微分中值定理与导数的应用教案课件.ppt

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1、回顾闭区间上连续函数的性质 1.有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定能取得它的最大值和最小值。,推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值与最小值之间的任何值.,2.零点定理：,3.介值定理：,一、罗尔(Rolle)定理,第一节,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质变化率，它是函数在该点的一个局部性质。有时候，我们要研究函数在整个定义域上的变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体性质。函数的局部性质与整体性质是通过中值定理表达的。这些中值定理是微分学的基础

2、，它联系着导数的许多应用。,费马(fermat)引理,一、罗尔(Rolle)定理,且,存在,证:设,则,费马,证毕,这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.,典型情形的证明思想,中值定理演示（1）,可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.,通常称导数为零的点为函数驻点（或称为稳定点，临界点）。,罗尔（Rolle）定理,满足:,(1)在区间 a,b 上连续,(2)在区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,证:,故在 a,b 上取得最大值,M 和最小值 m.,若 M=m,则,因此,若 M m,则 M 和 m

3、中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1)定理条件条件不全具备,结论不一定,成立.,则由费马引理得,例如,使,2)定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在(a,b)内可导,且,在(a,b)内至少存在一点,证明提示:设,证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.,练习1：P134 1,由罗尔定理可知：,又,例1.证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根.,证:1)存在性.,则,在 0,1 连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2)唯一性.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,练习2：P134 7,证:令,若方

4、程,有一个正根，,证明方程,必有一个小于 的正根.,并指出它们所在的区间。,分别在区间(1,1),(1,2),(2,3)内。,证：,显然,f(x)分别在闭区间1,1,1,2,2,3上连续，,5.设函数f(x)=(x+1)(x1)(x2)(x3)，,证明方程f(x)=0有三个实根，,且 f(1)=f(1)=f(2)=f(3),.由罗尔定理，,在(1,1),(1,2),(2,3)内分别存在点1,2,3，,使得 f(1)=f(2)=f(3)=0,即方程f(x)=0有三个实根，,在开区间(1,1),(1,2),(2,3)内可导，,二、拉格朗日中值定理,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,(2)在区间

5、(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,拉氏,证毕,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推论:若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证:在 I 上任取两点,格朗日中值公式,得,由 的任意性知,在 I 上为常数.,令,则,例2.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,分析,且,证：,练习3：P134 14,例3.证明不等式

6、,分析：,欲证上述不等式成立，,只须证：,只须证：,为此只须证：,关键！,构造,例3.证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造一个辅助函数,并定出一个适当的区间,使该辅助函数在区间上满足定理的条件,然后由中值所在的位置,放大或缩小,推出要证的不等式.,方法：设辅助函数、选区间、应用定理、放大缩小,放大或缩小,构造有关的函数,确定应用区间,应用Lagrange定理,计算导数后的等式,转化为不等式,解题思路：,练习4：P134 9,设,，证明:,证:设,中值定理条件,即,因此,即,因此应有,又 01,所以 bn1 n1 an1,练习4：P134

7、 11(1),证 设f(x)=arctan x,不妨设ab.,可知必定存在一点,使得,因此arctan x在a,b上满足拉格朗日中值定理条件.,由于，因此,即,练习4：P134 11(2),三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1)在闭区间 a,b 上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在开区间(a,b)内,至少存在一点,使,满足:,问题转化为证,柯西,构造辅助函数,证:作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例4.设,至少存在一点,使

8、,证:问题转化为证,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,证明,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,费马引理,作业,P134 6,8,10,14,预习：第二节 洛必达法则,提示:,题*15.,题14.考虑,第二节,思考与练习,1.填空题,1)函数,在区间 1,2 上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,上.,方程,2.设,且在,内可导,证明至少存,在

9、一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,4.思考:在,即,当,时,问是否可由此得出,不能!,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,费马(1601 1665),费马,法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,历经358年,直到199

10、3年才由美国普林斯顿大学的安德,鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.,引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都可直接或,间接地追溯到他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的是为巴黎综合学校,编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分,在几何上的应用 等,有思想有创建,广泛而深远.,对数学的影响,他是经典分析的奠基人之一,他为

11、微积,分所奠定的基础推动了分析数学的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,备用题,求证存在,使,1.设,可导，且,在,连续，,证:设辅助函数,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,使得,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,练 习,证:,例5.试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例5.试证至少存在一点,使,法2 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,并指出它们所在的区间。,分别在区间(1,1),(1,2),(2,3)内。,证：

12、,显然,f(x)分别在闭区间1,1,1,2,2,3上连续，,5.设函数f(x)=(x+1)(x1)(x2)(x3)，,证明方程f(x)=0有三个实根，,且 f(1)=f(1)=f(2)=f(3),.由罗尔定理，,在(1,1),(1,2),(2,3)内分别存在点1,2,3，,使得 f(1)=f(2)=f(3)=0,即方程f(x)=0有三个实根，,在开区间(1,1),(1,2),(2,3)内可导，,例3.设函数 f(x)=(x1)(x2)(x3),试判断方程 f x 有几个实根,分别在何区间?,解:因为 f(1)=f(2)=f(3),且f(x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,由罗尔定理,1(1,2),使 f(1;,同理,2,使 f(2;,又因f(x是二次方程,至多两个实根,故f(x有两个实根,分别位于(1,2)和(2,3)内.,应用:罗尔定理常用来讨论方程根的情况，尤其与某函数的一阶导数有关的方程.,故,从而,证,