矩形的性质和判定 教师.docx
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1、矩形的性质和判定 教师1.3 矩形的性质和判定 1.3 矩形的性质和判定 学习目标: 1、学会识别矩形; 2、掌握矩形的概念、判定和性质,会用矩形的性质和判定解决简单的问题; 3、会运用矩形的知识解决有关问题, 重点:掌握矩形的性质,并学会应用 难点:理解矩形的特殊性 1矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,还具有自己独特的性质: 边的性质:对边平行且相等 角的性质:四个角都是直角 对角线性质:对角线互相平分且相等 对称性:矩形是中心对称图形,也是轴对称图形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形中,30角所
2、对的边等于斜边的一半 点评:这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得,用三角形知识也可推得 3矩形的判定 判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形 判定:对角线相等的平行四边形是矩形 判定:有三个角是直角的四边形是矩形 如图,在四边形ABCD中,ABC=BCD=90,AC=BD,求证:四边形ABCD是矩形 ABC=BCD=90,ABCD BC=CB在RtDABC和RtDDCB中 AC=BDADRtDABCRtDDCB (HL) AB=CD,四边形ABCD是平行四边形 AC=BD,四边形ABCD是矩形 如图,已知在四边形ABCD中,ACDB交于O,E、F、G、H分别是四边的中点,求证四
3、边形EFGH是矩形 E、F、G、H分别是四边的中点 EF、GH为中位线 EFGHBD且EF=GH=四边形EFGH为平行四边形 DEHOFBGCBC1BD 2A第 1 页 1.3 矩形的性质和判定 ACDB,EFFG 四边形EFGH是矩形 如图,在平行四边形ABCD中,M是AD的中点,且MB=MC,求证:四边形ABCD是矩形 四边形ABCD是平行四边形,AB=CD, A+D=180 M是AD的中点,AM=MD AM=DM在DABM和DCDM中MB=MC AB=CDAMDDABMDCDM (SSS),A=D A=90,四边形ABCD是矩形 BC设凸四边形ABCD的4个顶点满足条件:每一点到其他3点
4、的距离之和都要相等试判断这个 四边形是什么四边形?请证明你的结论。 这个四边形是矩形 由已知得AB+AC+AD=BA+BC+BD=CA+CB+CD=DA+DB+DC AC+AD=BC+BD变换此式有AB+AD=BC+CD AB+AC=BD+CD+-得AD=CB;+-得AB=CD, 故知ABCD是平行四边形 又+-得AC=BD,因此,四边形ABCD是矩形 如图,平行四边形ABCD中,AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线,AQ与BN交于P,CN与DQ交于M,证明:四边形PQMN是矩形 四边形ABCD为平行四边形 ABCD,ADBC AQ、BN分别是DAB、ABC的平分
5、线 BAD+ABC=180 QPN=90 同理PQM=QMN=MNP=90 四边形PQMN是矩形 如图,在DABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF 、求证:BD=CD 、 如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论 、AFBC,AFE=DCE EFABPQADMCNE是AD的中点,AE=DE 第 2 页 BDC1.3 矩形的性质和判定 AFE=DCEAE=DE DAEFDDEC AEF=DECAF=DC,AF=BD BD=CD 四边形AFBD是矩形 AB=AC,D是BC的中点 ADBC ADB=90 AF=
6、BD,AFBC 四边形AFBD是平行四边形 又ADB=90 四边形AFBD是矩形 已知,如图,在DABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,AF是BAC的外角平分线,DEAB交AF于E,试说明四边形ADCE是矩形 AB=AC,B=2 又1+3=B+2,1=3,1=2,AFBC 又DEAB,ABDE是平行四边形,AE=BD AB=AC,ADBC,BD=DC AE=DC,四边形ADCE是平行四边形 又ADC=90,平行四边形ADCE为矩形 本题也可先说明AC=ED,再说明四边形ADCE是平行四边形 如图所示,在RtDABC中,ABC=90,将RtDABC绕点C顺时针方向旋转60得到DDEC点E在A
7、C上,再将RtDABC沿着AB所在直线翻转180得到DABF连接AD 、 求证:四边形AFCD是菱形; 、连接BE并延长交AD于G连接CG,请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形?为什么? RtDDEC是由RtDABC绕C点旋转60得到 AC=DC,ACB=ACD=60 DACD是等边三角形 AD=DC=AC 又RtDABF是由RtDABC沿AB所在 直线翻转180得到 AC=AF,ABF=ABC=90 FBC=180 点F、B、C三点共线 第 3 页 A31EF2BDCAGDEFBC1.3 矩形的性质和判定 DAFC是等边三角形 AF=FC=AC AD=DC=FC=AF 四边形AFCD是菱
8、形 四边形ABCG是矩形 由可知:DACD是等边三角形,DEAC于E AE=EC,又AGBC EAG=ECB,AGE=EBC DAEGDCEB,AG=BC 四边形ABCG是平行四边形,而ABC=90 四边形ABCG是矩形 如图,在ABCD中,AEBC于E,AFCD于F,DAEF的两条高相交于M,AC=20,EF=16,求AM的长 过C作CGAD于G,连接EG、FG AEBC,FMAE,FMEC 又EMAF,CDAF,EMCF 四边形EMFC为平行四边形,MF=EC 又AEBC,CGAD且BCAD EAG=AGC=GCE=AEC=90 四边形AGCE为矩形 EC=AG,EG=AC,MF=AG 又
9、MFAG 四边形AGFM为平行四边形,GF=AM AMEF,GFEF,即GFE=90 GF=EG2-EF2,AM=202-162=12 已知,如图矩形ABCD中,延长CB到E,使CE=AC,F是AE中点求证:BFDF ADMADBEMCFDABEMCFDAGFFEBCEBC延长BF交AD于M,连结DB 四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,AC=BD M=EBF, F是AE中点,AF=EF,在AFM和EFB中, 第 4 页 1.3 矩形的性质和判定 MFA=BFE,AF=EF M=EBF,DAFMDEFGAM=BE,MF=BF,AD+AM=BC+BE=CE=DM CE=AC,AC=BD,
10、DM=DB MF=BF,BFDF 如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DFAE,垂足为F.线段DF与图中的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上,然后再加以证明。即DF= 出一条线段即可) 连接DE. .(写AFEDAFEDBCBC四边形ABCD是矩形, AB=CD,AD/BC,C=90o. ADE=AEC. 又AD=AE, ADE=AED, AED=AEC, 又DFE=C=90o, DDEFDDEC, DF=DC. 如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD上的点,且BE=DF. 求证:DABEDCDF. 四边形ABCD是矩形 AB=AD,B=D=90o.
11、 在DABE和DCDF中, 又BE=DF, DABEDCDF. 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,AOB=60,AB=2,则矩形的对角线AC的长是 A2 B4 C23 D43 AOBCDAFDCBEAOB=60,AO=BO,DAOB为等边三角形, AC=4 第 5 页 1.3 矩形的性质和判定 矩形ABCD的对角线AC、BD交于O,如果DABC的周长比DAOB的周长大10cm,则边AD的长是 AC=AO+BO,AD=BC=(AB+AC+BC)-(AB+AO+BO)=10cm 1,则如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于O,AEBD于E,DAEBAE=3EAC=_ DAB=DAE+B
12、AE=90 DAE=67.5,BAE=22.5 AO=BO,EAC=67.5-22.5=45 BAOECDPEBD,PFAC,E、 如图在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,F分别是垂足,求PE+PF的值 APEMGBCBCDA3OFOF2P1ED法一:作AGBD于G,PMAG于M,则PE=MG 又易证1=2=3,从而RtPAMRtAPF, AM=PF,所以PE+PF=MG+AM=AG BAD=90,则BD=13 而AD=12,AB=5,在ABD中,根据面积公式有则AG=11ABAD=BDAG, 22ABAD5126060,PE+PF= =BD131313MPAOF
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