理论力学教程思考题答案第三doc.docx
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1、理论力学教程思考题答案第三doc第一章思考题解答 1.1答:平均速度是运动质点在某一时间间隔tt+Dt内位矢大小和方向改变的平均快慢速度,其方向沿位移的方向即沿Dt对应的轨迹割线方向;瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在Dt0的极限情况,二者一致,在匀速直线运动中二者也一致的。 1.2答:质点运动时,径向速度Vr和横向速度V的大小、方向都改变,而ar中的&r&只反&+rq&只是V本身大小的改变。映了Vr本身大小的改变,aq中的rq事实上,横向速度V&2就是反映这种改变的加速度分量;经向方向的改变会引起径向速度Vr大小大改变,-rq
2、&即为反映这种改变的加速度分量,速度Vr的方向改变也引起V的大小改变,另一个r故&q&+2r&.。这表示质点的径向与横向运动在相互影响,它们一起才&2,aq=rq&qar=&r&-rq能完整地描述质点的运动变化情况 1.3答:内禀方程中,an是由于速度方向的改变产生的,在空间曲线中,由于a恒位于密切面内,速度v总是沿轨迹的切线方向,而an垂直于v指向曲线凹陷一方,故an总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时,ab=0,Fb0z何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力F,还受到被动的约反作用力R,二者在副法线方向的分量成平衡力Fb+Rb=0,故ab=0符合牛顿运动率。有人会问:约束反作用力靠谁施
3、加,当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问:某时刻若Fb与Rb大小不等,ab就不为零了?当然是这样,但此时刻质点受合力的方向与原来不同,质点的位置也在改变,副法线在空间中方位也不再是原来ab所在的方位,又有了新的副法线,在新的副法线上仍满足Fb+Rb=0即ab=0。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性,也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。 1.4答:质点在直线运动中只有at而无an,质点的匀速曲线运动中只有an而无at;质点作变速运动时即有at又有an。 1.5答:而dr即反应位矢r大小的改变又反映其方向的改变,是质点运动某时刻的速度矢量,dt
4、drdr&j而dr=r&i+rq&。在直线运动中,=r只表示r大小的改变。如在极坐标系中,dtdtdt规定了直线的正方向后,drdrdrdr=。且的正负可表示的指向,二者都可表示质点dtdtdtdt的运动速度;在曲线运动中drdrdrdr,且也表示不了的指向,二者完全不同。 dtdtdtdtdvdv表示质点运动速度的大小,方向的改变是加速度矢量,而只是质点运动速度大小dtdtdvdv=at+an,而=at。 dtdt的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后,二者都可表示质点运动的加速度;在曲线运动中,二者不同,1.6答:不论人是静止投篮还是运动投篮,球对地的方向总应指向篮筐,其速度合成如题1.
5、6 V球对人VV人对地题1-6图图所示,故人以速度V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出,。 1.7答:火车中的人看雨点的运动,是雨点的匀速下落运动及向右以加速度a的匀速水平直线运动的合成运动如题1.7图所示, xOaa=-aVy题1-7图12x=atoxy是固定于车的坐标系,雨点相对车的加速度a=-a,其相对运动方程消2y=vt去t的轨迹 2v2y=x a2如题图,有人会问:车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢?因加速度总是在曲线凹向的内侧,a垂直于V方向的分量an在改变着V的方向,该轨迹上凹。 1.8答:设人发觉干落水时,船已上行s,上行时船的绝对速度V船-V
6、水,则 s= V船-V水2 船反向追赶竿的速度V船+V水,设从反船到追上竿共用时间t,则 ( V船+V水)t=600+s 又竿与水同速,则 (),且开船时系统质心的初速度也为零,故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时,系统的质量分布改变,质心位置后移,为抵消这种改变,船将向前移动,这是符合质心运动定理的。 2.6.答:碰撞过程中不计外力,碰撞内力不改变系统的总动量,但碰撞内力很大,使物体发生形变,内力做功使系统的动能转化为相碰物体的形变能,故动量守恒能量不一定守恒。只有完全弹性碰撞或碰撞物体是刚体时,即相撞物体的形变可以完全恢复或不发生形变时,能量也守恒,但这只是理想情况。
7、2.7.答:设质心的速度vc,第i个质点相对质心的速度vi,则vi=vc+vi,代入质点组dmivi=Fi(e)+Fi(i)+(-miac)这里用到了质心运动定理动量定理可得dtiiiiF()=maeiiivc。故选用质心坐标系,在动量定理中要计入惯性力。但质点组相对质心i的动量守恒mv=常矢量。当外力改变时,质心的运动也改变,但质点组相对于质心ii参考系的动量不变,即相对于质心参考系的动量不受外力影响,这给我们解决问题带来不少 方便。值得指出:质点组中任一质点相对质心参考系有 ,对质心参考系动量并不守恒。2.8.答不对.因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动量守恒,球抛出后船和人的速度不再是
8、V。设船和人的质量为M,球抛出后船和人的速度为V,则(M+m)V=MV1+m(V1+v) V1=V-mv球出手时的速度应是(V1+v)。人做的M+m功应等于系统动能的改变,不是只等于小球动能的改变,故人做的功应为111Mm22MV12+m(V1+v)-(M+m)V2=v显然与系统原来的速度无关。 222M+m2.9.答:秋千受绳的拉力和重力的作用,在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力,此力不做功,只有重力做功。重力是保守力,故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中,人站起来提高系统重心的位置,人克服重力做功使系统的势能增加;当达到最高点向竖直位置折回过程中,人蹲下去,内力做功
9、降低重心位置使系统的动能增大,这样循环往复,系统的总能不断增大,秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功,消耗人体内能转换而来的。 2.10.答:火箭里的燃料全部烧完后,火箭的质量不再改变,然而质量不变是变质量物体运动问题的特例,故2.7中诸公式还能适用,但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。 2.11.答:由v=v0+vrlnm0=v0+vrlnz知,要提高火箭的速度必须提高喷射速度vr或msm0增大质量比。由于燃料的效能,材料的耐温等一系列技术问题的限制,vr不能过大;ms又由于火箭的外壳及各装置的质量m0相当大,质量比也很难提高,故采用多级火箭,一级火箭的燃料燃完后外壳自行脱
10、落减小火箭的质量使下一级火箭开始工作后便于提高火箭的速度。 若各级火箭的喷射速度都为vr,质量比分别为z1,z2,.zn,各级火箭的工作使整体速度增加v1,v2,vn,则火箭的最后速度 v=v1+v2+vn=vr(lnz1+lnz2+lnzn)=vrln(z1z2zn) 因每一个z都大于1,故v可达到相当大的值。 但火箭级数越多,整个重量越大,制造技术上会带来困难,再者级越高,质量比越减小,级数很多时,质量比逐渐减小趋近于1,速度增加很少。故火箭级数不能过多,一般三至四级火箭最为有效。 3.1 答:确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量,只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了,故须九
11、个独立变量,但刚体不变形,此三点中人二点的连线长度不变,即有三个约束方程,所以确定刚体的一般运动不需3n个独立变量,有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动,只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了,只需3个独立变量;确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量,确定任一点在平面上的位置需二个独立变量,共需三个独立变量;知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角,刚体的位置也就定了,只需一个独立变量;刚体的平动可用一个点的运动代表其运动,故需三个独立变量。 3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等,且
12、方向彼此平行即重力场为均匀场,此时质心与重心重合。事实上但物体的线度很大时各质点所在处g的大小是严格相等,且各质点的重力都指向地心,不是彼此平行的,重心与质心不和。 3.3答 当物体为均质时,几何中心与质心重合;当物体的大小远小于地球的线度时,质心与重心重合;当物体为均质且大小远小于地球的线度时,三者都重合。 3.4 答 主矢F是力系各力的矢量和,他完全取决于力系中各力的大小和方向,故主矢不随简化中心的位置而改变,故而也称之为力系的主矢;简化中心的位置不同,各力对简化中心的位矢ri也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同,故主矩随简化中心的位置而变,被称之为力系对简化中心的主矩。分别取O和O为简
13、化中心,第i个力Fi对O和O的位矢分别为ri和ri,则ri=ri+OO,故 MO=(riFi)=(ri-OO)Fi=(riFi)-OOFiiiii=Mo+OOFi i即MoMo 主矢不变,表明刚体的平动效应不变,主矩随简化中心的位置改变,表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应,但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。,则rC=rC+OO,把O点的主矢F=设O和O对质心C的位矢分别为rC和rC主矩Mo移到C点得力系对重心的主矩 F,iiMC=Mo+rCFi i把O为简化中心得到的主矢F=F和主矩Miio移到C点可得 +rCFi=Mo+(rC-OO)Fi=Mo+rCFi MC
14、=Moiii简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体的运动。事实上,简化中心的选取不过人为的手段,不会影响力系的物理效应。 3.5 答 不等。如题3-5图示, ZZl4AOxCl题3-5图dxBdm=mdx绕Oz轴的转动惯量 lIz=3l4l-4m711xdx=ml2ml2+ml l483422这表明平行轴中没有一条是过质心的,则平行轴定理I=Ic+md是不适应的 3.6不能,如3-5题。但平行轴定理修改后可用于不过质心的二平行轴。如题3-6图所示, 2ZxAxBACmlB题3-6图均质棒上A,B二点到质心的距离分别为xA和xB由平行轴定理得: 2IA=Ic+mxA 2IB=Ic+mxB 则I
15、A-IB=mxA(22此式即可用于不过质心的二平行轴。如上题用此式即可求得: -xB,)l2l27122Iz=ml+m-=ml 342483.7 答 任一瞬时,作平面平行运动的刚体上或与刚体固连且与刚体一起运动的延拓平面总有也仅有一点的瞬时速度为零从运动学观点看由式v=vA+r=vA+(r-r0) 知选此点的基点较好,这样选基点,整个刚体仅绕此点作瞬时转动从式 a=aA+dr-r2 dt可知,求加速度时选加速度为零的点为基点较方便,但实际问题中,加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。 从动力学角度考虑,选质心为基点较好,因质心的运动可由质心运动定理解决;而且质点系相对质心的动量矩定理于对固定点的动量
16、矩定理具有相同的形式,亦即刚体绕过质心与平面垂直的轴的转动可用刚体绕定轴转动的定律去解决。 因刚体上不同点有不同的速度和加速度,基点选取的不同,则和式中vA,aA不同,即vA和aA与基点有关;又任一点相对基点的位矢r于基点的选取有关。故任一点绕基点转动速度r,相对基点的切线加速度dr和相对基点的向心加速度dt-rw2与基点选取有关;角速度为刚体各点所共有与基点选取无关,故d也与基点选dt取无关;基点选取的不同是人为的方法,它不影响刚体上任一点的运动,故任一点的速度v,a与基点的选取无关。这也正是基点选取任意性的实质所在。 3.8 答 转动瞬心在无穷远处,标志着此瞬时刚体上各点的速度彼此平行且大
17、小相等,意味着刚体在此瞬时的角速度等于零,刚体作瞬时平动 3.9 答 转动瞬心的瞬时速度为零,瞬时加速度并不为零,否则为瞬时平动瞬心参考系是非惯性系,应用动量矩定理是必须计入惯性力系对瞬心的力矩。而惯性力系向瞬心简化的结果,惯性力系的主矩一般不为零,故相对瞬心与相对定点或者质心的动量矩定理有不同的形式;另外,转动瞬心在空间中及刚体上的位置都在不停的改变, 故对瞬心的写出的动量矩定理在不同时刻是对刚体上不同点的动力学方程,即瞬心参考系具有不定性;再者,瞬心的运动没有像质心一点定理那样的原理可直接应用。故解决实际问题一般不对瞬心应用动量矩定理写其动力学方程。 3.10 答 因圆柱体沿斜面滚下时,圆
18、柱体与斜面之间的反作用力不做功,只有重力作功,故机械能守恒且守恒定律中不含反作用,故不能求出此力。此过程中由于圆柱体只滚动不滑动,摩擦力做功为零,故不列入摩擦力的功,也正是摩擦力不做功才保证了机械能守恒;若圆柱体即滚且滑的向下运动,摩擦力做功不为零免责必须列入摩擦力的功。机械能不守恒,必须用动能定理求解。在纯滚动过程中不列入摩擦力的功并不是没有摩擦力,事实上,正是摩擦力与重力沿下滑方向的分离组成力偶使圆柱体转动且摩擦阻力阻止了柱体与斜面的相对滑动,才使圆柱体沿斜面滚动而不滑动;如果斜面不能提供足够的摩擦力,则圆柱体会连滚带滑的向下运动;如果斜面绝对光滑,即斜面对圆柱体不提供摩擦力,则圆柱体在重
19、力作用下沿斜面只滑动不滚动。 &,当柱体一定时,相对质&c=aq 答 圆柱体沿斜面无滑动滚动,如课本195页例2示,&x&越小,故与转动惯量有关。当圆柱体沿斜面既滚动又滑动地向下运心的转动惯量越大则q动时,如课本图3.7.7有 &=mgsina-f m&x这里f是滑动摩擦力,f=mn=mmgcosa,m是滑动摩擦系数,、所以 &c=g(sina-mcosa) x与转动惯量无关。又有转动定律得 &=fa Iq即 &=qmgmacosa I&+S&得圆柱与斜面的相对滑动加速度 &c=aqx由&2ma&=g(sina-mcosa)-Smgcosa I与转动惯量有关 3.11 答 刚体作定点转动或定轴
20、转动时, wViORiqiriO题3-12图体内任一点的线速度才可写为,这时r是任一点到左边一点引出的矢径不等于该点到转轴的垂直距离对定点运动刚体圆点一般取在定点位置,对定轴转动刚体,坐标原点可取在定轴上任一点;包含原点且与转轴垂直的平面内的各点,r才等于到转轴的垂直距离。当刚体作平面平行运动或任意运动时,人一点相对与基点的速度也可写为r,其中r为该点向基点引的矢径。 3.12 答 刚体绕定点转动时,=(t)的大小、方向时刻改变,任意时刻所在的方位即为瞬时转轴,dr表示由于大小和方向的改变引起的刚体上某但绕瞬时轴的转动速度,dt故称转动加速度。(r)=v是由于刚体上某点绕瞬时轴转动引起速度方向
21、改变产生的加速度,它恒垂直指向瞬时转轴,此方向轨迹的曲率中心或定点,故称向轴加速度而不称向心加速度。 3.13 答 在对定点应用动量矩定理推导欧勒动力学方程时,既考虑了刚体绕定点O转动的定量矩J随固连于刚体的坐标系绕定点转动引起的动量矩改变J,又考虑了J相对固连于刚体的坐标轴的运动引起动量矩的改变Jxi+Jyj+Jzk也就是说,既考虑了随刚体运动的牵连运动,又考虑了相对于刚体的相对运动,是以固定参考系观测矢量对时间微商的,故用这种坐标系并不影响对刚体运动的研究。 3.14 答 欧勒动力学方程的第二项是由于动量矩矢量J随刚体以角速度转动产生的 iJ=wxI1wxjk=-(I2-I3)wywzi+
22、(I1-I3)wzwxj+(I2-I1)wxwyk 它们具有定性力矩的物理意义,各项的负值表示了惯性力系对定点的主矩在各动轴上的分量 4.1.答:矢量G的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。从静止参考系观察变矢量G随转动系以角速度相对与静止系转动的同时G本身又相对于动系运动,所以矢量G的绝wyI2wywzI3wzdGd*Gd*G对变化率应当写作是G相对于转动参考系的变化率即相=+G。其中dtdtdt对变化率;G是G随动系转动引起G的变化率即牵连变化率。若G相对于参考系不dGd*G=G;若=0即动系作动变化,则有=0,此时牵连运动就是绝对运动,dtdtdGd*G平动或瞬时平动,则有G=0此时
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