正项级数收敛性判别法的比较及其应用.docx

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1、正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列Sn有界，即存在某正数M，

2、对n0，有SnN都有unvn，n=1n=1那么 若级数vn收敛，则级数un也收敛； n=1n=1若级数un发散，则级数vn也发散； n=1n=1即un和vn同时收敛或同时发散。 n=1n=1比较判别法的极限形式 ： 设un和vn是两个正项级数。若limn=1n=1unvnn+=l，则 当时，un与vn同时收敛或同时发散； n=1n=1当l=0且级数vn收敛时，un也收敛； n=1n=1当l且vn发散时，un也发散。 n=1n=12.2 比值判别法 设un为正项级数，若从某一项起成立着n=1unun-1qN0，成立不等式un+1unun+1unq，则级数un收敛； i=1若对一切nN0，成立不等

3、式比值判别法的极限形式： 1，则级数un发散。 i=1若un为正项级数，则 n=1 当limn+unvnunvnN0，成立不等式unMN0，成立不等式un1，则级数un收敛 ni=1根式判别法的极限形式： 设un是正项级数，且limn=1nn+un=l，则 当l1时，级数un发散； n=1当l=1时，级数的敛散性进一步判断。 2.4 柯西积分判别法 对于正项级数un，设un单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数n=1使得当x等于自然数n时，其函数恰为un。那么级数un与数列An，f(x)(x0)，n=1这里An= 1f(x)，同为收敛或同为发散。 2.5 拉贝判别法 设un是正项级数，

4、且存在自然数N0及常数r， n=1un+11-若对一切nN0，成立不等式nunun+11-若对一切nN0，成立不等式nunr1，则级数un收敛； i=11，则级数un收敛 i=1拉贝判别法的极限形式： un+11-设un是正项级数，且极限limnn+unn=1=r存在，则 当r1时，级数un发散。 n=1当r1时，拉贝判别法无法判断。 2.6 阿贝尔判别法 如果： (i) 级数bn； n=1(ii) 级数an单调有界，an2.7 狄立克莱判别法 如果： K(n=1,2,3,)，则级数anbn收敛。 n=1(i)级数bn的部分和Bn有界，Bnn=1M(n=1,2,3,) (ii)级数an单调趋近

5、于零，则级数anbn收敛。 n=12.8 对数判别法 设a0，nn0，unn=1为正项级数，若 ln1n1+alnn1，n10，un收敛 n=1lnnn1，1+alnnlnnln收敛 2.9 等价判别法 设un为正项级数，unan，an收敛，则un也收敛 n=1n=1n=1三、 判别方法的比较 1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如： 、 1+取0e012n+12n=12e0Sn+p-Sn=所以级数发散 、n+2-2n+2+n Sn=(3-22+1+)4-23+2+(5-24+3+.+)(n

6、+2-2n+1+n) =1-2+n+2-n+1 =1-2+n1n+2+n+1S=limSn=1-2 P级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便。 2、当级数表达式型如1un，un为任意函数、级数一般项如含有sinq或cosq等 un+1un三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P级数、调和级数进行比较n+limun+1un、limnn+un不易算出或limn+=1、等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例： 1+an=11n1a=en(a1)级数收敛2 11e2lnnn=11(lnn)lnnlnnlnlnn=1n2级数收敛 比较判别法使用的范围比较

7、广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。 3、当级数含有阶n次幂，型如a!或an或分子、分母含多个因子连乘除时，选 用比值判别法。当通项含(-1)n与un的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例： limn=113(2n-1)n!2n+1n+1n3un+1unn+=lim=2级数发散 nn(1+x)(1+x)(1+x) 2n=1xlimun+1unnx1=20x1所以级数收敛 lim42+474710+ 262610un+1unn=lim3n+44n+2=34n1 级数 4710(3n+4)2610(4n+2)收敛 1nlnpn4、当级数含有n次幂，型如an或(un)或

8、通项un=n即分母含有含lnx的函数，分子为1，或级数含有多个聚点时，可选用根式判别法。例如： n 2n+1n=1nlimnnun=limn2n+1n=12级数收敛 一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比值判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比值判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比值判别法更优。例如： 1+b+bc+bncn+4 (0b1，级数发散 bc1 级数收敛 级数发散 limun+1unn=bb1 由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比值判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。因此，上题选用根式判别法比比值判别法更好。在使用判别

9、法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。同时也存在只能使用根式判别法，使用比值判别法无法判断的情况。例如： 2-n-(-1) limnn5un=lim12n12(-1)nn=12 级数收敛 不可使用比值判别法 limun+1unn=lim2n-1+2(-1)n 无法判断敛散性 因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时，我们可以选用比值判别法或根式判别法。 5、当级数表达式型如1un，un为含有lnn的表达式或1un可以找到原函数，或级数un为1,+上非负单调递减函数，un含有sinx或cosx等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用柯西积分判别法。例： n=31nlnnlnlnn3，

10、其中un=1xlnxlnlnx因为undx发散，所以级数发散 6、当级数同时含有阶层与n次幂，型如a!与an时，或使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。例： n=1en!nnn1=- 2un+1limn1-n=unn-1limn=n-1不能用比值判别法 无法判断敛散性 不能用根式判别法 limnn=un=ennn! 无法判断敛散性 因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。 7、当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有sinx或cosx等三角函数(-1)n等；或可

11、化为(-1)，如：(-1)nn(n-1)2=(-1)n；也可以型如sin(un)，un为任意函数，则可以选用狄立克莱判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄立克莱判别法的特殊形式。例： 设bn收敛，则级数n=1n=1bn3n+11，bn，bn1+，bnln等都是极n+12nnnn=1n=1n=1nn限 8、当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。例： sin(2pen!)n11!a(a0) QQe=1+1n!+ 111sin(2pen!)=sin2pn!1+ 1!2!n!

12、=sin2pn!1+2p12p2p1+o2 +n!n+1(n+1)(n+2)n12p(n) +o2 =sin()()n+1n+1n+2nnsin(2pen!)na2p2pn1+aQ2pn1+a收敛 所以级数收敛 9、 当unun+1的值可化为泰勒开式，则选用高斯判别法。如： llogn=12-llnx622e， 级数收敛 e， 级数发散 xllog1xlnn p1- nnxlnnQlim=0，当n充分大时，un0 nn1当x=0，级数为p如果p1，则级数收敛；如果p1，则级数发散 nxlnn当x0，ln(unnp+x)=xlnn+nln1- nun+ln(1-un)xlnn2u=0,n1 ()

13、 =nun+nlnn1-un=nu 其中n2nun7当x时，x0,nun0, 由洛必达法则limlimlnunnnun+ln(1-un)unun1np+xnn2=limn+ln(1-nn2)1-=limn1111-n=lim=- n2(2nn-1)2n(p+x)=0,lim=1级数收敛 lng(x)10、当通项un=nlnx或un=lnf(x)可以选用对数判别法。例： un=ln1un=lnln(lnn)对a0,$n0,当nn0时， 18lnx(lnlnn)lnnlnln(lnn)1+a 级数收敛 四、应用举例 例1 un=1!+2!+n!(2n)!分析：本题无法使用根式判别法与比值判别法，因

14、此选择比较判别法进行判断 0unnn!n!(n+1)(2n)=n(n+1)(2n)(2n-1)(2n)1,(n) 且级数n=11(2n-1)(2n)收敛 所以级数收敛 例2 (1+a)(1+a)(1+a) n=112nan分析：本题无法使用根式判别法、比值判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断。 un=1(1+a1)(1+a2)(1+an-1)(1+a1)(1+a2)(1+an)-11，即p2，级数收敛 2+(-1)2nn分析：本题中分子含有(-1)n，无法用比值判别法或其他方法判别，这种类型也是根式判别法的典型类型，取上极限进行判断，因此，选用根式判别法。 _

15、nnlimnun=lim2+(-1)2n=12n1 极限收敛 例6 n=111-ln1+nn分析：通过观察，本题可以使用充要条件进行判断，但等价判断法进行判断更为便捷。 1111Qln1+=-+o2(n) 2nn2nn所以1111-ln1+o2(n) 2nn2nn12n2又Q收敛 收敛 n=111-ln1+nn五、 总结与展望 判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则发散，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、

16、根式判别法或拉贝判别法。当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法、库默判别法或高斯判别法。库默尔判别法可以推出比值判别法、拉贝尔判别法与伯尔特昂判别法。当无法使用根式判别法时，通常可以选用比值判别法，当比值判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断。由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种。 正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特

17、别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断。正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径。 由于时间仓促，本文尚有许多不足之处，欢迎大家提出意见和建议，同时希望通过本文能加深学习者对正项级数的了解。 参考文献 1陈欣. 关于数项级数求和的几种特殊方法 J . 武汉工业学院学报，2002，4. 2陈金梅. 幂级数求和法例谈 J . 石家庄

18、职业技术学院报，2005，9. 3夏学启. 贝努利数的简明表达法 J . 芜湖职业技术学院学报，2006，2. 4吴良森等编著. 数学分析习题精解 M . 北京：科学出版社，2002，2. 5费定晖，周学圣编著. 吉米多维奇数学分析习题集题解 M . 济南：山东科学技术出版社，2005，1. 6周应编著. 数学分析习题及解答 M . 武汉：武汉大学出版社，2001，8. 7王晓敏，李晓奇编著. 数学分析学习方法与解题指导M . 长春：东北大学出版社，2005，12. 8B.A卓里奇编著，蒋锋等译. 数学分析 M .北京：高等教育出版社，2006，12. 9胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法 M .北京：科学出版社，2008，5. 10陈纪修，于崇华，金路编著. 数学分析下册 M . 北京：高等教育出版社，2000。1