地下水动力学第二章课件.ppt

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1、第二章 地下水流基本微分方程及定解条件,教学目标：准确理解渗流连续性概念掌握达西定律和质量守恒原理的应用掌握建立地下水基本微分方程的思想方法几种典型的地下水流方程的推导 潜水剖面二维流、平面二维流 承压水二维流 三维流边界条件概化，初始条件确定方法与原则能够用数学模型描述实际问题,第二章 地下水流基本微分方程及定解条件,主要内容：建立连续性方程分析含水层与岩石、流体压缩性关系建立不同含水层地下水流微分方程讨论边界条件及初始条件 用数学模型描述实际问题,2.1 渗流的连续性方程,2.1.1 引言因为流体是连续介质，所以流体在运动过程中是连续充满着它所据的空间。流体运动时的这种连续性，若用数学方程

2、式来表示，那就是连续性方程。连续性方程是质量守恒定律应用于流体运动的具体表现形式。在渗流场中，各点的渗流速度的大小、方向都可能不相同。为了反映流体运动中的质量守恒，就需要建立以微分方程表达的连续性方程。,2.1.2 建立方程的假定条件 水是可压缩的；忽略多孔介质固体颗粒的压缩性；多孔介质骨架在垂直方向上是可压缩的，但水平方向不可变形；为了方便，取直角坐标系的x、y，z轴分别平行于各向异性岩层渗透系数的主方向。,2.1.3 渗流连续性方程,水均衡的基本思想：对某一研究对象，流入 流出V研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价本课程基于微分单元体做水均衡

3、，推导渗流连续性方程。,连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程,为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。,X方向流入,X方向流出,X方向流入流出差,图2-1-1多孔介质单元水均衡要素图,假设：水是可压缩的，多孔介质骨架在垂直方向可压缩，但在水平方向不可变形。均衡的含义：在t时段内从x,y,z三个方向共6个单元界面上流入流出水的净总质量等于单元体内储存量的变化。,渗流连续性方程推导,X方向流入流出差,y方向流入流出差,z方向流入流出差,单元体内地下水质量变化量,渗流连续性方程推导,X方向流入流出差,y方向流入流出差,z方向流入流出差,

4、单元体内地下水质量变化量,地下水连续性方程,2.1.4 小结连续性方程是研究地下水运动的基本方程。各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程为基础建立起来的。即使有时不直接采用式2-1-1，但建立有关关系式时，也必须应用能反映质量守恒原理的另一种形式的连续性方程来代替。,2.2 水和多孔介质的压缩性,地下水弹性储存概念,取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密，忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力由粒间应力的垂向分量s和孔隙水应力p两者来平衡.,m为单位水平面积中颗粒间接触面积的水平投影.由于m1，

5、令（K.Terzaghi),Terzaghi有效应力公式,多孔介质总应力,有效应力,孔隙水应力,有效应力公式分析,p减少地下水体积膨胀，从而释放出部分地下水；p减少地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，这部分力将转嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含水层介质厚度变薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地下水；p减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力增大又会影响固体颗粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固体颗粒的压缩性。,水压p减少，将引起以下作用:,地下水弹性储存,物理意义：弹性储存与重力储存不同；给水机制

6、不同弹性储存更宜理解为“变形储存”；弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，层间弱透水层也有弹性储存,弹性储存：当地下水水头（水压）降低(或升高）时，含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质,水的压缩方程,假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有,p 为水压；V 为水的体积；为水的体积弹性压缩(或膨胀)系数E为体积弹性模量。V随p增大而减小，即dV/dp0 积分,水的压缩方程,按麦克劳林级数展开,由于很小，且p变化不大，故,水的压缩方程,由于VV0变化不大，故由于,多孔介质的压缩方程,假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有,为岩土的体积弹性压缩系数。如果上部荷载不变，则,由于骨架部分体积

7、不变,如果取出水平面积为1个单位，高度为 m的岩土柱体(其体积Vb=m)来分析，而且近似认为该柱体不发生侧向变形,体积的变形直接反映在该柱体的高度m的变化.,对此式积分,多孔介质的压缩方程,推导过程,说明本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。,水的压缩方程,多孔介质的压缩方程,渗流连续性方程,水和多孔介质的压缩方程,总水头和孔隙水压力关系,本节：利用达西定律，并综合上述各式，将渗流连续性方程转化为以水头H为因变量的渗流基本微分方程。,2.3 渗流基本微分方程,（一）化简,可视为多孔介质均衡体中固体部分的厚度，且由于固体颗粒部分视为

8、不可压缩，因此此比值不随时间t变化。,渗流连续性方程化简,（一）化简,渗流连续性方程化简,（二）化简方程左端项当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有,由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视近似不变，故,渗流连续性方程化简,（二）化简方程左端项,同理,两边代入水均衡方程，有,渗流连续性方程化简,两边同除以,物理意义：表示在达西流动条件下，单位体积、单位时间的水均衡关系。,且令,得到,各向异性含水层地下水三维流的基本微分方程,它表示在达西流条件下，单位体积、单位时间的水均衡关系单位时间内流入和流出单位体积含水层的水量差值等于同一时间内单位体积含水层弹性释放(或弹性储存)的水量。通

9、过应用达西定律反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。由此可见，基本微分方程式用数学的形式表达了渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒这两条基本定律。,单位弹性给水度或单位储水系数 的物理意义,因此，n表示单位空隙介质体积中，当水头下降一个单位时(H=1)，由于水的膨胀而释放出来的水量（体积）。,由(2-2-5)有,当取V为1个单位孔隙介质中水的体积时，V=1n,单位弹性给水度或单位储水系数 的物理意义,以边长为1个单位的立方体来研究（底面积1）设该立方体的初始高度和孔隙率分别为m0和n0,当水头H发生变化时，空隙介质受压缩使高度和空隙率分别变小为m和n(忽略侧向变形)，由于空隙

10、介质的压缩所释放的水量为,单位弹性给水度或单位储水系数 的物理意义,当水头下降一个单位时，由于空隙介质受压缩（厚度变薄，空隙率变小），从单位体积空隙介质中所释放的水量。,表示：当水头下降一个单位时，从单位体积空隙介质中释放的水量（体积）,又由于,均质含水层，忽略含水介质在压缩过程所引起介质渗透性的变化：,各种形式,对于等厚承压含水层，且属于平面二维流,Txx和Tyy为主方向的含水层导水系数(L2/T)；M为承压含水层厚度(L)；e为承压含水层的储水系数或弹性给水度。其物理意义是：单位水平面积承压含水层柱体，当水头下降一个单位时所释放的水量(无量纲)。,极坐标下均质、等厚、各向同性承压含水层轴对

11、称流(径向流),稳定流条件,当存在源汇项时,和W分别为三维流和平面二维流的源汇。分别定义为单位体积含水层和单位水平面积含水层柱体中，单位时间内产生（为正值）或消耗（为负值）的水量。,总结各种形式，当存在源汇项时左端加上,原形均质二度各向异性轴对称问题各向同性介质 稳定流条件,2.4 潜水流动的布西涅斯克微分方程,渗流的垂直分流速度vz远远小于水平分流速度vx和vy,可忽略vz,既假定等水头面是铅垂面。,一、裘布依假定(Dupuit Assumption):,裘布依微分方程,对于剖面二维流，其中H仅仅随x而变，与z无关，即H=H(x,t)。对于单宽流量qx,有,裘布依微分方程应用,裘布依假定的应

12、用:使剖面二维流问题(x,z)降阶为水平一维问题近似处理使三维问题(x,y,z)降阶为水平二维(x,z)问题处理使潜水面边界处理的简单化,直接近似地在微分方程中处理,裘布依假定的局限性:当潜水面存在垂向补给、排泄或潜水呈不稳定流时，即使潜水面坡度很小，能否引出裘布依假定而将等水头面视为铅垂面则要视条件具体分析,二、布西涅斯克(Boussinesq)微分方程,假定:研究的潜水流满足裘布依假定水和骨架不可压缩（含义：无弹性储存）=const,s=0潜水层隔水底板水平潜水面上存在水量的交换WW0，入渗W0，蒸发,W定义为潜水面处单位水平面积、单位时间的入渗量,布西涅斯克方程推导,研究剖面二维流（x-

13、z)均衡单元体：长度为x，宽度为1个单位的含水层柱体均衡 V=流入流出均衡时段 t,x方向流入流出差,z方向流入 上边界潜水面边界,下边界隔水边界 V=0,x,z方向流入流出差,单元体内水体积的增量表现为水位在该时段内的上升或下降,水均衡方程:,布西涅斯克方程推导,注意:d为重力给水度，是在重力作用下单位水平面积的潜水含水层柱体在其潜水面下降或上升单位水头时释放或储存的水量。上述推导运用了裘布依假定，忽略垂向分流速，因此可近似用x代替s.布西涅斯克方程将刻画潜水面边界问题简单化为用W直接表示。,布西涅斯克微分方程,线性化布西涅斯克方程,线性化布西涅斯克方程,线性化布西涅斯克方程,2.5 地下水

14、流动定解条件及数学模型,地下水流动控制微分方程潜水二维不稳定流动控制方程承压水二维不稳定流动控制方程定解条件边界条件初始条件,一、定解条件,第一类边界 第二类边界初始条件,边界条件,一、定解条件,潜水面边界,三维条件下,解析方法数值方法物理模拟方法渗流槽试验水电比拟法电网络模拟法,二、数学模型及其解法,小结,2.6.1 学习要求(1)理解渗流方程的建立过程；(2)了解水及多孔介质的压缩性；(3)理解承压水运动的基本微分方程的建立过程及其物理意义；(4)理解潜水运动的基本微分方程的建立过程及其物理意义。2.6.2 思考题-第二章课后思考题(1)2.1()式后述：“当地下水为不稳定流时，m0”。为

15、何？(2)深刻理解重力给水度ud和弹性给水度ue的物理意义；ue和单位弹性给水度us的区别和应用。(3)从理论上说，是否可从平面二维(x，y)承压流微分方程(式2-3-16)推广获得三维流微分方程,(4)“已知平面二维(x，y)承压流微分方程(式2-3-16)此承压含水层中剖面流微分方程为 试对此作出评论。(5)何谓裘布依假定？为何引出此假定？当潜水面存在垂向补给、排泄或潜水面呈不稳定流时，“潜水面坡度很小”的条件下能否引出裘布依假定？,(6)试着比较平面二维(x，y)承压流微分方程与降维后的平面二维(x，y)潜水流微分方程左右端各项，深刻认识ue和ud的区别与相似性。(7)请说明方程2-1-

16、1和2-3-7建立的条件及它们的物理意义。,2.6.3 思考题-实验实习讲义-习题六 裘布依微分方程的应用(1)在均质、各向同性的岩层中，地下水为稳定的二维流动，且无入渗、无蒸发。试判断下列两图的水头线形状是否正确？并用裘布依微分方程证明。,(2)在图6-2中所示的含水层均为无入渗、无蒸发的二维稳定流动。岩层为均质、各向同性。试根据裘布依微分方程和水流连续性原理证明两钻孔间的水头线形状，并正确地绘在图上(表明是凹形、凸形、直线)。,a,b,(3)如习题6-3图a、b所示为均质、各向同性的承压含水层，厚度沿流向变化(图a中1、3、5段分别为等厚含水层，且1、5段的厚度相等)，地下水为稳定的二维流动。试根据裘布依微分方程和水流连续性原理，正确地画出含水层的水头线，并表明形状(凹形、凸形、直线)。,H1,2,3,4,5,a,H2,1,