对数函数及其性质习题课件.ppt

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1、,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,学点六,学点七,学点八,指数函数图像与对几何画板.lnk数函数的图像的关系,13、对数函数的图象和性质,(0,+),R,(1,0),1.对数函数的概念函数 叫做对数函数.2.对数函数的图象和性质.图在下一页,y=logax(a0,且a1),3.对数函数y=logax(a0,且a1)与指数函数y=ax(a0,且a1)互为.它们的图象关于 对称.,反函数,y=x,在y轴的右侧，过定点（1，0）,在(0,+)上是减函数.,在(0,+)上是增函数.,y(0,+),y=0,y0.,学点一 比较大小,比较大小：（1），；（2）,;（3）,.,【分析】从对数函数单调

2、性及图象变化规律入手.,【解析】（1）函数y=在(0,+)上递减，又,.（2）借助y=及y=的图象，tx如图所示，在(1,+)内，前者在后者的下方，.（3）由对数函数的性质知，0,.,【评析】比较两个对数值的大小，常用方法：（1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较；（2）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；（3）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较.,比较下列各组数中两个值的大小：（1）;（2）;（3）(a0，且a1).,（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数21,所以它在(0,+)上是增函数，于是log23.4log0.32.7

3、.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此，要对底数a进行讨论：当a1时，函数y=logax在(0,+)上是增函数，于是loga5.1loga5.9.,学点二 求定义域,求下列函数的定义域：（1）（2）,【分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四.,【解析】（2）由log0.5(4x-3)04x-30得04x-31,x1.函数的定义域是.,(2)由 16-4x0 x0 得 x-1 x+11 x0.-1x0或0 x2.函数的定义域是(-1,0)(0,2).,【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并解之，对于含有

4、对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性.,求下列函数的定义域：（1）y=;（2）.,(1)要使函数有意义，必须且只需 x0 x0 log0.8x-10 即 x0.8 2x-10,x,0 x 且x.因此，函数的定义域是.,（2）要使函数有意义，必须且满足 2x+30 x x-10 解得 x1 3x-10 x 3x-1 0 x 因此，函数的定义域为(1,+).,学点三 求值域,求下列函数的值域：（1）（2）（3）y=loga(a-ax)(a1).,【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解.,【解析】（1）-x2

5、-4x+12=-(x2+4x)+12=-(x+2)2+1616,又-x2-4x+120,00,且y=log x在(0,+)上是减函数,yR,函数的值域为实数集R.,（3）令u=a-ax,u0,a1,ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函数的值域为y|y1.,【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值.,求值域：（1）y=log2(x2-4x+6);（2）.,(1)x2-4x+6=(x-2)2+22,又y=log2x在(0,+)上是增函数,log2(x2-4x+6)log22=1.函数的值域是1

6、,+).(2)-x2+2x+2=-(x-1)2+33,0或.函数的值域是,学点四 求最值,已知f(x)=2+log3x,x1,9,求y=f(x)2+f(x2)的最大值及当y取最大值时x的值.,【分析】要求函数y=f(x)2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域.,【解析】f(x)=2+log3x,y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3.函数f(x)的定义域为1,9,要使函数y=f(x)2+f(x2)有定义，必须,1x29 1x9.1x3,0log3x1

7、.令u=log3x，则0u1.又函数y=(u+3)2-3在-3,+)上是增函数,当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13.即当log3x=1,即x=3时，函数y=f(x)2+f(x2)有最大值为13.,【评析】求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应注意求值域或最值的常用方法.,已知x满足不等式-3,求函数f(x)=的最大值和最小值.,-3，即 x8,log2x3,f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=（log2x-）2-,当log2x=,即x=2 时，f(x)有最小值-.又当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2,f(x)min=-,f(x)max=2.,学

8、点五 求单调区间,求下列函数的单调区间：（1）f(x)=；（2）f(x)=log0.1(2x2-5x-3).,【分析】复合函数的单调性，宜分解为两个基本函数后解决.,【解析】（1）令t=-2x2+x+6=-2+.由-2x2+x+60知-x2,当x 时，随x的增大t的值增大，从而log t的值减小；当x 时，随x的增大t的值减小，从而log t的值增大.函数y=log(-2x2+x+6)的单调增区间是，单调减区间是.,（2）先求此函数的定义域，由=2x2-5x-30得(2x+1)(x-3)0，得x3.易知y=log0.1是减函数，=2x2-5x-3在 上为减函数，即x越大，越小，y=log0.1

9、u越大；在(3,+)上函数为增函数，即x越大，越大，y=log0.1越小.原函数的单调增区间为，单调减区间为(3,+).,【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域.,已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1).（1）求f(x)的定义域；（2）讨论函数f(x)的单调性.,学点六 求变量范围,已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.,【分析】若f(x)的定义域为R，则对一切xR,f(x)有意义；若f(x)值域为R，则

10、f(x)能取到一切实数值.,【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使(x)=ax2+2x+1的值恒为正值，a0=4-4a0，,（2）若f(x)的值域为R，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+).当a0时，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)，需 a0=4-4a0综上所述，0 a1.,【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.,函数y=logax在x2,+)上总有|y|1，求a的取值范围.,依题意得|logax|1对一切x2,+)都成立，当a1时，因为x2,所以|y|=loga

11、x1，即logaxlog22.所以11,所以logax-1，即logaxlog 2对x2恒成立.所以 a1.综上，可知a的取值范围为a（,1）(1,2).,学点七 对数的综合应用,已知函数f(x)=.（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：f(x)在(1,+)上是增函数.,【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.,【评析】无论什么函数，证明单调性、奇偶性，定义是最基本、最常用的方法.,u(x1)-u(x2)=x2x11,x2-x10,x1-10,x2-10,u(x1)-u(x2)0,即u(x1)u(x2)0,y=log u在(0,+)上是减函数,log u(x1)log u(x2),

12、即log log,f(x1)f(x2),f(x)在(1,+)上是增函数.,设f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求函数f(x)的定义域；（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来;如果不存在，请说明理由.,（1）由 0 x-10 p-x0当p1时，函数f(x)的定义域为(1,p)(p1).,（2）因为f(x)=所以当 1,即13,x=时，f(x)取得最大值，log2=2log2(p+1)-2，但无最小值,学点八 反函数,已知a0,且a1，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是（）,【分析】分a1,0a1两种情况，分别作出两函数的图象，根据

13、图象判定关系.,B,【解析】解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性着手，y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反，又可排除D，故只能选B.解法二：若01，则曲线y=ax上升且过点(0,1)，而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0)，只有B满足条件.解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象，因为y=logax与y=ax互为反函数（图象关于直线y=x对称），则可直接选B.,【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的

14、影响.要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性.原函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性质.,若函数f(x)=ax(a0，且a1)的反函数的图象过点(2,-1),则a=.,反函数的图象过点(2,-1)，则f(x)=ax的图象过(-1,2),得a-1=2,a=.,1.如何确定对数函数的单调区间？,（1）图象法：此类方法的关键是图象变换.（2）形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法：首先求满足f(x)0的x的范围，即求函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则当a1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，即

15、在I1上单调递增，在I2上单调递减.当0a1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间不同，原函数在I1上单调递减，在I2上单调递增.,2.如何学好对数函数？,对数函数与指数函数的学习要对比着进行，如它们的定义域和值域互换，它们的单调性与底数a的关系完全一致，指数函数和对数函数的图象分别过点(0,1)和点(1,0)等，这样有助于理解和把握这两个函数.,3.如何理解反函数？,学习过程中要注意指数函数与对数函数的关系和它们间的相互转化，掌握反函数的图象关于直线y=x对称，在解决有关指数函数和对数函数的问题时，要注意数形结合，注意运用复合函数“同增异减”的单调性原则，注意分类讨论.,1.在指数函数与对数

16、函数中，对底数的要求是一致的，均是a0，且a1.但指数函数的定义域是R，对数函数的定义域是(0,+).对数函数的图象在y轴的右侧，真数大于零，这一切必须熟记.2.反函数（1）在写指数函数或对数函数的反函数时，注意函数的定义域且底数必须相同；（2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相同；,（3）对数函数与指数函数互为反函数，因此，对数函数图象画法有两种：一是描点法，二是利用指数函数与对数函数互为函数的关系作图；（4）互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换，即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；（5）互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称.,祝同学们学习上天天有进步！,