矩阵的概念及其线性运算.docx

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1、矩阵的概念及其线性运算备课教案 第二章 矩阵 第二章 矩阵 2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 a11a12La1naaLa21222nLLLL am1am2Lamn称为mn矩阵,它有m行、n列，共mn个元素，其中第i行、第j列的元素用aij表示。通常我们用大写黑体字母A、B、C表示矩阵。为了标明矩阵的行数m和列数n,可用Amn或aij()mn表示。矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O。 两个矩阵A、B相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而

2、且所有对应元素都相同。记作A=B。 如果矩阵A的行、列数都是n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵。n阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n阶矩阵A的元素按原次序构成的n阶行列式，称为矩阵A的行列式，记作A。 在n阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E，即 10L001L0 E=LLLL00L11n矩阵又称为n维行向量；n1矩阵又称为n维列向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a，b，x，y表示。向量中的元素

3、又称为向量的分量。11矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即(a)=a。 二矩阵的加、减运算 如果矩阵A、B的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为A+B、A-B。分别称为矩阵A、B的和与差。AB表示将A、B中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如 10 备课教案 第二章 矩阵 -123432 ， A=B=03-25-30 2+33+2355-1+4A+B=0+53+(-3)-2+0=50-2 2-33-2-5-11-1-4A-B=0-53-(-3)-2-0=-56-2 三矩阵的数乘 kA表示将k乘A中的所有元素得到的矩矩阵A与数k相乘记为kA或Ak。阵。例如 243234612A=

4、30 ，3A=3330=90 353115351当k=-1时，我们简记(-1)A=-A，称为A的负矩阵。 矩阵的加减与数乘统称为线性运算。不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律，这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、移项变号、正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。 3-12075-2497，已知例2.1 设A=1579，B=51246832-16A+2X=B，求X。 解 在等式中移项得 2X=B-A，再除以2得 X=算立得 1(B-A)。通过心23-222X=2-21-1 12-1-72-1例2.2 设A为三阶矩阵。已知A=-2，求行列

5、式3A的值。 a1解 设A=b1c1a2b2c2a33a1b3，则3A=3b13cc313a23b23c23a33b3。 3c3显然行列式3A中每行都有公因子3，因此 a13A=33b1c1a2b2c2a3b3=27A=-54。 c311 备课教案 第二章 矩阵 2.2 矩阵的乘法与转置 一矩阵的乘法 如果矩阵A的列数与矩阵B的行数相同，即A是ms矩阵，B是sn矩阵，那么A、B可以相乘，记为AB或AB，称为矩阵A、B的乘积。AB=C表示一个mn矩阵，矩阵C的构成规则如下： B的第1列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第1列元素；B的第2列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第2列元素；以

6、此类推，最后B的第n列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第n列元素。这里的“组合”表示两两相乘再相加。 若记A=aij()ms，B=bij()sn，C=cij()mn，且C=AB，则乘积矩阵C的元素可用公式表示为 cij=aikbkj k=1s3-1031-23例如 142102131+(-1)23(-2)+(-1)133+(-1)01-70(-2)+3103+306301+32=11+421(-2)+4113+409221+122(-2)+1123+104-3利用矩阵的乘法可以简化线性方程组的表示形式。设 90 36a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1ax+ax+L+ax=b21

7、12222nn2 LLLLLLLLam1x1+am2x2+L+amnxn=bm是含有m个方程、n个变量的线性方程组，若记 a11aA=21Lam1a12a22Lam2La1nx1b1La2nx2b2x=b= ， ，MM LLbLamnxnm则方程组可表示为矩阵方程 Ax=b 这个矩阵方程两端都是m1矩阵，因此相当于m个等式，恰好是式的m个方程。式称为线性方程组的矩阵形式。以后，矩阵形式将成为我们表示线性方程组的主要形式。其中A称为线性方程组的系数矩阵，x称为变量列，b称为常数列。 12 备课教案 第二章 矩阵 二矩阵乘法的性质 两个矩阵相乘要求行、列数相匹配，即在乘积AB中，矩阵A的列数必须等

8、于矩阵B的行数，因此当AB有意义时，BA未必有意义。即使AB和BA都有意义，它们也可能表示不同阶数的矩阵。比如A是1n矩阵，B是n1矩阵时，AB是11矩阵而BA为nn矩阵。当A、B都是n阶方阵时，情况又怎样呢？ 例2.3 设A=4-24288，求AB、B=C=1-2-3-60-4BA、AC。 解 利用乘积的构成规则容易得到 4-16-32-242 AB=1-2-3-6=8164-24002BA=-3-61-2=00 -2488-16-32 AC=1-20-4=816从例2.3可以看到矩阵乘法的两个重要特点： 矩阵乘法不满足交换律。即一般情况下ABBA。 矩阵乘法不满足消去律。即从AO和AB=A

9、C不能推得B=C。特别地，当BA=O时，不能断定A=O或者B=O。 这两个特点与数量乘法的规律不同，所以在数量运算中形成的交换与消去习惯必须改变。矩阵相乘时要注意顺序，有左乘、右乘之分。不过，矩阵的自乘无需区别左乘右乘，因此，可以引入矩阵乘幂的记号，比如 AAA=A3 这里A是n阶方阵。方阵的乘幂显然有下列性质 AA=A ， (A)=A 其中k、l是自然数。但是因为A、B的乘积不能交换顺序，所以 klk+lklkl(AB)2=(AB)(AB)(AA)(BB)=A2B2 kkk一般情况下，当k2时，(AB)AB。这与数量的乘幂运算规则大不相同。 -32-12例2.4 设A=030，求P(A)=2

10、A-3A+4E。 14-2-32-1-32-1解 P(A)=2030030-3A+4E 14-214-28-45-32-110029-1413=2090-3030+4010=0130 -56314-2001-1301613 备课教案 第二章 矩阵 本例中，P(A)与多项式P(x)=2x2-3x+4有类似的形式，因此称它为矩 阵多项式。一般地，如果一个矩阵式的每一项都是带系数的同一方阵A的非负整 数幂，“常数项”是带系数的单位矩阵，那么称这个矩阵式为关于A 的矩阵多项式。 如果矩阵A、B满足AB=BA，那么称A、B是可交换的。可交换是个 很强的条件，下面介绍两种特殊情况。 一种是对角矩阵。容易验

11、证 0L0a10L0b10L0a1b1 0aL00bL00abL02222= LLLLLLLLLLLL 0Lanbn00Lan00Lbn0 交换乘积的顺序，结果显然相同。由此可知：两个同阶对角矩阵是可交换的，它 们的乘积矩阵由对应位置元素的乘积构成。 另一种是单位矩阵。设A=aij,Em、En分别为m阶、n阶单位矩阵， mn不难验证EmA=A，AEn=A。特别地，当m=n时 EA=AE=A 可见单位矩阵E在矩阵乘法中与数1在数量乘法中有类似的作用。单位矩阵与任何同阶矩阵可交换。 矩阵的乘法虽然不满足交换律，但仍满足下列运算规律： 乘法结合律：(AB)C=A(BC) 左、右分配律：(A+B)C=

12、AC+BC，C(A+B)=CA+CB 数乘结合律：k(AB)=(kA)B=A(kB) 这些运算律的证明，都可以利用乘法公式以及通过和式的乘积展开与重组来完成，此处从略。这些运算律与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如多项乘积展开、系数归并化简、因式分解、连乘重组等运算习惯，在矩阵的运算中，仍可保留沿用，当然应该特别注意不可随意交换乘法顺序，不可随意约简非零因子。 三矩阵的转置 T把矩阵A的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为A，即 a11a12La1na11a21Lam1 a21a22La2na12a22Lam2TA= ，A= LLLLLLLL am1am2Lamna1n

13、a2nLamn矩阵的转置方法与行列式相类似，但是矩阵转置后，行、列数都变了，各元素的 T位置也变了，所以通常AA。 转置矩阵有如下性质： TTTTT(A)=A (A+B)=A+B TTTTT(kA)=kA (AB)=BA 这里性质是显然的，性质可利用乘法公式证明。 () 14 备课教案 第二章 矩阵 20-1TTAAAA。 例2.5 设A=，计算和132215020-1T03解 AA=132014 -122153020-1TAA=03132=396 065-12若方阵A满足A=A，则称A为对称矩阵。比如例2.5所求的两个矩阵都是对称矩阵。 四方阵行列式的乘积定理 设A、B都是n阶方阵。一般地A

14、BBA，但它们的行列式相等，并且 TAB=BA=AB 定理2.1 方阵乘积的行列式等于各因子行列式的乘积。 这个定理的结论简明、自然，但它的证明很复杂，并且需要用到特殊的构造性技巧，此处从略。 2.3 逆矩阵 一逆矩阵的概念 设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵。 矩阵A可逆时，逆矩阵B必唯一。事实上，若另有一逆矩阵B1，则由AB=E和B1A=E得到B1=B1E=B1(AB)=(B1A)B= EB=B。这样，逆矩阵可以有唯一的记号。记A的逆矩阵为A-1，即 AA-1=A-1A=E 比如不难验证 11A=1101230013000100-

15、11-1 ， A=1-210-13-3100 01逆矩阵相当于矩阵的“倒数”，但是因为矩阵的乘法有左乘、右乘之分，所以不允许以分数线表示逆矩阵。 如果三个矩阵A、B、C满足AB=AC，且A可逆，那么在等式两边左-1-1-1乘逆矩阵A，可得AAB=AAC，即EB=EC，从而B=C。这说明利用逆矩阵可以实现“约简”，换言之，矩阵的乘法并非没有消去规则，但消去规则必须通过逆矩阵的乘法来实现，可逆才有消去律。当然，在等式两边乘逆矩阵时应当注意分清左乘还是右乘。 逆矩阵为求解矩阵方程带来了方便。比如线性方程组Ax=b中，若A可逆， 15 备课教案 第二章 矩阵 -1-1则x=Ab，事先求出逆矩阵A，只要

16、做一次乘法，即可求得所有变量的值。 又如矩阵方程AXB=C中，若A、B均可逆，则未知矩阵直接可求： X=A-1CB-1。 二矩阵可逆的条件 设有n阶方阵 a11a12La1n aaLa222n A=21 LLLL an1an2Lann 2它的行列式A有n个代数余子式Aij，将它们按转置排列， 得到矩阵 A11A21LAn1 AALA22n2 A*=12 LLLL A1nA2nLAnn *称A为矩阵A的伴随矩阵。利用第一章的定理1.2容易 验证 A0L0 0AL0 AA*=A*A=AE LLLL 00LA 如果A0，则上式两端除以非零数A，可得 1*1* AAA=AAA=E 这说明矩阵A可逆，并

17、且 1 A-1=A* A 定理2.2 方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零：A0。 证 式已给出充分性证明，现证必要性。如果矩阵A可逆，则由AA-1=E取行列式，根据定理2.1的式得AA-1=AA-1=E=1，因而必有A0。 行列式非零的方阵又叫做非奇异矩阵。显然，非奇异矩阵和可逆矩阵是等价的概 念。行列式等于零的矩阵自然叫做奇异矩阵。奇异矩阵即不可逆矩阵有无数多个， 这与数量中唯有数0没有倒数大不相同。 12-1例2.6 设A= 34，求A。 解 显然A=-20，A的代数余子式都是一阶行列式，不需要计算，只 16 备课教案 第二章 矩阵 要附上适当的符号，并注意转置排列即可： A-1

18、=11*14-2-2A=32-12 -31A-2*公式给出了求逆矩阵的方法，但是求伴随矩阵A要计算n个(n-1)阶行列式，当n较大时，计算量非常大。我们将在下一节介绍更好的方法。 -1定理2.3 设A、B都是n阶矩阵，则B=A的充分必要条件是AB=E或者BA=E。 2证 必要性显然，只证充分性。若AB=E，取行列式得AB=1，故A0，则根据定理2.2，A-1存在。等式两端左乘A-1，立得B=A-1AB=A-1E=A-1。BA=E的情况相同，证毕。 定理2.3表明，检验或者证明B是否A的逆矩阵，只要做一个乘法即可。比如从公式很容易求得对角矩阵的逆矩阵。 a100a2LL00L0L0LLLan-1

19、01a101a2=LL00L0L0 LLL1an其中a1a2Lan0。 三逆矩阵的性质 若A可逆，则A也可逆，且(A-1)-1=A。 -1证 根据定理，只需做一个乘法：因为AA=E，故得证。 若A可逆，则A也可逆，且(A)=(A)。 T-1T-1TT证 因为A(A)=(AA)=E=E，故得证。 若A、B是同阶矩阵且都可逆，则(AB)证 因为(AB)(BA)=A(BB)A-1-1-1-1-1T-1T-1-1T=B-1A-1。 =AEA-1=AA-1=E，故得证。2.4 矩阵的初等变换 一矩阵的初等行变换 在第一章中，我们已经看到了行变换在行列式计算中的重要作用。对矩阵也有类似的变换。 对矩阵施行

20、下列三种变换，统称为矩阵的初等行变换： 换行变换：将矩阵的两行互换位置。 倍缩变换：以非零数k乘矩阵某一行的所有元素。 消去变换：把矩阵某一行所有元素乘同一数k加到另一行对应的元素上去。 例如对下列矩阵作初等行变换：先将第3行乘-2加到第1行，再将第1、352310-1-9123013 行互换，得到013011251250-1-917 备课教案 第二章 矩阵 由于矩阵的初等变换改变了矩阵的元素，因此初等变换前后的矩阵是不相等的，应该用“”连接而不可用“=”连接。矩阵的初等变换可以链锁式地反复进行，以便达到简化矩阵的目的。 类似地可引入初等列变换的概念。 二初等变换的标准程序 231-1例2.7

21、 已知A=013，求A。 124解 将矩阵A和单位矩阵E拼成一个36矩阵(A降阶变换，对(AE)。类似于行列式的E)施行一系列初等行变换： 2311000-1-710-2(AE)=013010013010 12400112400100-411-2001-14-1412*30100103474-32 0110-20-21100-12-5222100-12-5274-32 01034001-14-1412可以验证，最后的矩阵中，右侧的矩阵就是逆矩阵，即 2-12-52-174-32 A=34-14-1412本例的结果不是偶然的。在论证这一方法之前，我们先结合例2.7介绍矩阵初等变换的标准程序： 变

22、换分步进行，每步选一非零元素，称为主元。利用行倍缩变换把主元变为1，并且通过行消去变换把主元所在列的其它元素全都变为0。 所选的主元必须位于不同的行。逐步重复上述变换，直至选不出新的主元为止。 穿插换行变换，使主元呈左上到右下排列。 简单地说，标准程序就是通过初等行变换，变出一个一个不同的基本单位列，直至变不出新的基本单位列为止。基本单位列是指一个元素为1其余元素全都为0的列向量。 比如在例2.7的运算中，带“*”号的第二步是以元素1为主元，将第2行乘1和-2分别加到第1、3行上去；最后一步并未选主元，而是作了一个互换第1、3行的换行变换。在所有的行消去变换中，主元都用“ ”号作了标记。 标准

23、程序体现了初等变换的目的性和条理性。矩阵的初等变换将贯穿本书的始终，初等变换的标准程序也将反复多次得到应用。 18 备课教案 第二章 矩阵 三用初等变换法求逆矩阵 E)按标准程序作初等行变换，主元在左半部分的范围内选取。当把子块A变成单位-1矩阵E的同时，右半部分必然变成了A。 123-1例2.8 设A=456，问A是否存在？ 789解 运用初等变换法 设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，对n2n矩阵(A310012310012(AE)=4560100-3-6-410 7890010-6-12-70110-1-5323043-130 0120001-21标准程序已执行完毕，但子块A未变成单位矩阵

24、，即在未选主元的行中没有非零元素，无法选出新的主元，此时可以断定A不可逆。其理由如下： 设想对行列式A施行初等变换。如果将换行变换、倍缩变换或消去变换施加于行列式，则行列式的值仅仅是改变符号、非零倍缩或保持不变，总之初等变换不改变行列式的非零性，因此能通过初等变换检验矩阵的可逆性。 例2.8说明用初等变换法求逆矩阵，不必事先知道矩阵是否可逆。 四初等矩阵 对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。例如下面三个矩阵 01001000001000 0110000300001000 0110200100001000 01都是初等矩阵。与它们相对应的初等行变换分别是“互换第1、第2行”、“以

25、3乘第2行”、“第1行乘2加到第3行”；相对应的初等列变换分别是“互换第1、第2列”、“以3乘第2列”、“第3列乘2加到第1列”。以下定理不难验证： 定理2.4 对矩阵A施行初等行变换，相当于左乘一个相应的初等矩阵。 现在对初等变换法求逆矩阵的有效性进行证明： E)作一系列初等行变换，相当于左乘一系列n阶初等矩阵G1，G2，Gk。最后得到的矩阵是(EB)，即 GkLG2G1(AE)=(EB) -1需要证明B=A。令G=GkLG2G1，G仍是n阶矩阵。按矩阵乘法规则， G(AE)的前n列由GA给出，而后n列由 19 对n2n矩阵(A备课教案 第二章 矩阵 GE=G给出，因此 G(AE)=(GAG

26、)=(E由于矩阵相等意味着对应元素相等，所以应有 B) GA=E，G=B -1-1根据定理2.3知G=A，从而B=A。证毕。 对矩阵(AE)作初等变换，实际上初等变换的“对象”是左半部分，而右半部-1分则起到了“记录”这些变换过程的作用，A是所有这些初等变换的总结果。由此可知，一系列初等变换构成可逆矩阵；反之可逆矩阵能分解为一系列初等变换。 2.5 分块矩阵 一分块矩阵的概念 上节中曾把矩阵A和E拼成一个大矩阵(AE)，反过来可以看作把矩阵(AE)划分成两部分，这就是分块矩阵的概念。对于一个矩阵，可以根据需要用贯穿整个矩阵的横线或竖线把它划分成若干子块，便形成了分块矩阵。分块的方式有许多，例如

27、对于矩阵 10A=0010000100030-1100101001000030-110010100030-1100110000100030-11001可例举出以下三种不同的分块方式： 在第一个分块矩阵中，左上角和右下角子块都是二阶单位矩阵E2，左下角E203子块是零矩阵，若记A1=O0-1，则A=A1。 E2在第二个分块矩阵中，左上角子块和右下角子块分别是三阶单位矩阵E3和3E3一阶单位矩阵E1，左下角子块是零矩阵，若记A2=-1，则A=O0A2。 E11003010-1在第三个分块矩阵中，若记e1=，e2=，e3=，u=，则 0010000120 备课教案 第二章 矩阵 A=(e1,e2,e

28、3,u)，这里e1，e2，e3都是一个分量为1、其余分量为0的 列向量，这种向量称为基本单位向量。 对矩阵A的分块，当然不止这三种方式。分块矩阵也可以理解为是以若干子块为元素组成的矩阵。 二分块矩阵的运算 上节得到过简单分块矩阵的乘法规则G(A把子块当作数量元素处理。例如 相当于把G、A、E)=(GAGE)，E都当作数量看待。对于一般的分块矩阵有同样的结论：分块矩阵运算时，可以X11X21X12Y11Y12X11+Y11+=X22Y21Y22X21+Y21X11X21X12+Y12 X22+Y22X12Y1X11Y1+X12Y2Y=XY+XY X222222211不过在把子块当作元素对待时，还

29、须遵循以下规则： 矩阵的分块方式要与运算相配套。 具体而言：两个矩阵相加时，它们的行、列划分方式应完全相同，以保证相加的子块有同样的行、列数；两个矩阵相乘时，左矩阵列的划分与右矩阵行的划分方式应一致，以保证相乘子块的行、列数相匹配。 对子块的乘积要分清左、右顺序，不能随意交换。 比如上面运算中的X11Y1不能写作Y1X11。 分块矩阵转置时，除子块的位置转置外，子块本身也要转置。比如 (A1A1A=例2.9 设OA2)TA1T=AT2 A2，其中A1、A3是可逆矩阵。试用A1、A2、A3A3-1及其运算式构造出逆矩阵A。 解 将A分块，令A-1-1X1=X3X2，则应有 X4A1OA2X1A3X3X2EO =X4OE等式右端是分块的单位矩阵。矩阵相等意味着所有对应子块都相同，即 A1X1+A2X3=E，O+A3X3=O， A1X2+A2X4=O，O+A3X4=E -1-1-1-1因为A1、A3存在，所以可逐个解得X3=O，X4=A3，X1=A1， X2=-AA2A-11-13，于是A-1A1-1=O-A1-1A2A3-1 -1A321 备课教案 第二章 矩阵 22