海文考研数学考研高等数学公式集锦.docx

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1、海文考研数学考研高等数学公式集锦 ：考研高等数学公式集锦 导数公式： 2(tgx)=secx2(arcsinx)=11-x2(ctgx)=-cscx(arccosx)=-11+x211-x2(secx)=secxtgx(cscx)=-cscxctgx(a)=alna(logaxx(arctgx)=x)=1xlna(arcctgx)=-11+x2基本积分表： tgxdxctgxdxsec=-lncosx+C=lnsinx+Ccossindx2x=seccsc2xdx=tgx+Cdx2xdx=lnsecx+tgx+Cx=2xdx=-ctgx+Ccscxdx=lncscx-ctgx+Cdx2secc

2、scaxxtgxdx=secx+Cxctgxdxaxa+xdx2=1a1arctgxa=-cscx+C+C+Cx-adx222=2a12alnx-ax+aa+xa-xxadx=+Clnashxdx+C=chx+C=shx+C=ln(x+2a-xdx2=lnchxdxdxx2a-x22=arcsin+Cx2a)+C2ap2p2In=02sinnxdx=cos0nxdx=n-1na2In-2x+adx=222x2x2x2x+a222+2a2ln(x+x+a)+C2222x-adx=22x-a22-2a2lnx+xax-a+Ca-xdx=a-x2+2arcsin+C三角函数的有理式积分： 钻石卡高级

3、辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 1 - 2u1+u2sinx=，cosx=1-u1+u22，u=tgx2，dx=2du1+u2一些初等函数： 两个重要极限： ex双曲正弦:shx=-e2-xlimx0-xsinxx1x=1x双曲余弦:chx=ex+e2lim(1+x)=e=2.718281828459045.双曲正切arshxarchx:thx=shxchxx2=eexx-e+e-x-x=ln(x+=ln(x+12ln1+x1-x+1）2x-1)arthx=三角函数公式： 诱导公式： 函数 角A - 90- 90+ 180- 180+ 270- 270+

4、360- 360+ sin cos tg -tg ctg ctg -ctg tg -ctg ctg tg -ctg ctg -sin cos cos cos sin sin -sin -ctg -tg -cos -tg -sin -cos tg -cos -sin ctg -cos sin -sin cos sin cos -tg tg -ctg -tg 和差角公式： 和差化积公式： sin(ab)=sinacosbcosasinbcos(ab)=cosacosbmsinasinbtg(ab)=tgatgb1mtgatgbctgactgbm1ctgbctgacosa+cosb=2coscosa

5、-cosb=2sinsina-sinb=2cossina+sinb=2sina+b2cossina-b2a+b2a-b2a+b2cossina-b2ctg(ab)=a+b2a-b2钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 2 - 倍角公式： sin2a=2sinacosacos2a=2cosa-1=1-2sinctg2a=ctga-12ctga2tga1-tga2222a=cosa-sin22asin3a=3sina-4sin33acos3a=4cosa-3cosatg3a=3tga-tga1-3tga23tg2a=半角公式： sina2=1-cosa21

6、-cosa1+cosa1-cosasinasina1+cosacosa2=1+cosa21+cosa1-cosa2=1+cosasina2tga2=ctga2=sina1-cosa正弦定理： asinA=bsinB=csinC=2R 余弦定理：c=a2+b-2abcosC 反三角函数性质：arcsinx=p2-arccosxarctgx=p2-arcctgx高阶导数公式莱布尼兹公式： n(uv)(n)=k=0Cnu(n-1)k(n-k)v(k)v+n(n-1)2!u(n-2)=u(n)v+nuv+L+n(n-1)L(n-k+1)k!u(n-k)v(k)+L+uv(n)中值定理与导数应用： 拉格

7、朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)-f(a)=f(x)(b-a)=f(x)F(x)拉格朗日中值定理。f(b)-f(a)F(b)-F(a)当F(x)=x时，柯西中值定理就是曲率： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 3 - 弧微分公式：平均曲率：K=ds=DaDs1+ydx,其中y=tga.Da:从M点到M点，切线斜率的倾角变DaDsdadsy(1+y)232化量；Ds：MM弧长。M点的曲率：直线：K=0;K=limDs0=.半径为a的圆：K=1a.定积分的近似计算： b矩形法：abf(x)b-an(y0+y1+L+yn-1)梯形法：af(x)bb-

8、a1(y0+yn)+y1+L+yn-1n2b-a3n(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn-2)+4(y1+y3+L+yn-1)抛物线法：af(x)定积分应用相关公式： 功：W=Fs水压力：F=pAm1m2r2引力：F=k,k为引力系数1b-a(t)dtb函数的平均值：y=baf(x)dx均方根：1b-aaf2空间解析几何和向量代数： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 4 - 空间2点的距离：向量在轴上的投影：vPrju(a1+vvvab=ad=M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)222PrjuAB=ABcosj,j是AB与u

9、轴的夹角。vvva2)=Prja1+Prja2vbcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量cosq=,两向量之间的夹角：axbx+ayby+azbzax+ay+az222bx+by+bz222ivvvc=ab=axbxjaybyvvvaz,c=absinq.例：线速度：bzaybycyazbzczkvvvv=wr.向量的混合积：axvvvvvvabc=(ab)c=bxcxvvv=abccosa,a为锐角时，代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：2、一般方程：3、截距世方程：vA(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax+

10、By+Cz+D=0xa+yb+zc=1Ax0平面外任意一点到该平面的距离：d=+ByA20+Cz20+D2+B+C空间直线的方程：x-x0m=y-y0n=z-z0px=x0+mtv=t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntz=z+pt0二次曲面：1、椭球面：xa222+yb222+zc22=12、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：x2p+y2q=zxa2222+ybyb2222-zczc2222=1双叶双曲面：xa-+=1钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 5 - 多元函数微分法及应用 全微分：dz=zxdx+zydydu=uxdx+uydy+

11、uzdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法Dzdz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uxdx+uydydv=vxdx+vydy隐函数的求导公式：FxFxFxdydydy隐函数F(x,y)=0，=-，2=(-)(-)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)=0，=-，=-xFzyFzF隐函数方程组：F(x,y,u,v)=0(F,G)J=uG(u,v)G(x,y,u,v)=0uvxvy=-1J1J(F,G)(u,

12、x)(F,G)(u,y)FFv=uGGuvFvGv2uxuy=-1J1J(F,G)(x,v)(F,G)(y,v)=-=-微分法在几何上的应用： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 6 - x=j(t)y=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：z=w(t)空间曲线x-x0j(t0)=y-y0y(t0)=z-z0w(t0)在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)=0vFyT=GyFzGzF(x,y,z)=0,则切向量G(x,y,z)=0,FzGzFxGx,FxGxFyGy曲面

13、F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0x-x0Fx(x0,y0,z0)=y-y0Fy(x0,y0,z0)=z-z0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度： 函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中j为x轴到方向l的转角。fvfvgradf(x,y)=i+jxyl的方向导数为：fl=fxcosj+fysinj函

14、数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：它与方向导数的关系是单位向量。flvvfvv：=gradf(x,y)e，其中e=cosji+sinjj，为l方向上的l是gradf(x,y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法： 设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值AC-B0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Dr(x,y)xds(x2，Fy=f3Dr(x,y)yds(x2，Fz=-fa3Dr(x,y)xds3+y2+a)22+y2+a)22(x2+y2+a)22柱

15、面坐标和球面坐标： x=rcosq柱面坐标：y=rsinq,f(x,y,z)dxdydzWz=z其中：F(r,q,z)=f(rcosq,rsinq,z)x=rsinjcosq2球面坐标：y=rsinjsinq，dv=rdjrsinjdqdr=rsinjdrdjdqz=rcosj2p=WF(r,q,z)rdrdqdz,pr(j,q)Wf(x,y,z)dxdydz1M=WF(r,j,q)rsinjdrdjdq=1M20dq1M20dj0F(r,j,q)rsinjdr2重心：x=转动惯量：Wxrdv,y=Wyrdv,z=Wzrdv，其中M=x=(x22WrdvIx=W(y2+z)rdv，Iy=2W(

16、x2+z)rdv，Iz=W+y)rdv曲线积分： 第一类曲线积分：L的参数方程为：x=j(t),(atb),则：y=y(t)2Lf(x,y)ds=afj(t),y(t)j(t)+y(t)dt(ab)特殊情况：2x=ty=j(t)钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 8 - 第二类曲线积分：x=j(t)，则：y=y(t)bP(x,y)dxL+Q(x,y)dy=Pj(t),yaL(t)j(t)+Qj(t),y(t)y(t)dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：系：Pdx+Qdy=的方向角。)dxdy=Py(PcosaL+Qcosb)ds，

17、其中a和b分别为D(Qx-PyLPdx+Qdy格林公式：D(Qx-Py)dxdy=12PdxL+Qdy当P=-y,Q=x，即：平面上曲线积分与路径Qx-=2时，得到D的面积：A=Ddxdy=xdyL-ydx无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积在Qxu(x,y)=Py注意方向相反！：，且QxPy。注意奇点，如(0,0)，应时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分： 对面积的曲面积分：f(x,y,z

18、)ds=Dxyfx,y,z(x,y)1+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy22对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正号；R(x,y,z)dxdy=DxyPx(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正号；P(x,y,z)dydz=DyzQ(x,y,z)dzdx=Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正Dzx号。两类曲面积分之间的关系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds高斯公式： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考

19、研所有问题，成功率趋近100% - 9 - W(Px+Qy+Rz)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds高斯公式的物理意义散度：通量与散度：vdivn0,则为消失.PQRvdivn=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若xyzvv通量：Ands=Ands=(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds，因此，高斯公式又可写成：WvdivAdv=Ands斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： (Ry-Qz)dydz+(Pz-Rx)dzdx+(dzdxyQQx-Py)dxdy=cosaPdxG+Qdy+RdzcosgzRdydz上式左端又可写成：dxdyz

20、RRy=Q=cosbyQxPxP空间曲线积分与路径无iv旋度：rotA=xPjyQ关的条件：kzRG的环流量：PRQP，=，=zzxxyv向量场A沿有向闭曲线PdxG+Qdy+Rdz=GvvAtds常数项级数： 等比数列：1+q+q2+L+qn-1=1-qn1-q等差数列：1+2+3+L+n=调和级数：1+12+13+L+1n(n+1)n2是发散的级数审敛法： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 10 - 1、正项级数的审敛法根植审敛法：设：r=limnnr1时，级数发散r=1时，不确定2、比值审敛法：UUr1时，级数发散r=1时，不确定设：r=li

21、mnn+1n3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发n散。交错级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un0)的审敛法unun+1，那么级数收敛且其和limu=0nn莱布尼兹定理：rnun+1。如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值绝对收敛与条件收敛： (1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则如果(2)发散，而调和级数：(1)肯定收敛，且称为绝对(1)收敛，则称发散，而收敛级数；(1)为条件收敛级数。n1n(-1)n收敛；级数：1n2收敛；时发散p1时收敛p级数：1np幂级数：

22、 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 11 - 1+x+x2+x+L+x3n+Lx1时，收敛于x1时，发散11-x对于级数(3)a0+a1x+a2x2+L+anxn+L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定1r0时，R=求收敛半径的方法：设limnran+1an=r，其中an，an+1是(3)的系数，则r=0时，R=+r=+时，R=0函数展开成幂级数： 函数展开成泰勒级数：f(n+1)f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)n+1f(x0)2!(x-x0)+L+2f(n)(x0)n!(x-x0)+Ln余

23、项：Rn=(x)(n+1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f(0)2!充要条件是：f(n)limRn=0nnx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f(0)x+x2+L+(0)n!x+L一些函数展开成幂级数： (1+x)m=1+mx+x3m(m-1)2!x2+L+xm(m-1)L(m-n+1)n!xn+L(-1x1)sinx=x-3!+x52n-15!-L+(-1)n-1(2n-1)!+L(-x0) 两个相等实根(p-4q=0) 一对共轭复根(p-4q0) r1=a+ib，r2=a-ib22y=c1er1x+c2er2xy=(c1+c2x)ey=eaxr1x(c1cosbx+c2sinbx) a=-p2，b=4q-p22二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=ef(x)=elxPm(x)型，l为常数；Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx型lx钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 15 -