电磁场四章习题解答.docx
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1、电磁场四章习题解答电磁场四章习题解答 电磁场第四章习题解答 4.1 如题 4.1 图所示为一长方形截面的导体槽,槽可视为无限长,其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零,上边盖板的电位为 U0,求槽内的电位函数。解 根据题意,电位满足的边界条件为 根据条件和,电位的通解应取为 y )sin aa b U0 由条件,有 o 题 4.1 图 a a x 两边同乘以 sin(),并从 0 到 a 对 x 积分,得到 a a ,故 得 到 槽 内 的 电 位 分 布 4.2 两平行无限大导体平面,距离为 b,其间有一极薄的导体片由到。上板和薄片保持电位 U0,下板保持零电位,求板间电位的解。设在薄片平
2、面上,从到,电位线性变化,。2U0 y U0 解 应用叠加原理,设板间的电位为 其中,为不存在薄片的平行无限大导体平面间的电位,即;是两个电位为零 x 的平行导体板间有导体薄片时的电位,其边界条件为:)e 根据条件和,可设的通解为 由条件有 ),并从 0 到 b 对 y 积分,得到 两边同乘以 sin(bdb 故得到 4.3 求在上题的解中,除开 U0yb 一项外,其他所有项对电场总储能的贡献。并按 2W 定出边缘电容。U0 解 在导体板上,相应于的电荷面密度 则导体板上相应的总电荷 sin 相应的电场储能为 其边缘电容为 4.4 如题 4.4 图所示的导体槽,底面保持电位 U0,其余两面电位
3、为零,求槽内的电位的解。解 根据题意,电位满足的边界条件为 y 根据条件和,电位的通解应取为 )由条件,有 sin,并从 0 到 a 对 x 积分,得到 两边同乘以题 4.4 图 aa ,故得到槽内的电位分布为 4.5 一长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体表面保持零电位,体积内填充密度为 ac 的电荷。求体积内的电位。解 在体积内,电位满足泊松方程 长方体表面 S 上,电位满足边界条件。由此设电位的通解为 代入泊松方程,可得 1 )sinsin abc abcac 由此可得 或 由式,可得 2 b 故 abc 4.6 如题 4.6 图所示的一对无限大接地平行导体板,板间有一与 z 轴平行的
4、线电荷 ql,其位置为(0,d)。求板间的电位函数。解 由于在(0,d)处有一与 z 轴平行的线电荷 ql,以为界将场空间分割为和两个区域,则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的 8b2 分 界 面 上,可 利 用函 数 将 线 电 荷ql表 示 成 电 荷 面 密 度。电位的边界条件为 y ql d a x 题 4.6 图 o 由条件和,可设电位函数的通解为 由条件,有 由式,可得 将式两边同乘以 sin(),并从 0 到 a 对 y 积分,有 由式和解得 故 sin()a ql 4.7 如题 4.7 图所示的矩形导体槽的电位为零,槽中有一与槽平行的线电荷 ql。求槽内的 电位函数
5、。y 解 由于在(x0,y0)处有一与 z 轴平行的线电荷 ql,以为界将场空间分割为和两个区域,则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上,可利用函数将线电荷 ql 表示成电荷面密度 b ql(x0,y0),电位的边界条件为 o 题 4.7 图 a x ,)(ql 0 由条件和,可设电位函数的通解为 由条件,有 由式,可得 将式两边同乘以 b),并从 0 到 b 对 y 积分,有 )0b 由式和解得 0bb B2ql1 0bb 故 l b 1)2)3)4),而感应电荷的电位应与一样按变化,而且在无限远处为 0。由于导体是等位体,所以满足的边界条件为 y 2ql E0 由条件,有
6、 由此可设 a o x 2 于是得到 故圆柱外的电位为 题 4.8 图 若选择导体圆柱表面为电位参考点,即,则。导体圆柱外的电场则为 导体圆柱表面的电荷面密度为 4.9 在介电常数为的无限大的介质中,沿 z 轴方向开一个半径为 a 的圆柱形空腔。沿 x 轴方向外加一均匀电场,求空腔内和空腔外的电位函数。解 在电场 E0 的作用下,介质产生极化,空腔表面形成极化电荷,空腔内、外的电场 E 为外加电场 E0 与极化电荷的电场 Ep 的叠加。外电场的电位为而感应电荷的电位应与一样按变化,则空腔内、外的电位分别为和 的边界条件为 时,;时,为有限值;时,由条件和,可设 带入条件,有 ,E0,所以 1
7、a2 由此解得 4.10 一个半径为 b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面,如题 4.10 图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地,第一象限和第三象限分别保持电位 U0 和。求圆柱面内部的电位函数。y 解 由题意可知,圆柱面内部的电位函数满足边界条件为 为有限值;0 b o U0 x 0 ;题 4.10 图 由条件可知,圆柱面内部的电位函数的通解为 代入条件,有 由此得到 n 1 0 0 U0 ,1 n 0 1 0 0 0 n,1rn 故 4.11 如题 4.11 图所示,一无限长介质圆柱的半径为 a、介电常数为,在距离轴线处,有一与圆柱平行的线电荷 ql,计算空间各部分
8、的电位。解 在线电荷 ql 作用下,介质圆柱产生极化,介质圆柱内外的电位均为线电荷 ql 的 2U0 电 位与 极 化 电 荷 的 电 位的 叠 加,即。线电荷 ql 的电位为 y 而极化电荷的电位满足拉普拉斯方程,且是的偶函数。ql 介质圆柱内外的电位和满足的边界条件为分别为 r0 x 题 4.11 图 由条件和可知,和的通解为 为有限值;)时,将式带入条件,可得到 n 1rn 带入式,得 当时,将 lnR 展开为级数,有 由式和,有 由此解得 ,故得到圆柱内、外的电位分别为 2 2 0 ql 2 2 0 ql 讨论:利用式,可将式和中得第二项分别写成为 其中。因此可将和分别写成为 ql 的
9、电位相同,而介 由所得结果可知,介质圆柱内的电位与位于的线电荷 a2,0)质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生,它们分别为:位于的线电荷 ql;位于(r0 ql;位于的线电荷 q。的线电荷 4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱,重新计算。解 导体圆柱内的电位为常数,导体圆柱外的电位均为线电荷ql 的 电 位与 感 应 电 荷 的 电 位的 叠 加,即。线电荷 ql 的电位为 而感应电荷的电位满足拉普拉斯方程,且是的偶函数。满足的边界条件为 ;。由于电位分布是的偶函数,并由条件可知,的通解为 将式和带入条件,可得到 将展开为级数,有 1a 2 2 0 带入式,得 1a ql a2n lnr0,
10、由此可得 ql 故导体圆柱外的电为 ql 1a2n ql ql 讨论:利用式,可将式中的第二项写成为 ql1a2n ql 其中。因此可将写成为 lnr0 由此可见,导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生,它们分别为:位于的线电荷 ql;a2,0)的线电荷;位于的线电荷 ql。位于(r0 4.13 在均匀外电场中放入半径为 a 的导体球,设导体充电至U0;导体上充有电荷 Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解 这里导体充电至 U0 应理解为未加外电场 E0 时导体球相对于无限远处的电位为 U0,此时导体球面上的电荷密度,总电荷。将导体球放入均匀外电场 E0 中后,在 E0 的作用下,产生感应
11、电荷,使球面上的电荷密度发生变化,但总电荷 q 仍保持不变,导体球仍为等位体。设,其中 是均匀外电场 E0 的电位,是导体球上的电荷产生的电位。电位满足的边界条件为 时,;时,S 其中 C0 为常数,若适当选择的参考点,可使。由条件,可设 若使,可得到 3 代入条件,可得到 ,导体上充电荷 Q 时,令,有 利用的结果,得到 3 4.14 如题 4.14 图所示,无限大的介质中外加均匀电场,在介质中有一个半径为 Q a 的球形空腔。求空腔内、外的电场 E 和空腔表面的极化电荷密度。解 在电场 E0 的作用下,介质产生极化,空腔表面形成极化电荷,空腔内、外的电场 E 为外加电场 E0 与极化电荷的
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