平稳随机过程分析课件.ppt

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1、1,本章要解决的问题,随机信号是否也可以应用频域分析方法?,傅里叶变换能否应用于随机信号？,相关函数与功率谱的关系,功率谱的应用,白噪声的定义,2,3.1 随机过程的谱分析,一 预备知识,1 付氏变换,设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)满足,在 范围内满足狄利赫利条件,绝对可积，即,信号的总能量有限，即,有限个极值有限个断点断点为有限值,3,则 的傅里叶变换为：,其反变换为：,称 为 的频谱密度，也简称为频谱。,包含：振幅谱 相位谱,4,2 帕塞瓦等式,即,能量谱密度,3.1.1 实随机过程的功率谱密度,5,二 随机过程的功率谱密度,应用截取函数,6,当x(t)为有限值时，的傅里叶变

2、换存在,应用帕塞瓦等式,除以2T,取集合平均,7,令，再取极限，交换求数学期望和积分的次序,功率Q,非负,存在,（1）Q为确定性值，不是随机变量,（2）为确定性实函数。,8,两个结论：,1,表示时间平均,若平稳,2,9,功率谱密度：描述了随机过程X(t)的 功率在各个不同频率上的分布 称为随机过程X(t)的功率谱密度。,对 在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。,对于平稳随机过程，有：,10,例：设随机过程，其中 皆是实常数，是服从 上均匀分布的随机变量，求随机过程 的平均功率。,解：,不是宽平稳的,11,12,3.1.2 实平稳功率谱密度与自相关函数之间的关系,确定信号：,

3、1 维纳辛钦定理,若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：,13,14,推论：对于一般的随机过程X(t)，有：,平均功率为：,利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳辛钦定理表示成：,15,3单边功率谱,由于实平稳过程x(t)的自相关函数 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。,16,例：平稳随机过程的自相关函数为，A0，求过程的功率谱密度。,解：应将积分按 和 分成两部分进行,17,例：设 为随机相位随机过程其中，为实常数 为随机相位，在 均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随

4、机过程，自相关函数为 求 的功率谱密度。,18,解：注意此时 不是有限值，即不可积，因此 的付氏变换不存在，需要引入 函数。,19,例：设随机过程，其中 皆为常数，为具有功率谱密度 的平稳随机过程。求过程 的功率谱密度。,解：,20,平稳随机过程功率谱密度的性质,一、功率谱密度的性质,1 功率谱密度为非负的,即,证明：,2 功率谱密度是 的实函数,21,3 对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，,即,又,22,4 功率谱密度可积，即,证明：对于平稳随机过程，有：,平稳随机过程的均方值有限,23,二 谱分解定理,1 谱分解,在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为 的有理函数。在实

5、际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近。这时 可以表示为两个多项式之比，即,24,若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：,25,据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于 的零、极点的如下性质：,（1）为实数。,（2）的所有虚部不为0的零点和极点都成复共轭出现。,（3）的所有零、极点皆为偶重的。,（4）MN。,26,2 谱分解定理,根据上面的性质，可将 分解成两项之积，即：,其中,（零极点在s上半平面）,（零极点在s下半平面）,且,谱分解定理,此时,27,3 为有理函数时的均方值求法,（1）利用

6、,（2）直接利用积分公式,（3）查表法,（4）留数法,28,补充知识：留数定理,设为 复变量s的函数，且其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点,则：,一阶留数,二阶留数,29,上式积分路径是沿着 轴，应用留数法时，要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半园积分。根据留数定理，不难得出,30,功率谱密度和复频率面,31,例:,考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度,求过程的均方值,解:用复频率的方法来求解。,用 代入上式得用复频率s表示得功率谱密度：,32,因式分解：,在左半平面内有两个极点：-1和-3。于是可以分别计算这两个极点

7、的留数为：,故：,33,3.2 两个实随机过程的互功率谱密度,一、互谱密度,考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为 和，定义两个截取函数、为：,34,因为、都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围(-T，T)内，两个随机过程的互功率 为:（注意、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）,由于、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:,35,注意到上式中，和 是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令 得：,36,定义互功率谱密度为：,则,37,同理，有：,且,38,二、互谱密度和互相关函数的关系,定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(

8、t)，其互谱密度 与互相关函数 之间的关系为,即,39,若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有,即,结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。,40,三、互谱密度的性质,性质1：,证明：,（令）,41,性质2：,证明：,（令）,同理可证,42,性质3：,证明：类似性质2证明。,性质4：,若X(t)与Y(t)正交，则有,证明：若X(t)与Y(t)正交，则,所以,43,性质5：,若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值 和，则,证明：,因为X(t)与Y(t)不相关，所以,（）,44,性质6：,45,解：,46,

9、3.3 白噪声,一、理想白噪声,47,自相关函数为,自相关系数为,48,总结：,（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。,（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。,49,二、限带白噪声,1低通型,50,低通型限带白噪声的自相关函数为,51,图3.11示出了低通型限带白噪声的 和 的图形，注意，时间间隔 为整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为0，相关函数值为0）。,52,2.带通型,带通型限带白噪声的功率谱密度为,由维纳辛钦定理，得到相应的自相关函数为,53,带通型限带白噪声的 和 的图形,54,三、色噪声,按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。,55,小 结,1.随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：,但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即,若随机过程X(t)平稳，则,