弦切角定理PPT课件.ppt

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1、弦切角,P,A,B,1,PAB,?,我们曾经学习过的有关于圆的角,O(A),B,P,O,A,与圆心,重合,PAB,?,为圆心角,点,A,运动到圆上,O,A,B,P,PAB,?,为圆周角,PA,绕,A,旋,转,使,PA,与,圆,相,切,A,P,PAB,?,此时,是什么角？,B,O,PAB,O,?,答：,是圆,的,弦切角,2,顶点在圆上，,一边与圆相交，,另一边与圆相切,PAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？,P,A,B,m,的角叫做,弦切角,是弦切角,PAB,所夹的弧。,?,AmB,3,顶点在圆上，一边与圆相交，另一边,与圆相切,的角叫做,弦切角。,B,A,C,A,B,C,A,B,C,A,B,

2、C,A,B,C,下面五个图中的,BAC,是不是弦切角？,4,C,上。,圆心在,为直角，,AC,BAC,?,C,圆心在角外。,为锐角，,BAC,?,.O,A,B,C,圆心在角内。,为钝角，,BAC,?,、劣弧、优弧。,所夹的弧分别是：半圆,上图中,BAC,?,如上图,的圆周角,现在分别作出他们所对,APC,?,A,B,P,.O,D,.O,A,B,P,D,P,BAC,APC,?,?,猜想：弦切角,与圆周角,的关系,从数学的角度看，弦切角能分成几大类？,5,求证：,BAC,P,O,A,B,C,P,m,O,A,B,C,P,m,已知：,AC,是,O,的弦，,AB,是,O,的切线，,AmC,是弦切角,BA

3、C,所,夹的弧，,P,是,AmC,所对的圆周角。,O,A,B,C,P,m,BAC,Q,(1),圆心,O,在,BAC,的外部,BAQ,ACQ,90,BAC,90,CAQ,Q,90,CAQ,作,O,的直径,AQ,，连结,CQ,Q,(2),圆心,O,在,BAC,的边,AC,上,AB是,O,的切线，,BAC,90,BAC,P,又,AmC,是半圆，,P,90,Q,(3),圆心,O,在,BAC,的内部,BAC,P,DAC,Q,P,180,Q,作,O,的直径,AQ,，,连结,CQ,BAC,180,DAC,弦切角等于所夹,弧对的圆周角,。,D,6,1=,；,2=,；,3=,；,4=,。,课堂练习：,1,、已知

4、,AB,是,O,的切线,A,为切点,由图填空：,O,O,O,A,A,A,B,B,B,30,o,70,o,25,o,3,1,2,4,30,o,70,o,65,o,80,o,40,o,弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半,.,7,2,、选择：,AB,为,O,直径，,PC,为,O,的切线，,C,为切点，,若,BPC=30,，则,BCP=,（,）。,A,、,30,B,、,60,C,、,15,D,、,22.5,P,A,B,C,O,A,8,3,、如图：四边形,ABCD,为圆内,接四边形，,AB,是直径，,MN,切,O,于,C,点，,BCM=38,，那么,ABC,的,度数是（,）。,A,、,38,B,、,5

5、2,C,、,68,D,、,42,38,B,O,A,B,C,M,N,D,9,弦切角定理：,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。,DAB,EAC,推论：,两个弦切角所夹的弧相等，,那么这两个弦切角相等。,?,?,AB=AC,如图，,DE,切,O,于点,A,，,AB,、,AC,是,O,的弦，若,，那么,DAB,与,EAC,是否相等？为什么？,B,D,E,C,A,O,10,例,1,：,如图：已知,AB,是,O,的直,径，,AC,是弦，直线,CE,和,O,切于,点,C,，ADCE于,D,。,求证：,(1)AC,平分,BAD,(2)AC,2,=2AD,AO,O,E,D,C,B,A,例题解析,你还能用其他方法解

6、答,吗？试试看！,有弦切角，常连结弦切角,所夹弧所对的圆周角,。,11,O,A,B,C,D,E,2,1,3,例,1:,如图，已知,AB,是,O,的直径，,AC,是弦，直,线,CE,和,O,切于点,C,，ADCE，垂足是,D,，求证：,AC,平分,BAD.,例题解析,(,思路,2),连结,OC,由切线性质,可得,OC,AD,于是,有,2=,3,又由于,1=,3,可证得,1=,2,12,变式练习,如上图，连结,DE,、,DF,，,你能找出图中有哪些相,等的角,哪些相似三角形,?,例,2:,如图,AD,是,ABC,中,BAC,的平分线,经过点,A,的,O,与,BC,切于点,D,与,AB,、,AC,分

7、别相交于,E,、,F.,求证：,EF,BC.,B,A,E,D,C,F,O,证明：连结,DF.,AD,是,BAC,的角平分线，,BAD=,DAC.,又,EFD=,BAD,，,EFD=,DAC.,又,O,切,BC,于,D,FDC=,DAC.,FDC=,EFD,EF,BC,13,1.,如图，,AC,是,O,的弦，,BD,切,O,于,C,，,则图中弦切角有,个,.,4,若,AOC=120,0,则,ACD=,.,O,B,D,A,C,60,0,2.,如图，直线,MN,切,O,于,C,，,AB,是,O,的直,径,若,BCM=40,0,则,ABC,等于（,）,A.40,0,B.50,0,C.45,0,D.60

8、,0,M,C,N,B,A,O,3.,已知,O,是,ABC,的内切圆,D,E,F,为切点,若,A:,B:,C=4:3:2,则,DEF=,FEC=.,B,50,0,70,0,课堂练习：,ACD,ACB,OCD,OCB.,A,B,F,E,D,C,A=80,0,B=60,0,C=40,0,.,O,DOF=100,0,DEF=,50,0,.,C=40,0,CE=CF,.,FEC=,70,0,.,14,6.,如图,AB,为,O,的直径,BC,、,CD,为,O,的切线,B,、,D,切点,.,求证,:(1)AD/OC;(2),若,O,的半径等于,1,求,AD,OC,的值,.,D,C,B,O,A,证明,:(1)

9、,BC,、,CD,是,O,的切线，,B,、,D,切点,.,OBC=,ODC=90,0,.,又,OA=OD,OAD=,ODA.,而,BOD=,OAD+,ODA=,2,OAD,且,BOD,2,BOC.,BOC=,DOC.,又,OB=OD,OC=OC.,OAD,BOC,AD/OC.,Rt,OBC,Rt,ODC.,(2),连接,BD,OAD,BOC,Rt,OBC,Rt,ADB.,15,2,、定理的发现,1,、概念的引入,小结：,顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相,切的角,叫做弦切角,。,弦切角定理：,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角,。,推论：,两个弦切角所夹的弧相等，,那么这两个弦切角相等。,16

10、,一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是,通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联,系起来，因此，当已知有切线,时,常添线构建弦切,角,或,添切点处的半径,应用切线的性质。,4,、应用与推论,3,、定理的证明,小结：,你掌握了吗？,17,相交弦定理、切割线定理、割线定理,18,CP,PD=AP,PB,1,、如右图，由射影定理可以得,出什么关系式？,O,A,P,B,C,2,、根据垂径定理，改写上式：,O,A,P,B,C,D,19,将,AB,、,CD,改为两条对一般情形的,相交弦，上式还会成立吗？,O,A,P,B,C,D,A,C,B,D,P,O,AP,PB,=,CP,PD,？,20,A,C,B,

11、D,O,P,同学们，你们现在可以写出证明吗？,21,O,一,1,、定理：,圆内的两条相交弦，被交点分,成的两条线段长的积相等。,2,、弦,AB,和,CD,交与,?,O,内一点,P,，那么,PA,PB=PC,PD,O,A,B,C,D,P,相交弦定理,二,1,、推论：,如果弦与直径垂直相交，那么,弦的一半是它分直径所成的两条线段的,比例中项。,2,、,CD,是弦，,AB,是直径，,CD,?,AB,，垂足,是,P,，,PC,2,=PA,PB,C,D,A,B,P,22,D,A,C,B,P,PD,PC,PB,PA,?,?,?,交点,P,在圆内,B,P,D,C,A,交点,P,在圆外,思考,？,23,O,C

12、,P,A,D,B,已知：点,P,为,O,外一点，割线,PBA,、,PDC,分别,交,O,于,A,、,B,和,C,、,D,（如下图）,求证：,PA?PB=PC?PD,证明：,连接,AC,、,BD,，,四边形,ABDC,为,O,的内接四边形,PDB=,PAC,，,又,P=,P,PBD,PCA,PD,：,PA=PB,：,PC,PA?PB=PC?PD,割线定理：,从圆外一点引圆的两,条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条,线段的乘积相等,24,O,B,P,C(D),A,O,B,D,A,C,P,PA?PC=PB?PD,O,C,P,A,D,B,PA?PB=PC?PD,点,P,从圆内移动到远外,点,C,

13、、,D,重合为一点,会有什么结论？,25,切割线定理：,从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，,这一点到割线与圆的交点的两条线段的乘积等于,切线长的平方,O,B,P,C(D),A,PC,切,O,于点,C,点,=,PA?PB=PC,2,26,O,B,P,C,A,D,AB,交,CD,于点,=,PA?PB=PC?PD,O,B,P,C,A,O,B,C,A,D,P,PC,切,O,于点,C,点,=,PA?PB=PC,2,割线,PCD,、,PAB,交,O,于点,C,、,D,和,A,、,B,=,PA?PB=PC?PD,思考：从这几个定理的结论里,大家能发现什么特征？,结论都为乘积式,几条线段都是从同一点出发,都

14、是通过三角形相似来证明,（都隐含着,三角形相似,）,我们学过的定理中还有结论,为乘积式的吗？,27,交端,交端,=,交端,交端,PA,PB=PD,PC,PT,2,=PA,PB,PC,PD,=PA,PB,相,交,弦,定,理,切,割,线,定,理,切,割,推,线,定,论,理,2,PA,AB,PC,CD,PT,PA,AB,?,?,?,?,?,?,?,28,1.,填空题,(1),如图，弦,AB,和,CD,相交于,O,内一点,G,，则有,GC,GD=,C,G,A,D,B,GB,GA,M,A,Q,N,B,(3),如图，弦,AB,垂直于,O,直径,MN,于,Q,，,MN,：,QN=5,：,1,，,AB=8,，

15、则,MN=,，,10,(2),已知：如图，弦,AB,与,CD,相交,于,P,且,PC=PD,AP=3,，,PB=1,，,CD=,O,C,D,A,B,P,3,2,29,(4)O中，弦,CD,把,AB,分成,4cm,和,3cm,两部分，,CD,被,AB,分为,3,：,1,两,部分，则这两部分长分别是,cm,和,cm.,2,6,30,3,（,1,）已知,PAB,、,PCD,是圆,O,的割线，,PA=3,，,AB=5 CD=2,，则,PC,；,（,2,）已知：,PAB,是圆,O,的割线，,PA=6,，,AB=4,，,PO=10,，,则,PC,；,（,3,）已知,PT,是圆,O,的切线，,PA=4,，,

16、PT=6,，,则圆,O,的面积,。,P,A,B,C,D,O,P,A,B,P,O,T,A,C,31,例,2,：已知：如图，,AB,是圆,O,的弦，,P,是,AB,上的一点，,AB=8.5cm,，,OP=3cm,，,PA=6cm,，求圆,O,的半径。,O,A,B,P,D,C,32,例,3,、如图：在,O,中，,P,是弦,AB,上一点，,OP,PC,，,PC,交,O,于,C,求证：,PC,2,PA,PB,O,A,B,C,P,D,33,例,3,已知,:,如图,O,的割线,PAB,交,O,于点,A,和,B,，,PA=6cm,，,AB=8 cm,，,PO=10.9cm,，求,O,的半径。,解,:,设,O,

17、的半径为,r,PO,和它的延长线交,O,于,C,、,D,，由切割线定理的推论，有：,PA,PB=PD,PC,PA=6 PB=6+8=14,PC=10.9-,r PD=10.9+r,故,(10.9-r)(10.9+r)=6,14,取正数解,得,r=5.9(cm),答,:,O,的半径为,5.9cm,34,另解,?,利用垂径定理,35,法三,:,?,利用切割线定理,T,36,练习三,：,如图，圆,o,1,和圆,o,2,都经过点,A,和,B,，点,P,在,BA,的延长线上。过点,P,作圆,O,1,的割线,PMN,交圆,O,1,于,M.N,，作,圆,O,2,的切线,PC,交圆,O,2,于,C,。求证：,

18、PM,PN=PC,2,。,P,N,B,A,C,M,?,o,1,?,o,2,证明,:,PC,切圆,O,2,于,C,PAB,是圆,O,2,的割线,PC,2,=PA,PB,PAB,是圆,O,1,的割线,PMN,是圆,O,1,的割线,PA,PB=PM,PN,PM,PN=PC,2,37,P,B,A,?,o,1,?,o,2,练习四,：,如图，圆,o,1,和圆,o,2,都经过点,A,和,B,，点,P,在,BA,的延长线上。过点,P,作圆,O,1,的切线,PC,切圆,O,1,于,C,，作,圆,O,2,的切线,PD,切圆,O,2,于,D,。求证：,PC=PD,。,C,D,38,P,B,A,?,o,1,?,C,D

19、,练习五,：,如图，圆,o,1,，,圆,o,2,，,圆,o,3,都经过点,A,和,B,，点,P,是,BA,的延长线上一点。,PC,，,PD,，,PE,分别与圆,o,1,，,圆,o,2,，,圆,o,3,相切于,C,，,D,，,E,，求证：,C,，,D,，,E,在同一个圆上。,提示：,PC=PD=PE,E,?,o,3,o,2,39,提高题：,如图，,PA,切圆,O,于,A,，,PBC,是圆,O,的割线，,D,是,PA,的中点，,DC,交圆,O,于,E,。,求证：,1,）,PD,2,=DE?DC,；,2,）,1=,C,。,P,A,E,B,C,O,?,1,F,G,分析：,思考题,:,若延长,PE,交圆,O,于,F,BF,交,CD,于,G,求证,:PC?BG=PD?BC,D,P,1.PD=DA,且,DA,2,=DE?DC,2.PD:DE=DC:PD,PDE=,CDP,则,:,PDE,CDP,从而,:,1=,C,40,