全国大学生数学建模论文企业退休职工养老金制度的改革.doc

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1、企业退休职工养老金制度的改革摘要本文主要研究了养老金替代率与养老保险基金缺口的主要影响因素。根据样本数据采用算术平均值的方法解决平均工资的增长率的计算问题，利用函数单调性判定定理判定养老金缺口的主要影响因素，资金的等值计算知识建立缴存的养老金与其领取的养老金之间达到收支平衡模型。问题一：我们认为平均工资的平均增长率的预测方法很多，但是预测年跨度很大，误差会被逐年放大，因此我们采用算术平均值和几何平均值分别估计平均工资的平均增长率。在数据处理上，将附录1中的样本分成2组，一组作为均值估计样本，另一组作为检验样本。通过比较误差，最终确定使用算术平均值估计年平均工资平均增长率：根据上式的年平均工资的

2、平均增长率预测2011年至2035年的年平均工资如附录4 表一 2011年至2035年的年平均工资。问题二：在假设各年龄段的月工资均匀分布的条件下，由附录2计算得到附录4 表二 2009年山东省某企业各年龄段平均工资与公司总平均工资之比。 通过对问题的深入分析，我们推导出替代率的计算模型 (1)其中，为年份，为缴费年限，职工首次缴纳养老保险金时的年龄； 将附录2的数据代入(1)式得附录4 表三 各岁数及退休年龄的替代率。问题三：更进一步，继续推导得到养老保险基金缺口模型（为年利息）。 (2)将附录3的数据代入(2)式得表四附录4表四 自2000年起从30岁开始缴养老保险，领取到75岁死亡的养老

3、保险基金缺口。为了资金的等值计算，我们将退休后职工每月领取的养老金折现到同一个时点，从而得到N个月后，其缴存养老保险金与领取的养老金之间达到收支平衡。公式： (3)然后再将附表3的数据代入(3)式得附录4表五 达到收支平衡的年龄。 问题四：当替代率确定为58.5%时，缺口模型为 （4） 为了研究,对缺口函数的影响，利用函数的单调性判定定理，分别对(4)式中的，求偏导，得到： (5) (6)由(4)，(5)，(6)，可以得到如下结论：措施1.如果要达到目标替代率又要维持养老保险基金收支平衡，可采取延长职工的退休年龄或提高养老金储存利率。措施2.企业可以将职工的养老保险基金作为投资。措施3.企业可

4、以提高养老基金的缴费率。关键词：算术平均值 几何平均值 折现 函数的单调性判定定理企业退休职工养老金制度的改革一、问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统

5、筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理

6、的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附录1是山东省职工历年平均工资数据；附录2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附录3是养老金的计算办法。请建立数学模型，

7、解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附录1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附录2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老

8、金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。二、模型假设1个人账户缴费统一从月底缴费。2员工退休时间统一以每年年末计算。3养老金储存总额所得利息统一以单利进行计算。42009年山东省某企业各年龄段月工资成均匀分布。5个人养老金都以整年缴纳，中途无间隔情况。6 60至65岁职工的工资与企业平均工资之比按55至59岁职工的工资与企业平均工资之比进行计算。三、符号说明:历届年平均工资的平均增长率，为算术平均值，为几何平均值；：年份；：缴费年限；：职工首次缴纳养老保险金时的年龄

9、；：利率;:山东省职工年时的平均工资（例如:表示山东省2000年时的平均工资）；:企业职工在岁数的工资与社会平均工资之比；:企业职工在岁退休时的计发月数;：岁的职工，从年开始缴费，缴纳年后，退休时领取的养老金；：岁的职工，从年开始缴费，缴纳年后，基础养老金；：岁的职工，从年开始缴费，缴纳年后，个人账户养老金；：岁的职工，从年开始缴费，缴纳年后，个人账户储存额；：岁的职工，从年开始缴费，缴纳年后，替代率；：岁的职工，从年开始缴费，缴纳年后，领取月养老金所产生的养老保险基金的缺口四、问题分析问题一：用合理的模型计算年平均工资的平均增长率是核心问题；利用误差分析可以评判所选取模型的好坏；问题二：在假

10、设各年龄段的月工资均匀分布的前提下，2009年各年龄段职工的年平均工资与企业平均工资之比变得简化。推导出各年龄段的养老金替代率的计算模型，使得问题变得简单；问题三： 计算缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，也就是进行资金的等值计算的问题。确定结算时点尤为重要。这里可以将时点确定到退休的年末，缴纳的养老基金统一通过利息计算到退休年末，退休后每个月领取的养老金统一做贴现到退休年末。问题四：推导出缺口模型后，问题转变成了参数对缺口函数的影响问题。利用函数单调性问题得以求解。五、模型的建立与求解5.1关于问题一的模型建立与求解由附录1中的数据分析，可以知道山东省平均工资每年都有所增长，

11、但是每年的增长率有所不同，因此问题一的核心是估计每年的平均增长率。由此我们选取了二个计算模型，一是算术平均值求年平均增长率，二是几何平均值求年平均增长率。为了评估这两种模型的合理性，我们将附录1中的数据分为两组，第一组是1978年到2006年，另一组是2007到2010年，第一组作为我们的年平均增长率的估计样本，第二组作为我们的年平均增长率的检验样本。设山东省职工的历届平均工资的平均增长率为(算术平均值)，(几何平均值)。设山东省职工年时的平均工资为，例如:表示2000年的山东省的平均工资，因此，使用第一组数据可得： (7) (8)表六 算术平均值求年平均增长率与几何平均值求年平均增长率误差分

12、析参数均值增长率样本误差（第一组数据）检验样本误差（第二组数据）0.135771840.1552190.0076371450.111359210.1719060.011369495由上表得知算术平均值产生的误差小于几何平均值产生的误差，所以我们选择用算术平均值的方法来预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。从而算出2011年至2035年山东省职工工资的平均增长率为：将代入计算结果如下：表七 2011年至2035年的山东省职工的年平均工资 单位(元)年份年平均工资年份年平均工资20113645620231694922012414372024192648201347098202521

13、896720145353220262488822015608452027282884201669158202832153220177860720293654592018893462030415388201910155220314721382020115426203253664220211311952033609957202214911920346932892035788006 5.2关于问题二的模型建立与求解通过对附录2的分析，我们假设各年龄段的工资都是均匀分布，因此我们得出表八表八 2009年山东省某企业各年龄段平均工资与公司总平均工资之比年龄段总人数总工资平均工资公司总平均工资比例( )2

14、0-24岁2824870001726.952389.120.72283925-29岁26354625020770.86935530-34岁2426135002535.121.06111135-39岁2265740002539.821.06307840-44岁2216057502740.951.14726245-49岁1945110002634.021.10250550-54岁1353580002651.851.10996955-59岁1012800002772.281.160375假设某企业职工自年开始从岁开始缴养老保险，一直缴费到退休，一共缴纳了年，到年时，此人个人储存额，假设的变量，为全省

15、职工在年的年平均工资，为企业职工在岁数的工资与企业工资（即全省年平均工资）的比例，因此，为职工在岁的年工资，为统一设定的利率3%，为企业职工在退休时的计发月数（由附录3的表一可获取数据），个人账户养老金为。职工自年开始从岁开始缴养老保险，在年时的第1个月末缴纳的缴纳的个人账户养老金累积到年末的本息和为在年时的第2个月末缴纳的个人账户养老金累积到年末的本息和为在年时的第12个月末缴纳的个人账户养老金累积到年末的本息和为从年的1月累计到12月，得到合计数，因此，职工自年开始从岁开始缴养老保险在年末个人账户存储额为：其中，因为：个人账户养老金=个人账户储存额/计发月数所以：由指数华月平均缴费工资的定

16、义，结合本文定义，可以得到新的指数化月平均工资定义，基础养老金养老金为：替代率为： (9)将附录2的数据代入(9)式得到表九表九 退休养老金以及替代率 单位(元)缴费年龄退休年龄30岁的养老金30岁退休前工资30岁替代率40岁的养老金40岁退休前工资40岁替代率55岁6887.5021174 0.3253 1217.105590 0.2177 60岁15820.3240167 0.3939 3067.2310677 0.2873 65岁36222.3776199 0.4754 7749.3321174 0.3660 5.3关于问题三的模型建立与求解要求该职工领取养老金到多少岁，其缴存的养老保险

17、基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡时领取养老保险金所产生的缺口为为了资金的等值计算，我们将退休后职工每月领取的养老金折现到同一个时点，折现方法如下：领取养老金的第一个月末的折现为：领取养老金的第二个月末的折现为： 领取养老金的第N个月末的折现为：累积求得折现领取的养老金总和为：当职工退休月末时缴存的养老保险基金等于折现领取的养老金总和时，可求出在N个月后，其缴存养老保险金与领取的养老金之间达到收支平衡。那么， (10) 某企业职工自2000年起从30岁开始

18、缴养老保险，一直到退休（55岁、60岁、65岁），领取养老金所达到的收支平衡表 。 将以及附录3的数据代入(10)式得到表十表十 达到收支平衡的岁数 退休年龄时间55岁60岁65岁达到收支平衡所需月数（N）1089277达到收支平衡所需年数（）97.764达到收支平衡岁数（）646771某企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直到退休（55岁、60岁、65岁），退休后一直领取养老金，至75岁死亡，其共领取养老金月数表和存储年限表表十一 领取养老金月数表和存储年限表退休年龄时间55岁60岁65岁领取养老金月数（N）240180120存储年限（m）263136为了方便计算缺口数据，我们定

19、义缺口函数为 (11) 某企业职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直到退休（55岁、60岁、65岁），退休后一直领取养老金，至75岁死亡。将及表十一数据代入(11) 得到表十二表十二 自2000年起从30岁开始缴养老保险，领取到75岁死亡的养老保险基金缺口退休年龄55岁60岁65岁缺口633589.96 1040503.99 1253089.21 5.4关于问题四的模型建立与求解假设该企业某职工自 年起从岁开始缴养老保险，一直缴费到退休，一共缴纳了年，并从退休后一直领取个月的养老金，利率为时，所产生的缺口按达到目标替代率()的职工退休末的养老金为：那么达到目标替代率的职工退休末领取的养

20、老保险基金的缺口为： 对函数求自变量和的偏导数：对于上式中，任意，则，所以缺口函数随着增大而减小。对于上式中，任意，则，所以缺口函数随着增大而减小。通过上述表达式可知：措施1.如果要达到目标替代率又要维持养老保险基金收支平衡，可采取延长职工的缴费年限或提高养老金储存利率。措施2.企业可以将职工的养老保险基金作为投资。措施3.企业可以提高养老基金的缴费率。六、模型的评价优点：1、应用了大量的excle表格，使得所述内容更加清晰，更有条理化。 2、进行了大量的公式推导计算，使论文推理更加清楚，思路更加清晰，方法更加优越。 3、使论文叙述条理清楚，中心突出，步骤明了。缺点：在论文中设有部分推理假设，

21、产生的误差有所加大。 r_b8,I6 Rx7QlA;七、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊.数学建模第三版，北京，高等教育出版社2005年【2】陈水林，黄伟祥.高等数学（68-70页），武汉，湖北科学技术出版社2007年【3】时思，邢彦茹，郝家龙，王佳宁.工程经济学第二版，北京，科学出版社2011年附录：以下表格数据均用excel运算得出附录1. 算术平均值和几何平均值表年份平均工资年差值年增长率误差误差1978566 1979632 66 0.1166080.0003672622.75474E-051980745 113 0.1787970.0018512040.00454791819817

22、55 10 0.0134230.0149692840.0095915371982769 14 0.0185430.0137425910.0086148411983789 20 0.0260080.0120481450.0072848631984985 196 0.2484160.0126886420.01878448519851110 125 0.1269047.86466E-050.00024162719861313 203 0.1828830.002219450.00511563519871428 115 0.0875860.0023219060.00056518119881782 354

23、 0.2478990.0125725350.01864315719891920 138 0.0774410.0034024780.0011504419902150 230 0.1197920.0002553667.11063E-0519912292 142 0.0660470.0048616220.00205324119922601 309 0.1348179.12195E-070.00055025619933149 548 0.2106880.005612460.00986624719944338 1189 0.377580.0584712740.07087360619955145 807

24、0.186030.0025259250.0055757919965809 664 0.1290574.50846E-050.00031322419976241 432 0.0743670.003770510.00136839719986854 613 0.0982210.0014100330.00017260119997656 802 0.1170120.0003519333.19536E-0520008772 1116 0.1457689.99237E-050.001183966200110007 1235 0.1407892.51706E-050.000866105200211374 13

25、67 0.1366046.93113E-070.000637318200312567 1193 0.1048880.0009537914.18722E-05200414332 1765 0.1404472.1859E-050.000846111200516614 2282 0.1592240.0005500090.002291049200619228 2614 0.13577200.000595977求和0.155218710.171906052算术平均值0.135772年份实际预测绝对误差相对误差200722844218391005.380.0440106382008264042480416

26、00.310.060608589200929688281711516.670.0510868492010320743199677.790.002425407 几何平均值0.111359年份实际 预测绝对误差相对误差200722844 21369 1474.79 0.064558968200826404 23749 2655.13 0.100557722200929688 26394 3294.47 0.110969759201032074 29333 2741.31 0.085468214由表可知算数平均值得出的年均增长率预测的2007-2010年的年均工资与实际的年均工资相对误差较几何平均值

27、得出预测算出的相对误差小，所以选择算术平均值的增长率运用算术平均值预测2011-2035的年平均工资年份平均工资年差值年增长率年份平均工资年差值年增长率197856620092968820160.1243750951979632660.11660777420103207420170.08036917319807451130.178797468平均增长率0.1366193721981755100.013422819预测平均工资1982769140.0185430462011364561983789200.02600780220124143719849851960.2484157162013470

28、98198511101250.126903553201453532198613132030.182882883201560845.49198714281150.087585682201669158.16198817823540.24789916201778606.51198919201380.077441077201889345.68199021502300.1197916672019101552199122921420.0660465122020115426199226013090.1348167542021131195.4199331495480.2106881972022149119.3

29、1994433811890.3775801842023169491.9199551458070.1860304292024192647.7199658096640.1290573372025218967.1199762414320.0743673612026248882.3199868546130.0982214392027282884.4199976568020.1170119642028321531.92000877211160.1457680252029365459.420011000712350.1407888742030415388.220021137413670.136604377

30、2031472138.320031256711930.1048883422032536641.620041433217650.1404472032033609957.220051661422820.1592241142034693289.220061922826140.1573371862035788005.920072284436160.18805908120082640435600.155839608 附录2. 2009年山东省莫企业个年龄段工资分布表年龄段月收入范围年龄段1000-14991500-19992000-24992500-29993000-34993500-39994000-

31、49995000-8000总人数比例20-24岁职工数7416526161000282平均值1726.95总值4870000.72283925-29岁职工数368294426300263平均值2076.996总值5462500.86935530-34岁职工数032839524620242平均值2535.124总值6135001.06111135-39岁职工数0117483361642226平均值2539.823总值5740001.06307840-44岁职工数0043865521133221平均值2740.95总值6057501.14726245-49岁职工数0332326441184194平

32、均值2634.021总值5110001.10250550-54岁职工数072329442183135平均值2651.852总值3580001.10996955-59岁职工数06172737770101平均值2772.277总值2800001.160375总值1664总值3975500公司总平均值2389.1231平均工资2474 可得到各年龄的工资相对年均工资比例指数年龄比例指数年龄比例指数年龄比例指数年龄比例指数200.722839341.061111481.102505621.160375210.722839351.063078491.102505631.160375220.7228393

33、61.063078501.109969641.160375230.722839371.063078511.109969651.160375240.722839381.063078521.109969250.869355391.063078531.109969260.869355401.147262541.109969270.869355411.147262551.160375280.869355421.147262561.160375290.869355431.147262571.160375301.061111441.147262581.160375311.061111451.1025055

34、91.160375321.061111461.102505601.160375331.061111471.102505611.160375附录3.30岁各退休年龄的比例指数和55岁60岁65岁28.5800007534.3818738640.1837540岁各退休年龄的比例指数和55岁60岁65岁17.9590577623.7609308729.5628个人账户储存额30岁从2000年至2035年的年薪表单利年份岁数年薪月薪55岁累积本息和60岁累积本息和65岁累积本息和2000309308 776 1313.37 1425.06 1536.76 20013110619 885 1472.79

35、 1600.21 1727.64 20023212069 1006 1645.01 1789.84 1934.67 20033313335 1111 1785.55 1945.57 2105.59 20043415208 1267 1999.83 2182.33 2364.82 20053517662 1472 2280.16 2492.10 2704.05 20063620441 1703 2589.86 2835.15 3080.44 20073724285 2024 3018.62 3310.04 3601.46 20083828070 2339 3421.67 3758.51 4095

36、.34 20093931561 2630 3771.50 4150.23 4528.95 20104036797 3066 4308.96 4750.53 5192.10 20114141825 3485 4797.27 5299.17 5801.06 20124247539 3962 5338.58 5909.04 6479.50 20134354033 4503 5938.25 6586.65 7235.05 20144461415 5118 6602.14 7339.12 8076.10 20154567082 5590 7050.37 7855.36 8660.35 201646762

37、47 6354 7830.59 8745.56 9660.53 20174786664 7222 8692.41 9732.38 10772.35 20184898504 8209 9643.55 10825.60 12007.65 201949111962 9330 10692.34 12035.88 13379.42 202050128119 10677 11927.90 13465.34 15002.77 202151145623 12135 13207.99 14955.47 16702.94 202252165518 13793 14615.22 16601.43 18587.64 202353188131 15678 16160.43 18417.99 20675.56 202454213833 17819 17855.05 20421.