卡尔曼滤波器分类及基本公式课件.ppt

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1、卡尔曼,滤波器,（Kalman Filter）,滤波的基本概念,滤波是什么？,所谓滤波，就是从混合在一起的诸多信号中提取出所需要的信号。,信号的分类（数学关系）？,滤波的基本概念,确定性信号的滤波,可采用低通、高通、带通、带阻等模拟滤波器或者计算机通过算法实现常规滤波,随机信号的滤波,根据有用信号和干扰信号的功率谱设计滤波器维纳滤波（Wiener Filtering）或卡尔曼滤波（Kalman Filter）随机信号的滤波也可以看做是估计问题。,卡尔曼滤波的由来,卡尔曼滤波的由来,卡尔曼，全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，19

2、54年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们在现代控制理论中要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（线性滤波与预测问题的新方法）。,卡尔曼滤波的由来,卡尔曼滤波的由来,卡尔曼滤波理论作为最优估计的一种，它的创立是科学技术和社会需要发展到一定程度的必然结果。在1795年，高斯为测定行星运动轨道而提出最小二乘估计法。为了解决火力控制系统精度跟踪问题，维纳于1942年提出了维纳滤波理论，利用有用信号和干扰信号的

3、功率谱确定线性滤波器的频率特性，首次将数理统计理论与线性理论有机的联系在一起，形成了对随机信号做平滑、估计或者预测的最优估计新理论。但是采用频域设计法是造成维纳滤波器设计困难的根本原因。于是，人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优滤波器的方法，而卡尔曼研究的卡尔曼滤波理论很好的解决了这个问题,卡尔曼滤波器是什么？,卡尔曼滤波器是什么,简单的说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm(最优化自回归数据处理算法)”。从形式上，卡尔曼滤波器是5条公式。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过了30

4、年，包括机器人导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。,卡尔曼滤波的特点,卡尔曼滤波的特点,（1）卡尔曼滤波处理的对象是随机信号；（2）被处理的信号无有用和干扰之分，滤波的目的是要估计出所有被处理的信号(区别于维纳滤波)；（3）系统的白噪声激励和测量噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特性是估计过程中需要利用的信息；（区别最小二乘）（4）算法是递推的，且使用状态空间法在时域内设计滤波器，适用于对多维随机过程的估计；（5）被估计量既可以是平稳的，也可以是非平稳的；（6）估计过程中，只需要考虑过

5、程噪声和测量噪声及当前时刻系统状态的统计特性。（计算机计算时，所占空间小）,思路,思路,Part 1 线性系统的卡尔曼滤波方程,线性离散系统线性连续系统,Part 2 非线性系统的卡尔曼滤波方程,扩展卡尔曼滤波器 EKF无迹卡尔曼滤波器 UKF,卡尔曼滤波的基本思想,卡尔曼滤波的基本思想,在海图作业中，航海长通常以前一时刻的船位为基准，根据航向、船速和海流等一系列因素推算下一个船位，但是他并不轻易认为船位就一定在推算船位上，还要选择适当的方法，通过仪器得到另一个推算船位。观测和推算这两个船位一般不重合，航海长需要通过分析和判断选择一个可靠的船位，作为船舰当前的位置。,以 时刻的最优估计 为准，

6、预测 时刻的状态变量，同时又对该状态进行观测，得到观测变量，再在预测与观测之间进行分析，或者说是以观测量对预测量进行修正，从而得到 时刻的最优状态估计。,卡尔曼滤波思想,例子,假设我们要研究一个房间的温度，以一分钟为时间单位。根据我们的经验判断，这个房间的温度是恒定的，但是对我们的经验不是完全相信，可能存在上下几度的偏差，我们把该偏差看做是高斯白噪声。另外，我们在房间里放一个温度计，温度计也不准确，测量值会与实际值存在偏差，我们也把这偏差看做是高斯白噪声。现在，我们要根据我们的经验温度和温度计的测量值及它们各自的噪声来估算出房间的实际温度。,卡尔曼滤波的基本方程,例子,假如我们要估算 k 时刻

7、的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）。然后，你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该值的偏差是 4 度。,卡尔曼滤波的基本方程,例子,卡尔曼滤波的基本方程,现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值23度

8、和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。因为，（*公式三），所以我们可以估算出K时刻的最优温度值为：度（*公式四）。得到了K时刻的最优温度，下一步就是对K+1时刻的温度值进行最优估算，需要得到K时刻的最优温度（24.56）的偏差，算法如下：（*公式五）就这样，卡尔曼滤波器就不断的把均方误差递归，从而估算出最优的温度值，运行速度快，且只保留上一时刻的协方差。,无控制离散型卡尔曼滤波器的基本公式,系统的状态方程：,系统的测量方程：,为过程噪声；,为测量噪声;,如果,满足,系统测量方程的输出量,是可以实际测量的量。,为噪声驱动

9、阵,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式1.1 无控制的离散型卡尔曼滤波基本方程,无控制离散型卡尔曼滤波的基本方程,（1）状态的一步预测方程：,（2）均方误差的一步预测：,（3）滤波增益方程（权重）：,（4）滤波估计方程（K时刻的最优值）：,（5）均方误差更新矩阵（K时刻的最优均方误差）：,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式1.1 无控制的离散型卡尔曼滤波基本方程,带有控制的离散型卡尔曼滤波基本方程,系统的状态方程：,系统的测量方程：,如果,满足,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式1.2 带有控制的离散型卡尔曼滤波基本方程,（1）状态的一步预测方程：,（2）均方误差的一步

10、预测：,（3）滤波增益方程（权重）：,（4）滤波估计方程（K时刻的最优值）：,（5）滤波均方误差更新矩阵（K时刻的最优均方误差）：,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式1.2 带有控制的离散型卡尔曼滤波基本方程,带有控制的离散型卡尔曼滤波基本方程,线性离散型卡尔曼滤波方程的一般形式,系统方程和测量方程的一般形式：,如果,满足,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式,引入矩阵，对状态方程进行等效变换：,其中：,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式,一般形式的卡尔曼滤波方程,（1）状态的一步预测方程：,（2

11、）均方误差的一步预测：,（3）滤波增益方程（权重）：,（4）滤波估计方程（K时刻的最优值）：,（5）滤波均方误差更新矩阵（K时刻的最优均方误差）：,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式,离散型卡尔曼滤波基本方程使用要点,（1）滤波初值的选取卡尔曼滤波是一种递推算法，启动时必须先给初值情况一：一般情况下，取，卡尔曼滤波器是无偏的，即滤波稳定，但是实际上这样的初值很难得到；情况二：如果系统是一致完全随机可控和一致完全随机可观测的，则卡尔曼滤波器一定是一致渐近稳定的，此时盲目的选取滤波初值不影响最终估计值（大多数情况下）。,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波

12、的基本公式1.4 离散型卡尔曼滤波基本方程使用要点,离散型卡尔曼滤波基本方程使用要点,（2）估计均方误差的等价形式及选用,公式（1）形式简单，计算量小，但是积累误差容易使协方差矩阵失去非负定性甚至对称性，所以实际中常使用公式（2）；如果在滤波初值对被估计量的统计特性缺乏了解，选取滤波初值盲目，则宜采用公式（3）。,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式1.4 离散型卡尔曼滤波基本方程使用要点,离散型卡尔曼滤波基本方程使用要点,（3）连续系统离散化,卡尔曼滤波的基本方程只适用于系统方程和测量方程均为离散的情况，但实际的物理系统一般都是连续的，动力学特性用连续微分方程来描述，所以在使用基本方程

13、之前，需要对系统方程和测量方程进行离散化处理。连续系统的离散化处理包括对过程白噪声的等效离散化处理。,1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式1.4 离散型卡尔曼滤波基本方程使用要点,连续系统的卡尔曼滤波基本方程,通过对实际的物理系统进行分析后得到的系统模型一般为连续型的。连续型卡尔曼滤波方程可在离散型卡尔曼滤波器基本方程的基础上推导出来。基本思路：将连续系统离散化，应用离散型卡尔曼滤波器的基本方程和导数概念推导出连续型滤波方程。采用递推算法是离散型卡尔曼滤波的最大优点，算法可由计算机执行，不必存储时间过程中得大量测量信息。连续型卡尔曼滤波则根据连续时间过程中的测量值，采用求解矩阵微分方程的

14、方法估计系统状态变量的时间连续值，因此算法失去了递推性。,2 基于连续系统模型的卡尔曼滤波的基本公式,连续系统的状态空间表达式为：,其中：,2 基于连续系统模型的卡尔曼滤波的基本公式,连续系统模型的卡尔曼滤波基本方程,2 基于连续系统模型的卡尔曼滤波的基本公式,与连续系统模型等效的离散系统的数学模型：,连续系统模型的卡尔曼滤波基本方程,其中：,是零均值分段常值白噪声过程，其协方差为：,连续系统模型的卡尔曼滤波基本方程,引入矩阵J来去除过程噪声与测量噪声的相关性,（1）状态的一步预测方程：,（2）均方误差的一步预测：,（3）滤波增益方程（权重）：,连续系统模型的卡尔曼滤波基本方程,2 基于连续系

15、统模型的卡尔曼滤波的基本公式,（4）滤波估计方程（K时刻的最优值）：,（5）滤波均方误差更新矩阵（K时刻的最优均方误差）：,将其变形求极限,3 非线性系统的卡尔曼滤波方程,普通卡尔曼滤波是在线性高斯情况下利用最小均方误差准则获得目标的动态估计，适应于过程和测量都属于线性系统，且误差符合高斯分布的系统。但是实际上很多系统都存在一定的非线性，表现在过程方程（状态方程）是非线性的，或者观测与状态之间的关系（测量方程）是非线性的。这种情况下就不能使用一般的卡尔曼滤波了。解决的方法是将非线性关系进行线性近似，将其转化成线性问题。,对于非线性问题线性化常用的两大途径：（1）将非线性环节线性化，对高阶项采用

16、忽略或逼近措施；（EKF）（2）用采样方法近似非线性分布.(UKF),扩展卡尔曼滤波器（EKF）,3 非线性系统的卡尔曼滤波方程3.1 扩展卡尔曼滤波器,非线性系统模型：,其中：,假设在 时刻已获得系统状态 的滤波估计，将 和 在 附近线性化，即非线性系统将随时在新估计的结果附近进行线性化。,3 非线性系统的卡尔曼滤波方程3.1 扩展卡尔曼滤波器,扩展卡尔曼滤波器（EKF）,将 和 在 附近展开成泰勒级数，忽略二阶以上的高阶项，则得线性化方程为：,将其变形，取,非线性系统线性化后的系统状态空间表达式为：,3 非线性系统的卡尔曼滤波方程3.1 扩展卡尔曼滤波器,EKF基本方程,3 非线性系统的卡

17、尔曼滤波方程3.1 扩展卡尔曼滤波器,EKF的不足,当非线性函数的Taylor展开式的高阶项无法忽略时，线性化会使系统产生较大的误差，甚至于滤波器难以稳定；在许多实际问题中很难得到非线性函数的雅克比矩阵求导；EKF需要求导，所以必须清楚了解非线性函数的具体形式，无法作到黑盒封装，从而难以模块化应用。,3 非线性系统的卡尔曼滤波方程3.1 扩展卡尔曼滤波器（EKF),3 非线性系统的卡尔曼滤波方程3.2 无迹卡尔曼滤波器（UKF）,由于近似非线性函数的概率密度分布比近似非线性函数更容易，使用采样方法近似非线性分布来解决非线性问题的途径在最近得到了人们的广泛关注。,UKF 是一大类用采样策略逼近非

18、线性分布的方法!UKF以Unscented Transform(UT,无迹变换)为基础,采用卡尔曼线性滤波框架,具体的采样形式为确定性采样。,UT变换采用确定性采样策略，用多个粒子点逼近函数的概率密度分布，从而获得更高阶次的均值与方差。,无迹变换（UT）,3 非线性系统的卡尔曼滤波方程3.2 无迹卡尔曼滤波器（UKF）,变换原理：基于当前状态 的均值 和方差，构造一组固定数目的采样点，利用这组采样点的样本均值和样本方差逼近非线性变化 的均值 和方差,3 非线性系统的卡尔曼滤波方程3.2 无迹卡尔曼滤波器（UKF）,UT变换的具体过程（三步）：,1）取点：根据输入变量 的统计量 和，选择一种 点

19、采样策略。得到输入变量的 点 以及对应的权值 和；2）点非线性变换：对所采样的输入变量 点集 中的每个 点进行 线性变换.得到变换后的 点集：3）新变量的统计特性：对变换后的变 点集 进行加权处理，从而得到输出变量 的统计量 和。具体的权值仍然依据对输入变量 进行采样的各个 点的对应权值。,UKF整个估计过程：（1）点采样；（2）利用状态方程传递采样点；（3）利用预测采样点及权值 计算预测均值和协方差；（4）利用(2)预测测量采样点；（5）预测测量值和协方差；（6）计算 UKF增益,更新状态向量和方差。,3 非线性系统的卡尔曼滤波方程3.2 无迹卡尔曼滤波器（UKF）,UT变换,UKF的估计过

20、程,UT变换,UKF的特点,对非线性函数的概率密度分布进行近似,而不是对非线性函数进行近似；可以处理不可导的非线性函数；不需要求导计算雅克比矩阵；对高斯输入的非线性函数近似时，使均值精确到三阶，方差精确到二阶；计算量与EKF相当。,3 非线性系统的卡尔曼滤波方程3.2 无迹卡尔曼滤波器（UKF）,Thank you!,历史岳麓版第13课交通与通讯的变化资料,精品课件欢迎使用,自读教材填要点,一、铁路，更多的铁路 1地位 铁路是 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济发展的动脉。2出现 1881年，中国自建的第一条铁路唐山 至胥各庄铁路建成通车。1888年，宫廷专用铁路落成。,交通运输,开平,3

21、发展(1)原因：甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的。修路成为中国人 的强烈愿望。(2)成果：1909年 建成通车；民国以后，各条商路修筑权收归国有。4制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入正轨。,修筑权,救亡图存,京张铁路,二、水运与航空 1水运(1)1872年,正式成立，标志着中国新式航运业的诞生。(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是在列强排挤中艰难求生。2航空(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始研制。(2)发展：1918年，北洋政府在交通部下设“”；此后十年间，航空事业获得较快发展。,轮船招商局,水上飞机,筹办航

22、空事宜,处,三、从驿传到邮政 1邮政(1)初办邮政：1896年成立“大清邮政局”，此后又设，邮传正式脱离海关。(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站；1920年，中国首次参加。,邮传部,万国邮联大会,2电讯(1)开端：1877年，福建巡抚在 架设第一条电报线，成为中国自办电报的开端。(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变化。3交通通讯变化的影响(1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和，转变了人们的思想观念。(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便捷。(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活。,台湾,出行,方式,多

23、姿多彩,合作探究提认知,电视剧闯关东讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家，从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。,依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车，近代的小火轮、火车同时使用)。原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；政府及各阶层人士的提倡与推动。,串点成面握全局,一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1原因(1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促进中国社会发展。(2)列强侵华的需要。

24、为扩大在华利益，加强控制、镇压中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。(3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供了物质条件。,2特点(1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和航空都获得了一定程度的发展。(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。(3)地域之间的发展不平衡。3影响(1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的联系，丰富了人们的生活。(2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。,1李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立之

25、势”。这说明该企业的创办()A打破了外商对中国航运业的垄断B阻止了外国对中国的经济侵略C标志着中国近代化的起步D使李鸿章转变为民族资本家,解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家；洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D三项表述都有错误。答案：A,二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影响(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。(2)通讯工具的变迁和

26、电讯事业的发展，使信息的传递变得快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社会生活。,2清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写()A电话 B汽车C电报 D火车解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。答案：D,典题例析,例1上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是()A江南制造总局的汽车 B洋人发明的火车 C轮船招商局的轮船 D福州船政局的军舰,解析由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。答案C,题组冲关,1

27、中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是()A公路运输 B铁路运输C轮船运输 D航空运输解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。答案：C,2.右图是1909年民呼日报上登载的一幅漫画，其要表达的主题是()A帝国主义掠夺中国铁路权益B西方国家学习中国文化C西方列强掀起瓜分中国狂潮D西方八国组成联军侵略中国,解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状，20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路权益。B项说法错误，C项不

28、能反映漫画的主题，D项时间上不一致。答案：A,典题例析,例2(2010福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海出口价格同步变动的现象。与这一现象直接相关的近代事业是()A电报业 B大众报业 C铁路交通业 D轮船航运业 解析材料主要反映了信息交流的快捷，故选A。答案A,题组冲关,3假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信息，可采用的最快捷的方式是()A乘坐飞机赴各地了解 B通过无线电报输送讯息C通过互联网 D乘坐火车赴各地了解解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现，互联网出现在20世纪90年代。答案：B,4下列不属于通讯工具变迁和电讯事业发展影响的是()A信息传递快捷简便B改变着人们的思想观念C阻碍了人们的感情交流D影响着人们的社会生活解析：新式通讯工具方便快捷，便于人们感情的沟通和交流。答案：C,