静定结构的受力分析课件.ppt

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1、结 构 力 学structural Mechanics,第 5 章,虚功原理与结构位移计算（12学时）,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,5-2 结构位移计算的一般公式,5-3 荷载作用下的位移计算,5-4 荷载作用下的位移计算举例,5-5 图乘法,5-6 温度作用时的位移计算,5-8 变形体的虚功原理,5-9 互等定理,5-10 小结,第5章 虚功原理与结构位移计算,5-7 用求解器进行位移计算(略),5-11 思考与讨论,5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,结构位移计算概述1.计算位移的目的：(1)验算结构的刚度；在工程上:吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；高层建筑的最大位移 1/

2、1000 高度。最大层间位移 1/800 层高。(2)分析超静定结构,动力计算和稳定计算。(3)施工要求,为什么要计算位移?,2、位移产生的主要原因（1）荷载作用（2）温度变化和材料胀缩（3）支座沉降和制造误差,刚体体系位移，无应变,变形体体系位移，有应变,3、位移与变形 由于上述三种因素均可使结构产生位移，但其内部不一定有变形。,以上都是绝对位移,以上都是相对位移,（3）理想连接(Ideal Constraint)。,叠加原理适用（principle of superposition),(1)线弹性(Linear Elastic),(2)小变形(Small Deformation),单位荷载

3、法(Dummy-Unit Load Method),本章位移计算的假定,本章计算方法,刚体体系位移的求解虚力原理虚设力系求位移,图(a)中的静定梁，支座A向上移动已知距离c1，拟求B点的竖向位移。,虚设力系如图(b),虚功方程为,求得,支座移动时静定结构的位移计算已知A处的位移，求:（1）C点的竖向位移C;（2）杆CD的转角。,真实位移,虚设力系,虚设力系,设支座K有给定位移cK，静定结构的位移计算步骤为：,（1）沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出相应的（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程（3）由虚功方程解出拟求位移,若为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。虚设K处

4、的反力与位移方向一致。,例1：求,解：构造虚设力状态,解：构造虚设力状态,制造误差引起的位移计算,每个上弦杆加长8mm,求由此引起的A点竖向位移.,5-2结构位移计算的一般公式(变形体系的位移计算）,虚功方程：,例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角，试求A点在ii方向的位移,一、局部变形时静定结构的位移计算,力状态,位移状态,例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移，试求A点在ii方向的位移Q。,B,A,A,力状态,位移状态,当截面B同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：,若B点附近的微段ds有局部变形,二、结构位移计算的一般公式,一根杆件各个微

5、段变形引起的位移总和：,如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：,若结构的支座还有位移，则总的位移为：,若B点附近的微段ds趋近于零，则变形体位移问题转化为刚体位移问题,适用范围与特点：,2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。,关于公式普遍性的讨论：,（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。,1）适于小变形，可用叠加原理。,5-3 荷载作用下的位移计算,研究对象：静定结构、线性弹性材料。,重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。,一、计算步骤,（1）在荷载作用下建立 的方程，可经由

6、荷载内力应力应变过程推导应变表达式。,（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知,k-为截面形状系数,(3)荷载作用下的位移计算公式,二、各类结构的位移计算公式,（1）梁与刚架,（2）桁架,（3）组合结构,（4）拱当压力线和拱轴线相近时，则需要考虑弯矩和轴力当压力线和拱轴线相距较远时，则只考虑弯矩,同一结构，两种状态，力状态和位移状态,第一状态的外力（单位力状态）第二状态的位移（真实状态）=第一状态的内力（单位力状态）第二状态的应变（真实状态）,参照5-8节来理解,例 1：已知图示梁的E、G,求A点的竖向位移。,解：构造虚设单位力状态.,对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略

7、去不计.,位移方向是如何确定的?,1)求A点水平位移,所加单位广义力与所求广义位移相对应,单位力状态的确定,2)求A截面转角,3)求AB两点相对水平位移,4)求AB两截面相对转角,广义位移的计算,求DV,5P,8P,1,3P,5-4荷载作用下的位移计算举例,P,P,1.5,1.5,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,1,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,计算屋架顶点的竖向位移，层高l/12。,AD,DC,DE,CE,AE,EG,例5-5 图(a)所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧 AB的圆心角为，半径为R。试求B点的竖向位移。,解：虚设荷载如图

8、(b),图(a)中,图(b)中,设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12,5-5 图乘法,刚架与梁的位移计算公式为：,在杆件数量多、荷载复杂的情况下,用积分法计算位移不方便，可用图乘法计算位移，简单方便。,一、图乘法,(对于等截面杆),(对于直杆),图乘法求位移公式为:,图乘法的适用条件是什么?,图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。,几种常见图形的面积和形心的位置：,顶点,顶点,顶点,顶点,顶点,标准抛物线,图,图,解:,应用图乘法时的几个具体问题如果两个图形都是直线图形，则y0可取自任一个图形；如果直线图形是由几段直线组成的折线，则应

9、分段图乘；当同一杆件的各杆段EI不相等时，也应分段图乘；如果图形复杂，需分解为简单图形。,例：求图示梁中点的挠度。,？,1 一个图形为曲线，另一个图形为几条直线段组成，则应 分开考虑，或两个图形均为直线段，也应分开,例：求图示梁C点的挠度。,？,2 若两个弯矩图中有一个其一部分为零，则可分为两段，分别图乘后取其代数和,3 若两弯矩图中某段都为梯形，图乘时可不必求梯形的形心，而将梯形分为两个三角形，分别相乘后取其代数和，若两弯矩图均有正负两部分，则将b、c带入负值,左图也可分为两个标准三角形，进行图乘运算。,A,B,C,D,a,b,MP,c,d,M,l,C1,yC1,yC2,C2,C1,a,b,

10、C2,MP1,MP2,=(1/EI)(al/2)yC1+(bl/2)yC2,其中:yC1=2c/3-d/3 yC2=2d/3-c/3,各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。,=111,一般形式的二次抛物线图乘，均因均布荷载而引起，图形的面积可分解,例1：试求图(a)所示刚架结点B的水平位移。各杆截面为矩形bh，惯性矩相等，只考虑弯曲变形。,解：作MP图和 图，如图(b)、(c)所示,MP图的面积分为A1、A2、A3三块计算,图上相应的标矩为,求得,试分析例所示刚架轴向变形对B点水平位移的影响。,解：作FNP图和 图如图(a)、(b)所示,可得,h/l=1/

11、10时,例2：已知 E、I、A为常数，求。,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,若把二力杆换成弹簧,该如何计算?,例3：B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算C点竖向位移？,P,有弹簧支座的结构位移计算公式为:,两点说明：1、弹簧处的支座反力和弹簧位移方向相反；2、含有弹簧支座的结构位移计算，简单情况可以直接采用 几何关系叠加，复杂情况利用上述公式计算。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例4：求A点竖向位移,EI=常数。,例 5.已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例 6.已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩

12、图,例 7.已知 EI 为常数，求A点竖向位移。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,q,作业题：求C 处的竖向位移，已知：P，l，ql2，EI,5-6 温度改变时的位移计算,温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。,图示刚架的外侧温度升高t1，内侧温度升高t2，且t2大于t1，设温度沿截面高度方向线性分布。,设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴温度t 0与上、下边缘的温差 为:,线膨胀系数,t0,距离形心轴的距离分别为h1，h2,上式中的正、负号：,温度t0以升高为正，轴力以拉为正；,若 和 使杆件向同一方向弯曲其乘积为正。,1,a,得,则,例1：试求图(a)所示刚

13、架C点的竖向位移C。各杆截面为矩形，截面高度h=60cm，=0.00001-1。,例2：求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.,解：构造虚拟状态,Ni,5-9互等定理,1、应用条件：1)应力与应变成正比；2)变形是微小的。即:线性小变形体系。2、分类A 功的互等定理（是后三个定理的基础）B 位移互等定理C 反力互等定理D 反力位移互等定理3、在同一体系，两种状态中，建立彼此力、位移等之间的关系,线弹性结构的互等定理,1.功的互等定理:,方法一,先加广义力P1,后加广义力P2。,先加广义力P2,后加广义力P1。,由W1=W 2,在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于

14、II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。,功的互等定理,方法二,由虚功原理：,由虚功原理将 和 的表达式写出来,1、若两个力已知且相等，则得到位移互等定理；2、若力和位移已知且相等，则得到力和位移互等定理；3、若两个位移已知且相等，则得到反力互等定理。,功的互等定理,2.位移互等定理:,在1点施加单位力所引起的点的位移等于在2点施加单位力所引起的1点的位移。-位移互等定理（严格说为位移影响系数互等定理），即单位力作用下引起两状态中的对应位移相等,单位广义力是量纲为一的量；,互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。,如图示长 l，EI 为常数的简支梁,数值、量纲都相等,3.反力互等定理（超静定结构）:,由功的互等定理有：,支座 1 发生单位位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位位移时所引起的支座1中的反力。-反力互等定理,4.反力位移互等定理（一个力状态，一个位移状态）:,由1点施加单位位移引起结构中2点处的位移等于点发生单位力所引起点支座处的反力，但符号相反。-反力位移互等定理,如图(a)、(b)，由功的互等定理,即,令,或,可得,即,HomeworkHk#1 5-2,5-8(a)Hk#2 5-11,5-13Hk#3 5-9,5-19（图乘法做）Hk#4 5-23,5-24Hk#5 5-29,5-30,5-32 5-30课堂做,