幂级数展开课件.pptx

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1、第三章 幂级数展开(4),函数有精确表示和近似表示：精确表示（解析表示）表示为初等函数通过四则运算；近似表示（逼近）：将简单/复杂的问题，用通用的方法来表示。简化计算，节省时间。级数表示 研究如何用幂级数不断的逼近原函数。,1,2,函数级数表示的意义：利用级数计算函数的近似值；级数法求解微分方程；以级数作为函数的定义；奇点附近函数的性态。,3.1 复数项级数,（一）复数项级数的概念,3,级数是无穷项的和,复无穷级数,原级数成为,这样复级数 归结为两个实级数 与，实级数的一些性质可移用于复级数。,4,（二）收敛性问题,1、收敛定义：,2、柯西收敛判据（级数收敛的充分必要条件）：对于任给的小正数

2、必有N 存在，使得 nN 时，式中 p 为任意正整数。,前n+1项和 当n，有确定的极限，便称级数收敛，S称为级数和；若极限不存在，则称级数发散。,5,3、绝对收敛级数若 收敛，则 绝对收敛.,绝对收敛级数改变各项先后次序，和不变.两个绝对收敛级数逐项相乘，得到的级数也是绝对收敛的，级数的和为两级数和之积.,6,(三)复变函数项级数,的每一项都是复变函数。实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。,复变函数项级数有一个定义域 B。,收敛-复变函数项级数在其定义域 B 中每一点都收敛，则称在 B 中收敛。,7,柯西收敛判据(复变项级数收敛的充分必要条件)：,对B内每点 z，任

3、给小正数 0，必有 N(,z)存在，使得当 nN(,z)时，,式中 p 为任意正整数。N一般随 z不同而不同。,但如果对任给小正数 0，存在与 z无关的 N(),使得 nN()时，上式成立，便说 在B内一致收敛。,8,（四）一致收敛级数的性质,记级数和为w(z)。在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项 wk(z)都是B内的连续函数，则级数的和w(z)也是B内的连续函数。,逐项求积分 在曲线 l 上一致收敛的级数，如果级数的每一项 wk(z)都是l上的连续函数，则级数的和w(z)也是l上的连续函数，而且级数可沿 l 逐项求积分。,9,逐项求导数设级数 在 中一致收敛，wk(z)(k=0,1,2,

4、)在 中单值解析，则级数的和w(z)也是 中的单值解析函数,w(z)的各阶导数可由 逐项求导数得到，即：且最后的级数 在 内的任意一个闭区域中一致收敛。,10,11,3.2 幂级数（一）定义,(3.2.1),最简单的解析函数项级数是幂级数，其各项均为幂函数其中 z0,a0,a1,a2,为复常数。这样的级数叫作以 z0为中心的幂级数。,12,13,2、根式判别法：,14,3、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛,幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！,作，在,有,对正的常数项级数,应用比值判别法，有,15,（三）例题例1 求 的收敛圆。t 为复数,收敛圆内部为,解：收敛圆半径,其实，,对于,16,例 2

5、求 的收敛圆，z 为复数。解：,z 平面收敛圆,t 平面收敛圆,17,（四）幂级数在收敛圆内的性质1、幂级数每一项均是z的解析函数，而且在收敛圆内任一闭区域中一致收敛，所以级数的和w(z)是收敛圆内的一个解析函数。2、幂级数在收敛圆内可逐项积分3、幂级数在收敛圆内可逐项求导,且幂级数逐项求导或积分后收敛半径不变。,18,4.幂级数的积分表示,在一个比收敛圆 CR 内稍小的圆 CR1中幂级数绝对且一致收敛，故可沿CR1这个圆逐项积分。,记 CR1上点为，而CR1内任一点为 z，则圆上的幂级数为,利用柯西公式得,用,(有界)乘后仍一致收敛，,z,此页内容不讲！,19,本节作业：第37页第3题（1，

6、3，4）。,20,（一）泰勒定理：设 f(z)在以 z0 为圆心的圆 CR 内解析，则对圆内的任意 z 点,f(z)可展为幂级数，其中展开系数为 为圆CR 内包含z且与CR 同心的圆。,为 上的点，z0称为该级数的展开中心。,3.3 泰勒（Taylor）级数展开,21,其中,证明：作,因为f(z)在单闭区域上解析，由柯西公式(2.4.3),展开（注意）,(3.3.1),22,将（3.3.3）代入（3.3.1）逐项积分,(3.3.3),可以证明（p39），以 z0 为中心的泰勒级数是唯一的。,泰勒级数的收敛半径R等于展开中心 z0至被展开函数的最近奇点b的距离，即 R=b-z0,23,收敛半径,

7、（二）将解析函数展成泰勒级数的方法,1、直接求导计算最普通的办法,24,例 在 z0=1的邻域上将ez 展开。解,故,收敛半径,例 在 z0=0 邻域的上将 f1(z)=sin z 和 f2(z)=cos z展开.解,25,26,类似,收敛半径,收敛半径,27,例 在 z0=1 邻域的上将 展开。解,28,收敛半径 R=1。n=0的那一支为主值分支。,例 在 z0=0的邻域上将 展开(m不是整数).解,29,于是,收敛半径 R=1。式中n=0为主值分支。(3.3.11)非整数二项式定理。,(3.3.11),30,于是,收敛半径 R=1。式中n=0为主值分支。非整数二项式定理。,若m 为整数,3

8、1,若存在R,使f(z)在以 z=0为圆心，R为半径的圆外（包括）解析，,2*、无穷远点邻域内的泰勒展开,有,3、利用初等函数的泰勒级数进行展开,基本公式,对于其他函数，总是尽量利用这些基本公式,32,33,例(1),例(2)以z=0为中心，将有理函数 Taylor展开,例(3)以z=0为中心，将函数 泰勒展开,34,4、在收敛圆内逐项求导或逐项积分,例(4)以z=0为中心，将函数 展开,解：,例(5)以z=1为中心,将函数 在区域 展开,35,例(6)在z=0的邻域上将多值函数 ln(1+z)展开,n=0为主值分支，在主值分支 ln1=0。,36,另解：利用公式 p40（3.3.10）,（3

9、.3.10）,有,例(6)在z=0的邻域上将多值函数 ln(1+z)展开,37,本节作业：第41页(1)利用 级数逐项积分,取主值arctg0=0；(2)利用（3.3.11）展开；(8)利用 cos z 或 sin z 级数展开。,38,3.4 解析延拓,这个答案是已知的,(1),(2),(1)(2)两式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛圆外等式不一定成立。等式的左边仅在收敛圆内有意义，而等式的右边除 t=1(1式)或 z=i(2式),在整个复平面上解析。因此，问：已知，求 在 之外的 F(t)。,39,已知 f(z)在 b 中解析，若 F(z)在 B(b B)中解析，且在 b 中F(z)=f(

10、z)。称F(z)为 f(z)在(B-b)中的解析延拓。采用解析延拓的办法可以扩大函数的定义域和解析范围。,解析延拓的方法,在 b 中取点 z0，又取 z0 的一个邻域，将 f(z)展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b 进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。,可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z)的解析延拓是唯一的。这样，可以采 用某些最方便的方法来进行解析延拓。,3.5 洛朗（Laurent）级数展开（一）双边幂级数,正幂部分有收敛半径，R1，引入新变量 负幂部分成为有收敛半径，其在 内部收敛,即在 的外部收敛。若 R2 R

11、1 级数发散。,40,41,（二）定理,设f(z)在环形区域 的内部单值解析，则对环域上任一点 z，f(z)可展为幂级数,其中,路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。,(3.5.3),(3.5.4),42,证：作,f(z)在闭环形区域 上解析，应用复连通区域上的柯西公式,沿,沿,43,代入积分,第二项中，令 k=-(l+1)，l=-(k+1)，则成为,顺时针,逆时针,逆时针,44,把两部分合并起来有,(3.5.3),C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。,其中,洛朗级数,45,关于洛朗级数展开的特别说明（p45）(1)尽管上式中含有(z-z0)的负幂次项，而这

12、些项在z=z0 点是奇异的，但 z0点可以是也可以不是函数 f(z)的奇点；(2)尽管求展开系数ak 的公式与 Taylor 展开系数的积分公式形式一样，但ak f(k)(z0)/k!,不论z0,是否 f(z)的奇点.若z0 为f(z)的奇点,则f(k)(z0)根本不存在;若 z0 不是f(z)的奇点,则f(k)(z0)存在,但仍是ak f(k)(z0)/k!。因为 成立的条件是在以C为边界的区域上 f(z)解析，而现在区域上有 f(z)的奇点（若无奇点就无需考虑洛朗 展开了）,46,洛朗 级数 展开也是唯一的。因此可用各种方法求一个函数的洛朗展开。,(3)如果只有环心 z0 是 f(z)的奇

13、点，则内圆半 径可以无限小，z 可以无限接近 z0,这时称（3.5.3）为f(z)在它的孤立奇点 z0 邻域上的 洛朗展开式。下节用以研究函数在其孤立 奇点附近的性质。,47,例1 在z0=0 的邻域上将 f(z)=sinz/z展开,重新定义,z0=0时 f(z)无定义，但在挖去原点的环域中,无负幂次项,48,例2 在 的环域上将 f(z)=1/(z2-1)展开,解,f(z)的奇点不是展开中心 z=0，而是z=1,-1。还是利用公式展开,无限多负幂次项,49,例3 在 z0=1 的邻域将 f(z)=1/(z2-1)展开解：,其中,于是,f(z)的奇点是 z=1,-1，去心邻域，(z-1)的幂级

14、数,出现-1次幂项,50,例4 在z0=0 的邻域将 展开,解,无限多负幂次项,51,（三）求函数洛朗级数展开方法,找出函数的奇点；以展开中心为圆心，以奇点到展开中心的距离为半径作圆；这些圆把复平面化分为若干个展开区域，将函数在各个区域上分别展开。,（1）直接法：由定义求.太繁杂，一般不用。（2）间接法：借助一些常用函数的级数展开式，以唯一性为依据，运用幂级数的性质、代数运算、求导和积分等得到解析函数的洛朗展开式。具体步骤：,52,例 以 z=0 为中心将 函数 展开,(1),解 在复平面中f(z)仅有两个奇点：z=1和z=2，故在复平面中以z=0为中心，可以在以下三个区域进行展开。,(2),

15、(3),54,本节作业：第47页（3，10，14）。,55,3.6 孤立奇点的分类在不同类型的奇点附近，函数具有不同的性质.(一)孤立奇点的定义若函数 f(z)在某点 z0 不可导。而在 z0 的任意小邻域内除z0 外处处可导，便称 z0 为 f(z)的孤立奇点。若在 z0 点的无论多么小的邻域内，总可以找到除 z0 以外的不可导的点，便称 z0 为 f(z)的非孤立奇点。,例1 z=0 是 函数 f(z)=z(z-1)-1的孤立奇点，因为在以z=0 为圆心，R1 的圆内，除 z=0 外，无其它不可导点。例2 z=0 是函数 sin(1/z)-1 的非孤立奇点，因为该函数的 奇点为 zn=1/

16、n,n=0,1,2.,只要 n 足够大，1/n 可以任意接近于 z=0,即在 z=0 的无论多么小的邻域内，总可以找到函数的其它奇点。,56,(二)孤立奇点的分类设z0 是单值函数 f(z)的孤立奇点，则在 z0 的去心邻域 0|z-z0|R 上,可展成 洛朗 级数：正幂部分：解析部分，负幂部分：主要部分,若展式不含负幂项：z0为 f(z)的可去奇点若展式含有限个负幂项：z0 为f(z)的极点若展式含无限个负幂项：z0 为f(z)的本性奇点,（三）函数在孤立奇点邻域的性质1、可去奇点,57,有,定义,则,为Taylor 展开。例p45（sin z/z）,可去奇点今后将不作为奇点看待.,2、极点

17、,58,设 z0 是 f(z)的极点，则当z0 满足以下三条中任一条时，均为 f(z)的m阶极点。,，其中(z)在 中解析,(z0)0；(z)=f(z)-1以 z=z0 为m阶零点；若(z)在z0点解析，且(z0)=0，称z0点为(z)的零点；若(z0)=(z0)=(m-1)(z0)=0,(m)(z0)0,z0点称为(z)的m阶零点。非零的有限值。,59,3、本性奇点,极限 与 zz0 的方式有关，或称无极限。,60,（四）无穷远点1、无穷远点为孤立奇点的定义 设f(z)在点的去心邻域 解析，则点为f(z)的孤立奇点。其洛朗 级数为,负幂部分为解析部分，正幂部分为主要部分,61,3）如果洛朗展开包含无限个正幂项，z=为 f(z)的本性奇点。当 z，f(z)之值不定。,1）如果洛朗展开不含正幂项，z=为 f(z)的可去奇点；,2）如果洛朗展开包含有限个正幂项，z=为f(z)的极点；,2、孤立奇点的分类,