多元函数微分学及其应用课件.ppt

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1、第六章,多元函数微分学及其应用,高等数学上册研究了一元函数微积分,所讨论的函数只是一个自变量的情形,然而现实世界中的客观事物是复杂的,它们之间相互联系、相互制约.在实际问题中,经常需要研究多种事物与多种因素之间的联系,从而抽象出多元函数,即多个自变量变化的情形,因而需要研究多元函数微积分.但多元函数微积分要比一元函数微积分复杂得多,它们二者有紧密的联系,也有本质上的区别,即多元函数微积分学中的许多概念和方法是一元函数中的相应概念和方法的推广和发展.但二元函数微积分与三元以上的多元函数微积分之间没有本质上的区别,所以本章主要以二元函数为主进行讨论.,为了便于研究多元函数,先介绍有关n维欧氏空间的

2、概念.,多元函数,多元数值函数,多元向量值函数,第六章,第一节,多元函数的基本概念,n维欧氏空间,n维欧氏空间中的点集,1-1 n维欧氏空间及其点集,一、n维向量,1.定义,由全体n维向量组成的集合记为,2.n维向量的加法和数乘运算,3.n维向量的内积运算,二、n维向量空间,规定了加法和数乘两种运算的所有n维向量组成的集合 称为n维向量空间,简称n维空间.,显然,1维、2维及3维空间分别是实数轴、平面及,立体空间中的点的全体.,三、n维欧氏空间,说明:,由柯西不等式:,从而,定义,特别地,即有,四、n维欧氏空间中的点集,（一）邻域,（二）内点、边界点,1.内点,例如(1),(2),2.边界点,

3、（三）开集、闭集,（四）连通集、区域,（五）聚点、孤立点,例 设平面点集,内点,聚点,边界点,孤立点,即 内点都是聚点,且都属于E;,圆周上的点既是聚点,又是边界点,且上半圆周上的点属于E,下半圆周上的点不属于E;,孤立点,是边界点,但不是聚点.,第六章,1-2 多元函数的概念,多元函数的基本概念,1-3 多元函数的极限,1-4 多元函数的连续,1-2 多元数值函数的概念,一、多元数值函数的定义,1.多元函数,或,记为,或,二元数值函数的定义,或,称为二元数值函数,简称二元函数.,记作,或,简记为,定义域,值 域,即,例2,体的表面积和体积为,则长方,例1,定义域,例3,解,要使函数有意义,自

4、变量必须满足,其中,特别地,例4,解,依题意,则,二、多元函数的几何意义,1.二元函数:,则,例,锥面,2.一元向量值函数:,也可表示为,向量,则,例,表示一条螺旋线.,参数方程,一般地,称点集,1-3 多元函数的极限,一、多元数值函数的极限,定义,或,推广:,则n元函数,的极限,或,也称为n重极限.,特别地,即为一元函数的极限.,说明:,对于适合不等式,反之,元函数极限的性质和运算法则也可推广到多元函数.某些多元函数的极限常化为一元函数的极限去计算.,例1,证,因为,可见,则当,时,总有,所以,例2,解,由于,则,即,又,所以,例3,解,则,于是,例4,解,因为,由于,根据夹逼定理得,例5,

5、解,时,有,二、一元向量值函数的极限,定义,即,1-4 多元函数的连续性,一、连续函数的概念,定义,即,或,记,有,一般地,即,即,例6 求下列函数的间断点,由于,所以点(0,0)是函数的间断点.,由于在圆周,上函数没有意义,所以该圆周,上各点都是函数间断点.可见二元函数的间断点可以,形成一条曲线.,由基本初等函数(一元函数),经过有限次四则运算和复合步骤所构成的可用一个,式子表示的多元函数.,定义区域,包含在定义域内的区域或闭区域.,结论:,1.多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零),及复合函数在定义区域内均是连续函数；,2.一切多元初等函数在定义区域内都是连续的.,若 是初等函数,点

6、在定义区域内,则由连续性知,为定义域的内点,例7,解,其定义域为,而,是区域,且,所以,又,二、闭区域上连续函数的性质,性质1(有界性),性质2(最大值、最小值定理),说明:,例,性质3(介值定理),*性质4(一致连续性),第六章,第二节,多元数值函数的微分法,2-1 偏导数及其计算,一、偏导数,定义6.2.1,如果,存在,和,即,即,偏导函数简称偏导数,注意,推广:,如果,例1 求下列函数的偏导数,解,(1),(2),例2 求下列函数的偏导数向量,解,(1),(2),二、偏导数的几何意义,即,同理,三、多元函数可导与连续的关系,说明：,函数,连续.,(参考下面例题),同理,解,可导、不连续,

7、例2 讨论下列函数在点(0,0)处的连续性,偏导数存在性(可导性).,解,则由夹逼定理,同理,连续、可导,无穷小性质,解,则,同理,连续、可导,解,由于,而,不存在,同理,连续不可导,四、高阶偏导数,称其,按求导次序,f 的二阶偏导数有四个,记为,或,或,或,或,其中,称为二阶混合偏导数.,推广:,或,例如,其中,二阶和二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.其中关于不同变量的高阶偏导数称为混合偏导数.,例3,解,则,问题：若函数的二阶混合偏导数存在是否一定相等吗？,例4,解：,所以,同理,二阶混合偏导数不相等,定理6.2.1,即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关.,例5,解,例6,解,因为

8、,所以,则,故,同理,而,所以,同理,混合偏导数连续是求导与次序无关的充分条件,而不是必要条件.,内容小结,1.偏导数的概念及有关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导次序无关,2.偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导次序),第六章,第二节,2-2 全微分及其应用,多元数值函数的微分法,一、全微分的概念,1.偏增量、偏微分,2.全增量、全微分,一般地,全增量的计算比较复杂,与一元函数相类似,也可用自变量的增量 的线性函数来近似代替,定义6.2.

9、2,可表示为,其中,的全微分,记作,即,推广：,其中向量,其全微分为,由于,则,即,不连续必不可微.,二、函数可微的条件,定理6.2.2(函数可微的必要条件),特别地,证,于是,任取,一点,有,从而,同理可证,故,即函数的全微分等于各偏微分之和.,说明:,(1)一元函数可导与可微是等价的;,(2)多元函数可导与可微是两个不同的概念.,当(二元)函数可导时,形式上,总有,即函数并不一定可微.,例如普吕函数,在(0,0),处偏导数存在,且,但是,而,所以,故普吕克函数在(0,0)处不可微.,多元函数可导是可微的必要条件,而不是充分条件.,由此可知,定理6.2.3(函数可微的充分条件),证：,(就二

10、元函数的情形证明),由于,而,根据拉格朗日中值定理得,规定:,则多元函数,特别地,即多元函数全微分与一元函数的微分在形式上完全一致,只是将 中的乘积换为 中两向量的内积.,二元函数 连续、可导、可微之间的关系,例1,时的全微分和全增量.,解:,例2,解:,因为,所以,例3 设函数,解:,而,讨论函数 f 在(0,0)处的可微性以及偏导数的连续性.,而,不存在,故,因此,同理,偏导数连续是可微的充分条件,而不是必要条件.,三、全微分在近似计算中的应用,则可以利用全微分作近似计算。,1.近似计算全增量,2.近似计算点 附近的函数值,例4,解:,得,于是,例5 有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由

11、20cm增大到 20.05cm,高度由100cm 减少到 99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.,解:,设圆柱体的半径、高和体积依次为,从而,由题意,代入得,即此圆柱体在受压后体积减少了,例6,解:,于是,一般地,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,3.微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,第六章,第二节,多元数值函数的微分法,2-3 复合函数的求导法则,一、复合函数的链式求导法,求,定理6.2.4,且偏导,数为,链式求导,证:,则,其中,从而,于是,同理可证,推广到n元函数,则它们可以构成多元复合,函数,特殊情形,全导数,情形一,例1,解:,情形二,例2,解:,情形三,例3

12、,解:,情形四,则,由情形三即得.,注意:,与,是不同的,其区别为:,例4,解,则,由于中间变量表示符号选择的不同,造成结果形式上的不统一,所以引入数字化变量,将函数的中间变量 等分别用数字1,2,3代替.即,例5,解,同理,例6,解,例7,解,二、一阶全微分形式不变性,由此可见,这种性质,称为一阶微分形式的不变性.,利用一阶微分形式的不变性,可有效地计算复合函数的偏导数和全微分,在计算过程中,无需区分 是自变量还是中间变量.,例8,解:,由一阶微分形式的不变性可得,例9,解:,由一阶微分形式的不变性可得,另解:,所以,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,2.全微分形式不变性,对z=f(u,

13、v),不论 u,v 是自变量还是因变量,“分段用乘,分叉用加,单变量全导,多变量偏导”,第六章,第二节,多元数值函数的微分法,2-4 隐函数的求导方法,一、由一个方程所确定的隐函数的求导法则,定理6.2.5(隐函数存在定理),推导公式:,例1,解一(公式法):,则,所以,解二(求导法):,解三(微分法):,(利用微分形式不变性),推广到多元隐函数的情形,定理6.2.6(隐函数存在定理),由,根据复合函数求导法则得,例2,解一(公式法):,则,解二(求导法):,求一阶偏导数其他方法,解三(微分法):,所以,例3,解一(公式法):,则,解二(求导法):,解三(微分法):,例4,解:,则,依题意,二

14、、由方程组所确定的隐函数的求导法则,定理6.2.7(隐函数存在定理),如果,则方程组,且,其中,情形1.求由两个三元方程构成的方程组确定了两个一元隐函数的导数,方法:,根据克拉默(Cramer)法则解得,因,例5,解一(公式法):,则,代入公式得：,此法必须记住公式！因此不可取,解二(求导法):,即,所以,例6,解:,即,情形2.求由两个四元方程构成的方程组确定了两个,二元隐函数的偏导数,解得,同理可得,例7,解一(求导法),同理可得,解二(微分法),内容小结,1.隐函数(组)存在定理,2.隐函数(组)求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用微分形式不变性;,方法3.代公

15、式,第六章,第二节,多元数值函数的微分法,2-5 方向导数和梯度,一、方向导数,问题：,记,定义6.2.3,若极限 存在,记作,即,其中,称此极限值,推广:,计算公式,定理6.2.8,计算公式?,证,特别地,例1,解:,向量单位化,变化率，,即函数在该方向上变化的快慢程度.,其中,即函数值增长最快.,分析:,二、梯度,定义6.2.4,那勃勒算子 又称为梯度算子.,方向,模,(1)可微函数沿梯度方向上升或增长最快;沿负梯度方向下降最快;沿与梯度垂直的方向变化最慢.,(2)可微函数在某点的方向导数沿梯度方向取得最大值;沿负梯度方向取得最小值;沿与梯度垂直的方向等于零.方向导数的最大值是梯度的模.,

16、结论:,例2,解:,所以,1、场的概念,在物理学中,分布有某种物理量的空间区域称为场.,数量场,场中分布的物理量是数量.,例如:温度场、密度场等.,向量场,场中分布的物理量是向量.,例如:速度场、磁场、电场等.,不定常场,场中的物理量随位置、时间变化.(不稳定场),定常场,场中的物理量不随位置、时间变化.(稳定场),三、梯度与数量场的等值线（面）,定常的数量场,定常的向量场,2、数量场的等值线(面),平面数量场,等值线,具有相同数值c的点集.即,例如:地图上的等高线;气象图上的等温线、等压线等.,山或海洋的等高线,则点P处,切向量,法线向量,梯度,梯度与等高线的关系:,而梯度的模等于函数在这个

17、法线,方向上的方向导数,这个,法线方向就是方向导数,取得最大值的方向.,较稠密的方向陡度较大,而较稀疏的方向陡度较小.,可见,地形图上等高线,空间数量场,等值面,例如:在原点处带有电量q的点电荷所产生的电位场,即,梯度,而梯度是一个向量,从而在数量场u(M)的场域中,由,各点的梯度确定了一个新的向量场,称为由u(M)生成,的梯度场.,梯度与等值面的关系:,内容小结,2.方向导数,1.梯度,向量,数值,3.重要关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,可微函数沿梯度方向上升或增长最快;沿负梯度方向下降最快;沿与梯度垂直的方向变化最慢.,可微函数在某点的方向导数沿梯度方向取得最大值;沿负梯度方向取得最

18、小值;沿与梯度垂直的方向等于零.方向导数的最大值是梯度的模.,第六章,第三节,多元向量值函数微分法,3-1 多元向量值函数的导数,3-2 向量值函数的导数的几何应用,3-1 多元向量值函数的导数,一、多元向量值函数的导数,定义6.3.1,也称为导向量.,记为,在该区间上可导,其导函数记为,即一元向量值函数导数的各个分量为向量值函数各分量(数值函数)的导数.,推广:,表示成矩阵形式,即,例1,解,例2,解,二、求导法则,证(4),例3,证,所以,即,即单位向量值函数的导数与其自身垂直.,三、一元向量值函数的导数的几何意义,如图所示,设,则,所以,即割线的方向向量的极限为相应的切线的方向向量.,所

19、以,四、高阶导数,即,物理意义:,速度向量,加速度向量,3-2 向量值函数的导数的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,1.空间曲线为参数方程的情形,法平面,过切点与切线垂直的平面.,例4,解：,切线方程,法平面方程,例5,解：,已知平面的法向量,曲线在任意点处的切向量,依题意,即,并求其方程.,解得,切线方程,切线方程,特别地,故,切线方程,法平面方程,例6,解：,由于,则,所求切线方程,法平面方程,2.空间曲线方程为方程组的情形,即,所以切向量为,确定,视作,参数方程,切线方程,法平面方程,例7,解：,所求切线方程,法平面方程,二、曲面的切平面与法线,1.曲面由(隐式)方程 表示,其参数方

20、程为,不全为零,又,即,记,则有,即,则切平面方程为:,方程为:,例8,解：,则,即,法线方程为,例9,解：,旋转曲面方程,令,法向量,所求向量指向外侧,取“+”号,单位法向量为,例10,解：,则法向量为,已知平面的法向量分别为,依题意,则,所以,解得,切平面方程为,再解例7,则法向量为,切平面方程分别为,所求切线方程为,或,切线的切向量为,所求切线对称式方程为,法平面方程,2.曲面由(显式)方程 表示,切平面方程为,几何解释:,法线方程为,例11,解：,因为,切平面方程为,即,法线方程为,1.空间曲线的切线与法平面,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,空间光滑曲线,切向量,2)

21、一般式情况.,空间光滑曲面,曲面 在点,1)隐式情况.,的法向量,2.曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,2)显式情况.,法向量,第六章,第四节,多元函数的泰勒定理 极值,4-1 多元函数的泰勒公式,4-2 多元函数的极值与最值,4-3 多元函数的条件极值,4-1 多元函数的泰勒公式,其中,当x0=0时,有麦克劳林公式,一、一元函数的泰勒公式,拉格朗日余项,佩亚诺余项,定理6.4.1,则有,其中,称为拉格朗日余项,(1),其中,二、二元函数的泰勒公式,证,由归纳法,由此可得:,例1,解,因为x与y对称,则,余项,故,4-2 多元函数的极值与最值,一、极值,定义6.4.1,例,由定义可知,函数的极

22、值点一定是内点.,定理6.4.2(极值存在的必要条件),证,根据一元函数取得极值的必要条件可知,反例:,定理6.4.3(极值存在的充分条件),证,所以,综上所述,例2,解,由,解得驻点(1,0),(1,2),(-3,0)(-3,2).,(1)在点(1,0)处,(3)在点(-3,0)处,(4)在点(-3,2)处,(2)在点(1,2)处,例3,解,则,解得驻点,代入,令,二、最大值和最小值,理论上:,(3)比较它们的大小,最大(小)者即为最大(小)值.,在实际问题中:,例4,解,先求驻点,令,解得驻点(2,1),再求边界上的最值.,由,故所求最大值与最小值分别为,例5,解,此水箱使用材料的面积,即

23、目标函数,令,解得,得惟一驻点,所以,在体积一定的长方体中,以立方体的表面积最小.,结论,在表面积一定的长方体中,以立方体的体积最大.,4-3 多元函数的条件极值,函数的自变量除了限制在定义域内以外,并无其他约束条件限制的极值问题.,对函数的自变量附加一定约束条件的极值问题(多出现于求实际问题的目标函数最值).,例如,约束条件 s.t,简单情形:可转化为无条件极值.,代入体积得,复杂情形:从约束条件未必能导出某些自变量,难以转化为无条件极值.,无条件极值,条件极值,拉格朗日乘数法,则由隐函数存在定理可知,有,由一元可导函数取得极值的必要条件可得,根据隐函数求导公式,代入得,变形,得到一个新的目标函数,从而将条件极值转化为无条件极值.,(1)构造辅助函数,的步骤:,对于实际问题,只要方程组的解惟一,则对应解的点即为所求的最值点.,称这种求条件极值的方法为拉格朗日乘数法.,推广:自变量多于两个,而约束条件多于一个的情形.,例6,解,约束条件,设拉格朗日函数,解得,即有惟一极值点,由问题本身可知最大值一定存在,例7,解,设内接长方体在第一卦限的顶点,则内接长方体的体积为,且约束条件为,由对称性,设拉格朗日函数,解得,即得惟一驻点,