第5章-傅里叶变换应用于通信系统滤波调制与抽样课件.ppt

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1、重点：,1.无失真传输2.理想滤波器,第5章 傅里叶变换应用于通信系统 滤波、调制与抽样,5.2 利用系统函数H(j)求响应,在时域中,其中：H(j)=FTh(t)称频域系统函数 则 h(t)=IFTH(j)称时域冲激响应,也称系统的频率响应。,一、周期性信号的稳态响应,在频域中,设激励 f(t)=e j t,式中 为h(t)的傅里叶变换，,则系统零状态响应为,正弦周期激励 f(t)=A cos(0t),求系统零状态响应 y(t),因此系统响应为,因为 故响应 y2(t)=0,例,正弦波通过RC电路,求系统响应 y(t),幅频特性,相频特性,带宽B=1/RC设B=1000 rad/s即=RC=

2、0.001,b=0 1000;a=1 1000;%生成向量b，ah,w=freqs(b,a,0:5000);%求系统频响特性h1=abs(h);%求幅频响应h2=angle(h)*180/pi;%求相频响应subplot(211);plot(w,h1);gridxlabel(角频率w(rad/s);ylabel(幅值H(jw);subplot(212);plot(w,h2);gridxlabel(角频率w(rad/s);ylabel(相位(度);,画RC电路频响特性波形图MATLAB源程序为：,程序运行结果如图所示。,用MATLAB画出的幅频和相频特性图,截止频率,所以，系统响应为,用MATL

3、AB画出的输入和输出波形,某线性非时变系统的幅频响应|H(j)|和相频响应()如图所示。若激励,求该系统的响应y(t)。,解,例,该信号通过系统后，其响应的频谱为：,傅里叶反变换即可得：,非正弦周期信号激励时的响应,由于这类计算通常比较烦琐，因此最适合用Matlab来计算。,输出信号的频谱为,输出信号的响应为,例,输入信号的频谱为,RC电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下图所示。求系统响应。,解,其中，T1=2，基波频率1=2/T1=，=1因此，有,RC电路的频率响应为,RC 电路的频率响应为,系统响应为,输出信号的频谱为,因此,RC电路输出的幅度频谱,RC电路输出的时域波形,频域分析方法的求

4、解步骤为：1、先求出输入信号的频谱F(j)和频域系统函数H(j)2、由于y(t)=h(t)f(t)，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换的时域卷积性质，有 Y(j)=H(j)F(j)3、将Y(j)进行傅里叶反变换就得到 y(t),二、非周期信号通过线性系统的零状态响应,补充,输入信号的频谱为,解,RC电路的系统函数为,因此，输出频谱为,因为,令1/RC=a，可得,用Matlab画出的输出信号的频谱如图所示图中画出了带宽的两种情况,RC电路输出的幅度频谱,RC电路输出的时域波形,由于RC电路的低通特性，高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化。输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升

5、和下降。当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。,结论,在如图所示系统中，f(t)为已知激励，。,例,求零状态响应 y(t)。,即有：H(j)=F h(t)=-j sgn(),故得：Y(j)=H(j)F(j)=-j sgn()-j sgn()F(j)=-sgn()sgn()F(j)=-F(j),所以：y(t)=-f(t)可见此系统为一反相器。,根据对偶性,2h,w=freqs(b,a)该调用格式将计算默认频率范围 内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量h，200个频率点记录在w中。,三、MATLAB仿真实现,4freqs(b,

6、a)该调用格式并不返回系统函数样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。,试用MATLAB的freqs()函数求解该系统频率响应并绘图。,根据原理图，容易写出系统的频率响应为：,式中，,解,b=0 0 1;a=0.08 0.4 1;%生成向量b，ah,w=freqs(b,a,100);%求系统频响特性h1=abs(h);%求幅频响应h2=angle(h);%求相频响应subplot(211);plot(w,h1);gridxlabel(角频率(w);ylabel(幅度);title(H(jw)的幅频特性);subplot(212);plot(w,h2*180/pi);gridxl

7、abel(角频率(w);ylabel(相位(度);title(H(jw)的相频特性);,MATLAB源程序为：,程序运行结果如图所示。,RLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性,5.3 无失真传输概念,无失真传输,指输出信号与输入信号只是大小和出现的时间不同，而其波形形状相同。,即：y(t)=K x(t-t0),无失真传输系统的频率响应为：,1幅频特性 在整个频率范围内为一常数，即系统的带宽为无穷大；2相频特性在整个频率范围内为一通过原点的直线，其斜率为。,可看出,无失真传输系统在频域应满足的条件为：,失真分类,（1）幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。（2

8、）相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。,线性信号失真的原因：,5.4 理想低通滤波器,滤波器的截止频率,理想低通滤波器的频率响应为,1.理想低通滤波器的冲激响应为,由图可见，冲激信号经过理想低通滤波器后，波形发生了严重的失真，这是由于冲激信号的频谱为白色谱，即它的频带宽度为无限宽。即只有冲激函数的低频分量通过了滤波器，故导致波形发生了严重的失真。,2.理想低通滤波器的阶跃响应为,阶跃响应的上升时间与理想低通滤波器的截止频率c【带宽B=c/2（Hz）】成反比；阶跃信号通过理想低通滤波器后，上升沿变缓，带宽越宽，上升时间越短，上

9、升沿变化越陡峭。,！,补充：模拟滤波器,一、巴特沃思低通滤波器的幅频特性,1.巴特沃思低通滤波器幅频特性（最平响应特性滤波器）,巴特沃思低通滤波器的幅频特性的平方为,滤波器的半功率点,当N取值越大，幅频特性在通带内就越平坦，过渡带就越陡峭，衰减得就越快，其特性越接近理想的低通滤波器，滤波器的实现也就越复杂。,不同阶次的巴特沃思低通滤波器的幅频特性：,！,2.巴特沃思低通滤波器系统函数和极点分布,由于系统是稳定系统，则系统函数 满足：,由上式可求出 的2N个极点，即,因为,，k=1，2，3，2N,N=3，4时，极点在s平面的分布情况：,3.巴特沃思低通滤波器的设计,理想滤波器从通带到阻带的变换是

10、阶跃性的，即理想滤波器的过渡带为零。实际滤波器的幅频特性和理想滤波器是有一定偏差的，允许的最大偏差称之为容限。典型的低通滤波器的幅频特性：,要设计一个模拟滤波器，实际上就是要找一个系统函数来逼近理想滤波器，使之满足技术指标和容限图。低通滤波器的主要技术指标一般有：,频率归一化,选定某一频率为基准频率，将实际频率除以基准频率，所得的比值称为归一化频率。,因各滤波器的工作频率不同，为设计简便，常将实际频率进行归一化。,！,技术指标为fp2KHz，Ap3dB，fs4KHz，As30dB。设计一巴特沃思低通滤波器。,（3）由N5，得归一化系统函数为,（1）归一化频率：,（2）根据，As 30dB，查图

11、可知，5阶系统满足阻带衰减要求，即N5,例,解,（4）以 代入上式化简得,二、切贝雪夫低通滤波器,切贝雪夫型低通滤波器的幅频特性的平方为,式中，为决定等波动起伏幅度的常数；N为滤波器的阶数；为N阶切贝雪夫多项式。,（1）定义,切贝雪夫型低通滤波器的幅频特性,（2）切贝雪夫多项式满足的递推关系（当 时）,14阶切贝雪夫多项式的曲线如下图：,（3）不同阶次切贝雪夫型低通滤波器的幅频特性曲线,由图可以看出：（1）当 时，在1与 之间等幅波动，越小，波动幅度越小；（2）在过渡带和阻带即 时，幅频特性曲线单调下降，且N和 的值越大，衰减得越快；（3）N为奇数时，N为偶数时；（4）无论N为何值，当 时，。

12、,！,2.切贝雪夫低通滤波器的传递函数和极点分布,令,得极点为,式中,其传递函数为,短轴 长轴,归一化系统函数的分母多项式,取位于左半平面的N个极点，即可得到系统函数为：,式中,3切贝雪夫低通滤波器的设计,解:,取,由通带波纹衰减 和N=6，查表得：其归一化传递函数为,令，可得所求滤波器的传递函数为,式中,4利用MATLAB设计切贝雪夫模拟低通滤波器,（2）z,p,k=cheblap(n),切贝雪夫低通滤波器原型设计函数，p，z，k分别为滤波器的极点，零点和增益，n为滤波器的阶数。,（3）b,a=cheby1(n,Rp,wn,s),切贝雪夫通滤波器设计函数，Rp，n，Wn分别滤波器的通带波纹，

13、最小阶数和截止频率，s 表示模拟滤波器，a，b分别为滤波器的传递函数分子和分母多项式向量。,wp=2,Rp=1,ws=4,Rs=30;n,wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,s);z,p,k=cheb1ap(n,Rp);b,a=zp2tf(z,p,k);归一化的切贝雪夫低通滤波器的传递函数 sys=tf(b,a)切贝雪夫低通滤波器的传递函数 c,d=cheby1(n,Rp,wn,s);sys=tf(c,d)freqs(c,d,4),已知低通滤波器系统函数H(s)采用切贝雪夫逼近，通带波纹1dB，通带角频率p=2rad/s，阻带角频率s=4rad/s，阻带衰减A不小于30dB，试确定

14、滤波器的阶数及系统函数，并绘出其频率响应曲线。,例,解,程序运行结果？留作上机练习,本章小结,1.单一频率的信号通过线性时不变系统不会产生新的频率分量，但其幅度和相位会随系统函数发生变化。2.对于周期信号的响应，不同频率分量的输出是求和；对于非周期信号的响应，不同频率分量的输出是求积分，即傅里叶逆变换。,3.无失真传输，是指在时域中信号的波形应不发生变化，只是幅度变化了K倍，在时间上延迟了t0。对于无失真传输系统，其幅频特性在整个频率范围内为一常数，即系统的带宽为无穷大；其相频特性在整个频率范围内为一通过原点的直线，其斜率为，即相位响应与正比。,4.理想滤波器，是指信号的一部分频率可以无失真的完全通过系统，而另一部分频率则完全通不过。理想滤波器是不可实现的系统，实际中通常采用一定的规则来逼近理想滤波器的幅频特性。常用的逼近方式有巴特沃思逼近、切贝雪夫逼近，相应设计的滤波器分别称为巴特沃思滤波器、切贝雪夫滤波器。巴特沃思滤波器的幅频特性在通带和阻带内都是单调变化的，切贝雪夫滤波器的幅频特性在通带内是等起伏变化的，在阻带内单调衰减。,