多元向量值函数积分课件.ppt
《多元向量值函数积分课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《多元向量值函数积分课件.ppt(153页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、第八章 多元向量值函数积分,1-1 第二型曲线积分与向量场的环流量,第一节 第二型曲线积分,1-2 第二型曲线积分的计算法,1-1 第二型曲线积分与向量场的环流量,一、变力沿曲线所作的功,1.分割,将有向曲线L任意分成,n小弧段,(,2.近似代替,(,3.求和,4.取极限,所作的功,二、第二型曲线积分,定义8.3.1,(,上任取,和式,为空间向量场,则,(,所以,其中P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)称为被积函数,L称为积分路径.,说明:,三、第二型曲线积分的性质,性质1.,性质2.,四、两型曲线积分的关系,若L为空间有向曲线,则,于是,即,若L为平面有向曲线,则,例1,解,
2、(1)直线上指定方向的切向量,单位化得方向余弦,所以,(2)圆弧上指定方向的切向量,所以,五、向量场的环流量,称为向量场,1-2 第二型曲线积分的计算,设自身不相交的有向光滑的空间曲线L的,参数方程为,又,根据两型曲线积分的关系和第一型曲线积,分的计算公式得,注意:第二型曲线积分化为定积分时,下限,下限不一定小于上限,这是与第一型曲线积,分的区别.,对于平面有向曲线L,例2,解,L的参数方程,例3,解,另解 曲线L由原点分成两部分,即,例4,的曲线L为,解,(1)L:,若用参数方程L,(2),(3),此题表明积分与路径有关.,例5,解,例5,解,表明该积分与路径无关.,例6,解,得截面圆在xo
3、y面的投影为,椭圆,参数方程为,则,即,所以,建立空间曲线参数方程的一般方法:,第八章,1-3 格林(Green)公式,第一节 第二型曲线积分,一、格林(Green)公式,定理8.1.1(格林公式),部分始终在其左侧,此方向称为L的正向.,证,如图所示,不妨设,先证,设,于是,又,所以,同理可证,故,特别地,格林公式的应用,则闭曲线L所围成的区域 的面积,其中闭曲线L取正方向.,例1,解,由对称性,例2,解,令,则,由格林公式,设边界闭曲线为L取正方向,另,注意:应用格林公式应满足的条件,则,例3,解一,闭曲线L分成三条线段,解二,则,由格林公式,若曲线L取顺时针方向,则,由格林公式,所求曲线
4、积分,例4,解,由于,例5,解,由于,补充,由格林公式,否则,其中:,特别地,若,则,即包含奇点的任意闭曲线L上的积分转化为,特定闭曲线l上的积分.,例6,解一,积分曲线L的参数方程为,所以,则,解二,由于L所围区域含奇点(0,0),不能用格林公式.,但L的方程可化简积分得,由格林公式,解,因为,由于L所围区域含奇点(0,0),补充以原点为,则,解,因为,由于L所围区域含奇点(0,0),补充以原点为,则,解,因为,L所围区域不,则由格林公式得,L所围区域含奇点(0,0),含奇点(0,0),补充圆l:,则,解,因为,当L所围区域不含奇点(0,0)时,则由格林公式得,当L所围区域含奇点(0,0)时
5、,补充圆l:,则,例7,解,则,由于偏导数在原点(0,0)不连续,则补充上半圆,取顺时针方向.,根据格林公式,其中,另如图补充:,将例6,例7中的积分换为下列积分,第八章,第一节 第二型曲线积分,1-4 第二型曲线积分与路径无关的条件,1-4 第二型曲线积分与路径无关的条件,若,有,只与起点A,终点B有关,记作,定理8.1.2,则下列四个命题互相等价.,(1)在D内沿任意分段光滑闭曲线L,都有,(2)在D内连接A,B两点的任意分段光滑曲线L,(3)在D内存在连续可微函数u(x,y),使得,证,由(1)知,所以,即,先构造二元函数,则,取图示路径,所以,同理,由于,则,而,又因为,故,由格林公式
6、,由,则,得,所以,即得类似于定积分计算的牛顿莱布尼茨公式,问题:,例1,(,解,则,在全平面恒成立,即积分与路径无关.,取:,例2,解,引力的方向,所以引力,所作的功,由于,即积分与路径无关,取:,所作的功为,例3,求原函数u(x,y).,解法一,(曲线积分法),则,所以,解法二,(积分法),由已知得,则,从而,又,所以,即,故,解法三,(凑全微分法),所以,例4,解,则,依题意,得 a=2.,例5,解,依题意,则,又,所以,两边对 t 求导,即,故,第八章,第二节 第二型曲面积分,2-1 第二型曲面积分与向量场的通量,一、曲面的侧,1.双侧曲面与单侧曲面,规定其中一个方向为正方向,2-1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 多元 量值 函数 积分 课件

链接地址:https://www.31ppt.com/p-3678514.html