线性代数第五章课件.ppt

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1、一、内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,、长度的概念,当,时,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别,长度为的向量称为单位向量.,（1）正定性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,、性质,（4）柯西施瓦兹（CauchySchwarz）不等式:,当且仅当与的线性相关时，等号成立.,由非零向量得到单位向量,称为把单位化或标准化.,的过程,、夹角,设与为维空间的两个非零向量，与的夹,角的余弦为,因此与的夹角为,例,解,三、正交向量组,1、正

2、交,2、正交组,若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则,这个向量组称为正交向量组，简称正交组.,3、标准正交组,由单位向量组成的正交组称为标准正交组.,夹角900,4、正交基,5、标准正交基,由正交向量组构成的空间V的基,由标准正交向量组构成的空间V的基,定理,4、性质,正交向量组必为线性无关组.,证明见P112,例题：证明：r个n维向量构成的向量组，若rn则该向量组一定不是正交组,思路：r个n维向量组当rn时，必然线性相关,已知三维向量空间中，,例2,正交，,解,设,则,即,四、正交矩阵和正交变换,1、定义,如果阶方阵满足：,则称为正交矩阵.,则,可表示为,若按列分块表示为,亦即,结论

3、：正交阵判定条件是列向量是标准正交组，即两两正交的单位向量。,2、正交矩阵判定条件,为方阵，且列向量组是标准正交组,三大条件：1）方阵 2）单位向量 3）正交（行列均可）EATAAAT,例题：证明下述性质（定义法）1）若A为正交阵，则A1和AT也是正交阵，且det（aij）1或12）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵,3.定义的应用,3、正交变换,若为正交矩阵，则=线性变换称为正交变换.,设=为正交变换，则有,经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,注,从而夹角保持不变.,请证明旋转变换是正交变换P32问：投影变换是正交变换吗？,4、施密特（Schmidt）正交化法（P114，自学）,设

4、,是向量空间的一个基，要求向量空,间的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单,位向量,，使,与,等价，,此问题称为把,这组基标准正交化.,1）正交化,令,就得到的一个标准正交向量组.,的一组标准正交基.,如果,上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.,2）标准化,令,是的一组基，则,就是,与,都是等价的.,可以证明：,第二节 方阵的特征值与特征向量,一 特征值与特征向量,三 应用举例,二 特征值和特征向量的性质,四 小结,一、特征值与特征向量的概念,定义,若,则称为的特征值，,称为的特征向量,（）,注,并不一定唯一；,阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组,特征值问题只针对与方阵，且特

5、征向量不能为零,有非零解的值，即满足,的都是方阵的特征值,例：求距阵的特征值和特征向量（P118例6，7）,定义,这是一个为变量的一元次多项式,为的特征多项式,定义,为的特征方程（几元几次方程？）,定理,设阶方阵的特征值为,则,证明,当是的特征值时，的特征多项,式可分解为,令,得,即,必须牢记,（2）略,定义,方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的迹.,记为,二、特征值的性质,推论,阶方阵可逆的个特征值全不为零.,若数为可逆阵的的特征值，,性质5,设阶方阵的特征值为,则,根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.,三、应用举例（定义+性质）,、若为可逆阵的特征值，则,的一个特征值为（）,、证

6、阶方阵的满足，则的特征值为,或,、三阶方阵的三个特征值为、，则,（）,（幂等阵AmA）,2解：设x是A的一个特征向量，则A2xAx03解：思路令B2E3A2,求出B的全部特征值即可。书上例题9自己看看。P122,四、特征向量的性质,定理,互异特征值对应的特征向量线性无关。,证明：见书P120另证：,特征向量的性质的证明,证,设存在 使,是方阵 的特征值，,依次是与之对应的特征向量，即有,因为,所以,即,即,(1),(2),(3),类推下去,有,(m),把以上 个等式合写成矩阵等式，得,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，,当 互不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆.于是有,特征

7、向量的性质的证明,即,又,因此必有,所以 向量组线性无关.,证毕,特征向量的性质的证明,一、定义,定义,设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵，,使得,则称是的相似矩阵，或者说矩阵,与相似,称为对进行相似变换，,对进行运算,可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵,记作：,第三节 矩阵相似对角化,请回忆距阵等价的概念，符号描述P59思考等价和相似的区别,练习：1。证明，若A相似B，则det（A）det（B）2。若A相似B，则A35A2A相似于B35B2B3。结论：若A相似B，则A的多项式相似于B的同一多项式,4。若阶矩阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而与有相同的特征值,推论,若阶矩阵与对角矩阵,相似，,定理

8、,若阶矩阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而与有相同的特征值,若能寻得相似变换矩阵使,对阶方阵，,称之为把方阵对角化,三、方阵对角化,定理的推论说明，如果阶矩阵与对角矩阵相,似，,则的主对角线上的元素就是的全部特征值,设存在可逆，,使得,有,于是有,因为可逆，R（P）n,关的特征向量。,实现,即与对角矩阵相似,对角化的目标：寻找n个线性无关的特征向量，构成P,定理,如果阶矩阵有个互异特征值，则其对应的特征向量线性无关，此时的A必可对角化,注意：这是充分条件而非必要条件，要想判断A能否对角化只能先求特征值，再求特征向量，然后看特征向量是否线性相关,结论,并非所有矩阵都可以对角化（相似对角化）即

9、：对称矩阵一定可以对角化（有定理）可以对角化的充要条件是：存在n个线性无关的特征向量p1，pn，且P（p1,p2，.，pn）可以对角化的一个必要条件是：n阶矩阵A有n个互异特征值练习：请问P120的例5，6，7中矩阵哪些可以对角化？例题：P125，例11,定理对称矩阵的特征值为实数.,说明：矩阵可以对角化的理论比较复杂，本节要求掌握对称阵对角化步骤即可,一、对称矩阵的性质,定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.,定理若阶对称阵的任重特征值对应的线性,无关的特征向量恰有个,定理若为阶对称阵，则必有正交矩阵，使得,第四节对称矩阵的对角化,需要记住：对称矩阵必可相似对角化，且P为正交阵,根据上

10、述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,将非重根对应的特征向量单位化；,3.,将重特征值对应的特征向量单位正交化;,4.,2.,1.,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法（掌握）,将所有单位化后的特征向量组成P，注意与特征值的对应关系。,5.,三、实例分析,解,例12,例：设对称矩阵A，已知A有二重特征值，122,求：1）x和另一个特征值3；（回忆特征值的两条性质）2）A的所有特征向量；3）求正交矩阵P，使得A正交化,解：1）,2）,3）正交化矩阵P,建议验证,作业：P138，14，16（1），17,数学模型,矩阵的特征值和特征向量应用十分广泛，包括生物学、社会学、经济学

11、等等，工程方面的应用更是不可计数，仅系统的稳定性就已可窥豹之一斑。介绍的几个实际问题包括人口流动问题、动物繁殖的规律问题、商品的市场占有率问题等。,人口流动问题 设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市。假定人口总数不变，那么经过许多年后全国人口将会集中在城市吗？,动物繁殖的规律问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组05岁；第二组610岁；第三组1115岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动

12、物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，计算5年后、10年后、15年后各年龄段动物数量。20年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有（是莱斯利矩阵L的唯一正特征值）。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k的值。,商品的市场占有率问题 有两家公司R和S经营同类的产品，它们相互竞争。每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场分额，而S公司占有2/5的市场分额。问两年后，两家公司所占的市场分额变化

13、怎样，五年以后会怎样？十年以后如何？是否有一组初始市场分额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变？,化简得：（1-4/9；00)由此得化简后的方程 a 4/9b=0;结合约束条件 a+b=1 得：a=4/1331%b=9/1369%这是使市场稳定的两家公司的初始分额，也正好与表4-1中的数据相吻合。,第六节二次型,一 元二次型的概念,二 二次型的表示方法,三 二次型的矩阵及秩,四 化二次型为标准形,五 小结,矩阵对角化的简单应用,作业9：P1342（1），6（1），20,一、元二次型,1、定义,的二次齐次多项式,含有个变量,称为二次型,或记为,注,当常数项为实数时，称为实二次型；,当常数项为

14、复数时，称为复二次型,二、二次型的矩阵表示,定义,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形,定义,特别地，若系数只在1，1，0取值，即,为二次型的规范形,则二次型,特别注意：为对称矩阵.,令,任一二次型,三、二次型和矩阵A的关系,对称矩阵,任一对称矩阵,二次型,一一对应,称为对称矩阵的二次型；,称为二次型的矩阵；,对称矩阵的秩称为二次型的秩,练习写出下列二次型的对称矩阵,3）复数域上的元二次型,例1）实数域上的元二次型,2）实数域上的元二次型,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,记,记作,将其代入,有,若|C|0，则称为非退化线性

15、变换,？f如何才能变成标准二次型，对CTAC有何要求？,目的：寻找C使得CTAC变成对角阵,定义,设,为阶方阵，若存在阶可逆阵C，使得,则称合同于,与相似、等价比较一下,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,例1 已知二次型,用正交变换把二次型 化为标准形，并写出相应的正交矩阵.,解 析：此题是一道典型例题.目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的“标准程序”.,写出二次型对应的矩阵,二次型 对应的矩阵为,求 的特征值,由，求得 的特征值为,例1解答,求 的两两正交的单位特征向量,例1解答,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,例1解答,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,

16、例1解答,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,例1解答,写出正交矩阵和二次型的标准形,令矩阵,则 为正交阵，于是，经正交变换,原二次型化为标准形,例2 已知二次型,的秩为2.,求参数 以及此二次型对应矩阵的特征值；,指出 表示何种曲面.,解,二次型 的矩阵,因为 的秩为2，,所以 的秩也为2，因而,例2解答,当 时，的特征多项式为,于是，的特征值为,特征值互异，必存在正交变换,其中 为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型,于是，曲面,这表示准线是 平面上椭圆、母线平行于 轴的椭圆柱面.,在新变量 下称为标准形,附录：前面的部分证明,特征值的性质的证明,证,因为 是 的 个特征向量，则

17、有,即,令，即得,另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有,这些项中不含,比较两端的 的系数，可得,即,证毕,特征值的性质的证明,特征值的性质的证明,因为 是 的特征值，,证,所以存在非零向量 使,又由 知，,可逆，且，所以,这表明 是矩阵 的特征向量.,证毕,特征值的性质的证明,证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,用 左乘上式两端得,这表明 是矩阵 的特征向量.,类似地，可以证 是矩阵 的特征向量.,证毕,特征值的性质的证明,证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,又因为，所以,这表明 是矩阵 的特征向量.,证毕,特征值的性质的证明,证,因为

18、,所以 而,有非零解,因此存在非零向量，使,这表明 0 是 的特征值.,证毕,特征值的性质的证明,证,根据特征值满足的条件：是特征方程 的根，所以要证 与 的特征值相同，,只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.,因为,所以 与 的特征多项式相同，从而 与 的特征值相同.,证毕,特征向量的性质的证明,证,设存在 使,是方阵 的特征值，,依次是与之对应的特征向量，即有,因为,所以,即,即,(1),(2),(3),类推下去,有,(m),把以上 个等式合写成矩阵等式，得,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，,当 互不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆.于是有,特征向量的性质的证明,精品课件！,精品课件！,即,又,因此必有,所以 向量组线性无关.,证毕,特征向量的性质的证明,