若存在,使得,则称点,是,的孤立点.孤立点必为界点.,邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到 4 维以上的空间中去,但不再有几何意义.,（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,点集

8、的直径,两点的距离,（或,）,并有三角不等式,同时也有如下三角形不等式，即对,上任何三点,和,都有,例2 证明：对任何,恒为闭集,证明 设,为,的任一聚点，要证,.由聚点的定义，对任给,，存在,.又,是,的界点，所以对任意,，由于,上既有,的点，又有非,的点，于是,上既有,的点，又有非,的点，由,的任意性，推知,是,的界点，即,，这就证明了,为闭集.,二,中的完备性定理,1 点列的极限,设,为平面点列，,为一固定,，存在正整数,，使,时，有,则称点列,收敛于点,记作,或,点.若对任给的正数,得当,设,则,同样的，当以,表示点,与,的距离时，,也就等价于,2 柯西收敛准则,定理16.1（柯西准则

9、）平面点列,收敛的充要条件是：对任意,，存在,当,时，对一切正整数,都有,定理16.2(闭域套定理)设,是,1),2),则存在唯一点,3 闭域套定理,中的闭域列，满足：,4 聚点原理,定理16.3（聚点原理）设,为有界,在,中至少有一个聚点.,无限点集，则,推论：有界无限点列,必存在收敛子列,5 有限覆盖定理,定理16.4（有限覆盖定理）设,为有界闭域，,为一开域族，它们覆盖,（即,），则在,中必存在有限个开域,，它们同样覆盖,（即,）,三 二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,函数的两个要素:,定义域、对应法则.,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意

10、义的一切点集.,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,例6,是定义在,上的函数，值域是全体非负整数,若二元函数的值域是有界集，则称该函数为有界函数；若值域是无界集，则称该函数为无界函数.,元函数,四,所有,个有序数组,的全体称为,维向量空间，简称,维空间，记作,其中每个有序实数组,称为,中的一个点，,个实数,是这个点,的坐标,设,是,的一个子集，,是实数集，,是一个规律，如果对,中的每一点,，通过规律,，在,中有唯一的一个,与此对应，则称,是定义在,上的一个,元函数，它在的,，并记此值为,即,函数值是,小结,作业：P92 1,2，3,4,5,6,7.,一、平面点集,三、二元函数的定义,二,中的完备性定理,元函数,四,