第6章-线性变换和特征值课件.ppt
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1、第六章 线性变换和特征值,6.1 n维空间的线性变换6.2 方阵的特征值和特征向量 6.3 相似矩阵与矩阵的对角化 6.4 实对称矩阵的对角化 6.5 二次型及其标准形 6.6 奇异值分解简介 6.7 应用实例 6.8 习题,6.1 n维空间的线性变换,定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x,按照一定的对应法则T,总有Y中一个确定的元素y与之对应,则称 T 为从集合X到集合Y的映射,记为 或,称y是X在映射T下的像,x是y在 映射T下的源,X称为映射T的源集,像的全体所构成的集合称为像集,记作。,定义6.2 设 是实数域上的向量空间,T是一个从 到 的映射,若映射T满
2、足 1)2)则称T为从 到 的线性映射,或称线性变换。线性映射就是保持线性组合的映射。,例6.1 试证所有矩阵相乘的关系式 即 都是 的线性映射。证:利用矩阵的数乘及乘法运算,是 的映射。显然有 及 即T是 的线性映射。,例6.2 向量空间V中的恒等变换 是线性变换。证明:设,则有 所以恒等变换E是线性变换。,6.2 方阵的特征值和特征向量,6.2.1 特征值和特征向量的定义和计算 定义6.3 设 是 阶方阵,若存在数 和 维非零列向量,使得(6-1)成立,则称数 为方阵A的特征值,称非零向量 为方阵A对应于特征值 的特征向量。将(6-1)式变形为(或)(6-2),满足这个方程的 和 就是我们
3、要求的特征值和特征向量。(6-2)式是含个 方程的 元齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是(6-3)记作(6-4)称 为方阵A的特征多项式,方程 称为方阵A的特征方程,特征值即为特征方程的根。由于 是 的 次多项式,所以方程 在复数域内有 个根(重根按重数计算)。,矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤:第一步:求特征值。先通过行列式(6-4)的计算,写出其特征多项式,这一步的难度是计算一个高阶的矩阵的行列式,需要很大的计算工作量;第二步:并进行因式分解 然后求出特征方程 的全部根 这就是A的所有特征值;第三步:把每个特征值 分别代入方程,求齐次线性方程组 的非零解,它就是A对应于特征值 的一个
4、特征向量(不是惟一的)。,例6.4 求矩阵 的特征值和特征向量。解:A的特征多项式 所以A的全部特征值为 对于特征值 解齐次线性方程组,即 可得它的一个基础解系,所以 都不为 零)是A对应于特征值 的全部特征向量。对于特征值,解齐次线性方程组,得它的一个基础解系,所以 是A对应于特征值8的全部特征向量。,6.2.2 方阵的特征值和特征向量的性质 性质1 阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特征值。性质2 设 是矩阵A的 个特征值,则 1)2)称 为矩阵A的迹,记为,性质3 设 为方阵A的特征值,则 1)当A可逆时,是 的特征值 2)是A的伴随矩阵 的特征值 3)是 的特征值;进而有矩阵A的 次多项式
5、的特征值为,例6.5 设矩阵 1)求及的特征值;2)进一步求矩阵的特征值。解:1)由A的特征方程 可得A的全部特征值为1,2,-1。的特征值为,即-2,13,-8。,2)解法1:先计算,令,求出特征方程 的根即可。解法2:因为 所以A可逆,为对应于A的特征值 的特征向量,则 又 所以 从而矩阵 的特征值为,即,定理6.1 设 为方阵A的互不相同的特征值,分别为对应于特征值 的特征向量,则 线性无关。推论 矩阵A的 个互不相同特征值所对应的 组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。,6.2.3 特征值和特征向量的MATLAB求法 MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征向量各步骤的函数。
6、这三个步骤是:(1)用f=poly(A)可以计算方阵A的特征多项式系数向量f;(2)用lamda=roots(f)可以求特征多项式f的全部根lamda(表示为列向量);(3)用函数p=null(lamda*I-A)直接给出基础解p,将n个特征列向量p排在一起,就是的特征向量矩阵。,取例6.4为典型,解题的程序ea604为 A=3,2,4;2,0,2;4,2,3;f=poly(A),r=roots(f),r=real(r)B1=r(1)*eye(3)-A;B1=rref(B1,1e-12),p1=null(B1,r)B2=r(2)*eye(3)-A;p2=null(B2,r)B3=r(3)*ey
7、e(3)-A;p3=null(B3,r),程序运行的结果为:f=1.0000-6.0000-15.0000-8.0000(特征多项式系数向量)r=8.0000(三个特征根即特征值,后两个是重根)-1.0000+0.0000i(微小虚数可用r=real(r)去除)-1.0000-0.0000i,实际上MATLAB已经把求特征根和特征向量的步骤集成化,其中也包括了处理计算误差的功能,所以一条命令就解决问题了。这个功能强大的子程序名为eig(特征值英文是eigenvalue,特征向量英文是eigenvector),调用的形式是:p,lamda=eig(A)输出变元中的lamda是特征值,p是特征向量
8、。把例6.4的系数矩阵A代入,即可得到:,6.3 相似矩阵与矩阵的对角化,定义6.4 设A和B是 阶方阵,若存在可逆矩阵P,使得,则称矩阵A与B相似,把A变成 的变换称为相似变换,可逆矩阵P被称为把A变成B的相似变换矩阵。相似矩阵具有以下性质。设矩阵A与B相似 1)2),3)A与B的迹相同 4)若A可逆,则B必可逆,且 也相似 定理6.2 设矩阵A与B相似,则它们的特征多项式相同,从而有相同的特征值.推论 若 阶方阵A与对角矩阵 相似,则 是矩阵A的全部特征值。此时,必存在可逆矩阵P,使得,称为把矩阵A对角化,也称矩阵A可对角化。,定理6.3 阶方阵A可对角化的充分必要条件A是有 个线性无关的
9、特征向量。证明:必要性 设 阶方阵A可对角化,则存在可逆矩阵 使,从而 即 于是有,所以 是方阵A的特征值,是对应于特征值 的特征向量。由于矩阵P可逆,det(P)0,必线性无关。,充分性 设 是A的 个特征值,是与之对应的 个线性无关的特征向量,令,则有 即 所以方阵A可对角化。推论 若 阶方阵A的特征值互不相同,则方阵A一定可对角化。,例6.7 判断矩阵 能否对角化?解:由 得A的特 征值为 求得 对应的特征向量,再求 对应的特征向量。把 作行阶梯变换,得到 相当于方程组 它只有一个线性无 关的特征向量,即A总共只有两个线性无关的特征向量,所以A不能对角化。,用MATLAB解此题时,要检验
10、特征向量组的秩,判断独立的特征向量数。故程序如下:A=-1,1,0;-4,3,0;1,0,2,p,lamda=eig(A),rp=rank(p)运行的结果是:由于特征向量组的秩为2,说明只有两个线性无关的特征向量,因此不能对角化。,6.4 实对称矩阵的对角化,定理6.4 实对称矩阵的特征值必为实数。定理6.5 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量必正交。证明:设A为n阶实对称矩阵,是矩阵A的两个不同的特征值,是矩阵A对应的特征向量,即 因为 于是 由于,所以,即 正交。,定理6.6 设A为n阶对称矩阵,则存在正交矩阵P,使得 这里 是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。推论1 设A为n阶实
11、对称矩阵,是A的 重特征值,则A必有 个对应于特征值 的线性无关的特征向量.推论2 实对称矩阵一定可对角化.推论3 n阶实对称矩阵A,存在n个正交单位特征向量。,n阶实对称矩阵对角化的步骤 第一步:解特征方程,求出A的全部互不相等的特征值 它们的重数依次为 第二步:求出矩阵A的特征值 对应的特征向量,得到 个线性无关的特征向量;第三步:将每个特征值 对应的 个线性无关的特征向量正交化、单位化,这样得到n个两两正交的单位特征向量;第四步:令,P是正交矩阵,使得。必须注意:中对角元素的排列次序与P中列向量的排列次序要一致。,例6.10 设解:当 时,即 解得 单位特征向量可取为,解得 为任意常数。
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